赵垚刘莉王瑶数学建模.docx
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赵垚刘莉王瑶数学建模
数学建模论文
论文题目：
电站建设问题
姓名：
赵垚
刘莉
王瑶
一.摘要：
本文解决的是一个用单目标多变量的线性规划求电站建设的经济效益最优解的问题。
我们建立了优化问题中的单目标多变量线性规划模型来解决此优化问题。
针对问题中的三个方案得出在最低的成本下的最大经济效益。
首先，我们根据题意列出了该线性规划问题的目标函数，即总的经济效益；其次，根据表格及问题条件所给的数据要求，列出模型的约束条件；然后，运用数学软件中的ＬＩＮＧＯ等计算工具，编写相应的程序，对建立的模型进行相应的求解，于是确定了满足在技术要求的前提下的经济效益最优的建设方案。
同时，我们对此结果进行了一些分析，结果表明：
该选取的方法应该是较成功的；最后，我们还对模型进行了评价，改进和推广，目的在于将该模型更广泛地应用到我们的生活中。
由于发电机组运行后前十五年与前三十年每年的总成本不同，故需要讨论。
运行后前十五年，对于方案i（i=1，2，3），先求得年运行成本为s11，s12，s13。
从而得到总运行成本s1=s11+s12+s13。
再求得资本回收为p11，p12，p13，得到每年总资本回收p1=p11+p12+p13。
进而，我们就可以确定目标函数，既经济效益（总成本）Ｑ。
运行后前三十年，对于方案i，先求得年运行成本为s21，s22，s23。
从而得到总运行成本s2=s21+s22+s23。
再求得资本回收为p21，p22，p23，得到每年总资本回收p2。
得到每年总资本回收p2=p21+p22+p23。
进而，我们就可以确定目标函数，既经济效益（总成本）Ｑ。
其次，根据表格和题意列出了合理的模型约束条件；最后，利用数学软件中的ＬＩＮＧＯ计算工具求解，得出了在三种备选方案下合理建设后的最大经济效益的选取方法，前十五年和前三十年均当x1=0，x2=4,x3=4时总成本最低,前十五年在最低成本下的最大经济效益（总成本）为413.2264（百万元）。
前三十年在最低成本下的最大经济效益（总成本）为387.4764（百万元）。
本文所给的规划模型广泛的应用于实际问题当中，在本文中得到了充分的体现，有效的解决了该实际问题。
解题过程形象的显示出了三种备选方案合理建设的最优选取。
关键词：
单目标线性整数规划 最优解 数学软件ＬＩＮＧＯ
二.问题重述
某地区在制定十年电力发展规划时遇到这样一个问题,根据电力需求预测得知,该地区在十年后发电装机容量需要增加180万千瓦,到时的年发电量需要增加100亿度。
根据调查和讨论，电力规划的备选技术方案有三个：
1、扩建原有的火电站，但最多只能再安装五台10万千瓦的发电机组；
2、新建水电站，但最多只能安装四台25万千瓦的发电机组；
3、再建一个火电站，最多只能安装四台30万千瓦的发电机组。
通过调研和计算，获得有关的参数如下表所示：
规划备选技术方案参数表
备选
方案
工程
特点
工程投资
单机容量（万千瓦）
允许装机台数
资本回收因子
年运行成本
（百万元/亿度）
负荷因子
前期工程投资
（百万元）
单期设备投资
（百万元）
1
扩建旧火电站
21
10
5
0．103
4．11
0．66
2
新建水电站
504
70
25
4
0．0578
2．28
0．4
3
新建火电站
240
65
30
4
0．103
3．65
0．7
表中负荷因子为全年满功率运行天数与全年总天数之比。
根据该地实际调查，原有火电站平均全年满功率运行天数为241天，水电站和新建的火电站应分别为146和255天，而全年365天，故折算得表中数据。
表中资本回收因子是由如下数据所确定的，火电站的回收年
限取15年，年息0.06；水电站的回收年限取30年，年息为0.04，即得表中所列数值。
要求在满足上述技术要求的前提下，选取经济效益最优的建设方案。
三．模型假设
１.发电机的功率在传输过程中保持不变；
２.发电机生产的电量在传输过程中没有损耗；
３.假设发电机都能正常工作，在工作中不发生故障；
４.假设题给的数据都真是可靠且具有较好的代表性；
５.各机组工作互不影响。
6.十年后工程完工开始还钱。
四．符号说明
C:
发电机容量需要增加的总量；
w：
年发电量需要增加的总量；
A：
第i种方案前期工程投资；
Bi:
第i种方案单期设备投资;
Li:
第i种方案单机容量；
x（i）：
第i种方案允许装机台数；
M：
第i种方案资本回收因子；
E：
第i种方案年运行成本；
F：
负荷因子；
t：
全年满功率的天数
N：
收回的年限；
R：
相应的年息；
s1i：
前十五年的第i种方案的运行成本
s2i：
前三十年的第i种方案的运行成本；
s1i：
前十五年的第i种方案的资本回收；
s2i：
前三十年的第i种方案的资本回收；
Q：
十年后每年的成本
五．问题分析
此题解决的是在三种备选方案，既扩建旧火电站，新建水电站，新建火电站这三种方案中合理选取搭配建设使得在满足所给技术要求的前提下，用最低的发电厂成本得出最优的经济效益的单目标线性规划数学模型。
要达到最大的经济效益，必然要使这三种备选方案的经济效益之和最大；另一方面，要达到最小的发电厂成本，必然使这三种备选方案选取后总的成本最小，然而，三种备选方案的工程投资，单机容量，允许装机的台数，资本回收因子，年运行成本，负荷因子均各有差异。
这就需要我们，利用题目所给的已知条件，列出关于成本和经济效益的约束条件，利用数学软件中的ＬＩＮＧＯ计算工具来求解。
针对该问题，它要求选取经济效益最优的建设方案。
显然，这是一个最优化问题，解决这类优化问题最常用的方法就是线性规划和非线性规划这两种方法，这两种方法可以合理的分配，使用有限的已知资源，以最少的成本获得最优的经济效益。
那么，如何达到题目所给的要求呢？
首先，我们可以直接不考虑只用一种方案的方法，因为
已知该地区在十年发电装机容量需要增加到180万千瓦，那时的年发电量需要增加100亿度，而对于第一个备选方案，扩建原有的火电站最多只能再安装五台１０万千瓦的发电机组，其总共只有５０万千瓦，远远达不到１８０万千瓦的要求；同理可分析出，单个的第二种和第三种备选方案同样不能达到要求；若采取一二，一三方案的组合，通过计算，都不能同时满足发电机的容量需要增加180,万千瓦，年发电量需要增加100亿度，所以以上方案都不可行。
由上分析，只能采用方案一二三或二三组合。
在求解过程中，不同的时间段，有不同的优化目标。
我们发现15年之后火电站的资本回收已经交完，我们就分两种进行，也就是前十五年和前三十年每年的合理的单目标线性规划模型。
于是，我们将这三种备选方案合理选取搭配，将题目中所给的数据和条件予以综合考虑，建立单目标线性整数规划模型进行优化求解。
六．数据分析
根据规划备选技术方案的参数表和题目中所给的约束条件数据，我们知道，这三种不同的备选方案的工程投资，单机容量，允许装机的台数，资本回收因子，年运行成本和负荷因子，包括火电站和水电站的回收年限取及年息都各个不相同，这些数据直接影响着总成本和总的经济效益，而且，三种备选方案中安装的发电机组是有限制的，在此基础上还要达到发电机容量增加１８０万千瓦，年发电量增加１００亿度,况且十年后每年的发电增加量一定，故经济收入增加量一定，也就是不影响经济成本。
因此，我们在选取方案的时侯，这些量都约束着目标函数。
所以，我们应该确定一种最优化的选择方式使得成本最少而经济效益最大。
由资本回收因子E=（A/P,i,t）=i（1+i）^t/（（1+i）^t-1）（【3】XX七月十号）
收回成本：
p=si+E*A（【4】XX七月十号）
t表示回收年限
i表示年息
A表示工程总投资
si表示运行的成本
负荷因子f=t/365（XX）
七．问题的解答
模型的建立
我们的方案，火电站扩建，水电站和火电站建好了，第十一年开始运行。
所以我们针对十以后的第一年，也就是十一年当年的最小成本进行规划。
前十年把投资金额一次借贷，运行后每年还一定的回收成本，加上当年用电的运行成本。
对运行后前十五年算出每年的总成本。
对运行后前三十年，计算三十年总运行成本的平均值。
确定目标函数
对于运行后的前十五年的每年经济效益
有上述分析，得到最小成本的规划模型，有目标函数为：
Min=p11+p12+p13+s11+s22+s13
=23.7772*x1+19.9728*x2+59.13*x3+21*x1*0.103+（70*x2+504）*0.0578+（240+65*x3）*0.103
根据总成本=总资本回收+总运行成本
第i种方案的总资本回收为P1i：
P11=b*x1*m1
=21*0.103*x1；
P12=（a2+b*x2）*m2
=（504+70*x2）*0.0578；
P13=（a3+b3*x3）*m3
=（240+65*x3）*0.103；
第i种方案的运行成本为s1i：
s11=l*x1*365*24*f*e1/10000
=23.7772*x1;
s12=l*x2*365*24*f*e2/10000
=19.09728x2;
s13=l*x3*365*24*f*e3/10000
=59.013*x3;
故需要的总成本为：
Q=p11+p12+p13+s11+s12+s13
=23.7772*x1+19.9728*x2+59.13*x3+21*x1*0.103+（70*x2+504）*0.0578+（240+65*x3）*0.103
由lingo模型求解得：
x1=0；x2=4;x3=3.538126；
由于x1,x2,x3均为整数；
当x1=1,x2=4,x3=3时241*10*24*x1+146*25*24*x2+255*30*24*x3=967980<1000000，不满足条件
经分析接近最优解的方案有两个，即x1=0，x2=4，x3=4与x1=1，x2=3，x3=4；
（1）当x1=0,x2=4,x3=4时
此时的最低成本：
23.7772*0+19.9728*4+59.13*4+21*0*0.103+（70*4+504）*0.0578+（240+65*4）*0.103
ans=
413.2264
（2）当x1=1,x2=3,x3=4时，
此时的最低成本为：
23.7772*1+19.9728*3+59.13*4+21*1*0.103+（70*3+504）*0.0578+（240+65*4）*0.103
ans=
415.1478
经对比最终取x1=0,x2=4,x3=4时总成本最低为：
413.2264（百万元）；
由于运行15年后，火电站的资金回收已经支付完，导致我们的计算的最低成本的规划改变
对于运行后的前三十年每年的总成本=总资本回收+总运行成本：
每年的运行成本是一定的，即与前十五年每年的运行成本相同，可运行后的前三十年的每年的资本回收只能求平均值；
s2i=s1i;
总运行成本s=s21+s22+s23=23.7772*x1+19.9728*x2+59.13*x3；
第i种方案的年平均资本回收为p2i
P21=p11*15/30=15*21*x1*0.103/30；
P22=p11*30/30=p12=（504+70*x2）*0.0578；
P23=p13*15/30=（240+65*x3）*0.103*15/30；
总资本回收p=p21+p22+p23
故需要的总成本
Q=s21+s22+s23+p21+p22+p23
=23.7772*x1+19.9728*x2+59.13*x3+（（21*x1*0.103）*15+（70*x2+504）*0.0578*30+（240+65*x3）*0.103*15）/30
由lingo模型求解得x1=0；x2=4;x3=3.538126（【2】七月十号）
经分析接近最优解的方案有两个，即x1=0，x2=4，x3=4与x1=1，x2=3，x3=4；
（1）当x1=0,x2=4,x3=4时
此时的最低成本：
23.7772*0+19.9728*4+59.13*4+（（21*0*0.103）*15+（70*4+504）*0.0578*30+（240+65*4）*0.103*15）/30
ans=
387.4764（【1】七月十号）
（2）当x1=1,x2=3,x3=4时，
此时的最低成本为：
23.7772*1+19.9728*3+59.13*4+（（21*1*0.103）*15+（70*3+504）*0.0578*30+（240+65*4）*0.103*15）/30
ans=
388.3163（【1】七月十号）
故最终取x1=0,x2=4,x3=4时总成本最低为：
387.4764（百万元）
八．问题的评价
1.由于题目只能采用增加一个水电站，一个火电站，具有很大的局限性。
我们可以设想采用多个增加火电站，水电站的工程投资相比火电站的投资较大，可能要发费的成本要小。
2.由于x3是小数取整数后会产生误差，浪费电量，能采用不同功率的发电机组，更能节约成本。
3.由模型优化得15年后的最低成本为与10后的相同，更加说明，
分别新建一个水电站和火电站均有四台发电机组所使用的成本最低
参考文献：
[1]姜启源，数学模型，北京：
高等教育出版社，2004年
[2]谢金星薛毅，优化建模与LINGO软件，北京：
清华大学出版社，2004年
[3]李再龄，年计算支出法的动态分析，江西：
江西水利科技出版社
[4]高锐…保连权，浅谈水利工程经济评价，哈尔滨：
科技创新导报
附录一
min=23.7772*x1+19.9728*x2+59.13*x3+21*x1*0.103+（70*x2+504）*0.0578+（240+65*x3）*0.103;
10*x1+25*x2+30*x3>180;
241*10*24*x1+146*25*24*x2+255*30*24*x3>1000000;
x1<5;
x2<4;
x3<4;
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
382.8236
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
1
VariableValueReducedCost
X10.0000005.203174
X24.0000000.000000
X33.5381260.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1382.8236-1.000000
：
附录二min=23.7772*x1+19.9728*x2+59.13*x3+（（21*x1*0.103）*15+（70*x2+504）*0.0578*30+（240+65*x3）*0.103*15）/30;
10*x1+25*x2+30*x3>180;
241*10*24*x1+146*25*24*x2+255*24*30*x3>1000000;
x1<5;
x2<4;
x3<4;
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
358.6197
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
1
VariableValueReducedCost
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50.0000005.790726
60.46187360.000000
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