高考数学热点难点突破技巧精讲第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题.docx

高考数学热点难点突破技巧精讲第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题.docx

《高考数学热点难点突破技巧精讲第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学热点难点突破技巧精讲第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学热点难点突破技巧精讲第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题

第07讲：

导数中的双变量存在性和任意性问题的处理

【知识要点】

在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到很棘手，或在解题中出现知识性错误.

1、双存在性问题

“存在

，存在

，使得

成立”称为不等式的双存在性问题，存在

，存在

，使得

成立，即

在区间

内至少有一个值

比函数

在区间

内的一个函数值小.，即

.（见下图1）

“存在

，存在

，使得

成立”，即在区间

内至少有一个值

比函数

在区间

内的一个函数值大，即

.（见下图2）

2、双任意性问题

“任意

，对任意的

，使得

成立”称为不等式的双任意性问题.任意

，对任意的

，使得

成立，即

在区间

任意一个值

比函数

在区间

内的任意一个函数值都要小，即

.

“任意

，对任意的

，使得

成立”，即

在区间

内任意一

个值

比函数

在区间

内的任意一个函数值都要大,即

.

3、存在任意性问题

“存在

，对任意的

，使得

成立”称为不等式的存在任意性问题.存在

，对任意的

，使得

成立，即

在区间

内至少有一个值

比函数

在区间

内的任意一个函数值都要小，即

.（见下图3）

“存在

，对任意的

，使得

成立”，即

在区间

内至少有一个值

比函数

在区间

内的任意一个函数值都要大，即

.（见下图4）

【方法讲评】

题型一

双存在性问题

使用情景

不等式中的两个自变量属性都是存在性的.

解题理论

存在

，存在

，使得

成立”称为不等式的双存在性问题，存在

，存在

，使得

成立，即

在区间

内至少有一个值

比函数

在区间

内的一个函数值小，即

.

“存在

，存在

，使得

成立”，即在区间

内至少有一个值

比函数

在区间

内的一个函数值大，即

.

【例1】已知函数

.

（Ⅰ）讨论

的单调性；

（Ⅱ）当

时，设

，若存在

，

，使

，求实数

的取值范围.（

为自然对数的底数，

）

当

时，

，

，

当

时，

，

单调递减，

当

时，

，

单调递增，

当

时，

，

单调递减，

所以当

时，

的减区间为

，增区间

.

当

时，

的减区间为

.

当

时，

的减区间为

，

增区间为

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

在

上的最大值为

，

，令

，得

.

时，

，

单调递减，

，

，

单调递增，

所以

在

上的最小值为

，

由题意可知

，解得

所以

.

【点评】

（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.

（2）对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反.

【反馈检测1】设函数

，

（1）若

是函数

的一个极值点，试求出

关于

的关系式（用

表示

）,并确定

的单调区间；

（2）在

（1）的条件下，设

，函数

，若存在

使得

成立，求

的取值范围.

题型二

双任意性问题

使用情景

不等式的两个自变量属性都是任意的.

解题理论

“任意

，对任意的

，使得

成立”称为不等式的双任意性问题.任意

，对任意的

，使得

成立，即

在区间

任意一个值

比函数

在区间

内的任意一个函数值都要小，即

.

“任意

，对任意的

，使得

成立”，即

在区间

内任意一个值

比函数

在区间

内的任意一个函数值都要大,即

.

【例2】已知函数

．若不等式

对所有

，

都成立，求实数

的取值范围．

【解析】则

对所有的

，

都成立，

令

，

，

是关于

的一次函数，

因为

，所以

【点评】

（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.

（2）对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双任意性问题，两边的最值相反.

【反馈检测2】已知函数

，

，

，

.

（Ⅰ）讨论

的单调性；

（Ⅱ）对于任意

，任意

，总有

，求

的取值范围.

题型三

存在任意性

使用情景

不等式的两个自变量一个属性是存在性的，一个是任意性的.

解题理论

“存在

，对任意的

，使得

成立”称为不等式的存在任意性问题.存在

，对任意的

，使得

成立，即

在区间

内至少有一个值

比函数

在区间

内的任意一个函数值都要小，即

.

“存在

，对任意的

，使得

成立”，即

在区间

内至少有一个值

比函数

在区间

内的任意一个函数值都要大，即

.

【例3】（2010高考山东理数第22题）已知函数

.

（Ⅰ）当

时，讨论

的单调性；

（Ⅱ）设

当

时，若对任意

，存在

，使

，求实数

取值范围.

（1）当

时，

，当

函数

单调递减；当

，函数

单调递增.

（2）当

时，由

，即

，解得

.

当

时

，

恒成立，此时

，函数

单调递减；

当

时，

，

时

，函数

单调递减；

时，

，函数

单调递增；

时，

，函数

单调递减.

当

时

，当

函数

单调递减；

当

，函数

单调递增.

综上所述：

当

时，函数

在

单调递减，

单调递增；

当

时

，

恒成立，此时

，函数

在

单调递减；

当

时，

在

单调递减，

单调递增，

单调递减.

（Ⅱ）当

时，

在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意

，有

又已知存在

，使

，所以

，

，（※）

又

当

时，

与（※）矛盾；

当

时，

也与（※）矛盾；

当

时，

.

综上所述，实数

的取值范围是

.

【点评】

（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.

（2）对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，存在任意性问题，两边的最值相同.

【反馈检测3】已知函数

.

（Ⅰ）当

时，求函数

的单调区间；

（Ⅱ）已知

，函数

.若对任意

，都存在

，使得

成立，求实数

的取值范围.

高中数学热点难点突破技巧第07讲：

导数中的双变量存在性和任意性问题的处理参考答案

【反馈检测1答案】

（1）

；

（2）

.

令

，得

或

∵

是极值点，∴

，即

当

即

时，由

得

或

由

得

当

即

时，由

得

或

由

得

综上可知：

当

时，函数

的单调递增区间为

和

，单调递减区间为

；当

时，函数

单调递增区间为

和

，单调递减区间为

.

（2）由

（1）知，当a>0时，

在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，∴函数

在区间

上的最小值为

又∵

，

，

∴函数

在区间[0，4]上的值域是

，即

又

在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是

∵

－

＝

＝

，

∴存在

使得

成立只须仅须

－

<1

【反馈检测2答案】（Ⅰ）当

时，

递减区间为

，不存在增区间；当

时，

递减区间为

，递增区间

；（Ⅱ）

.

∴

递减区间为

，递增区间

；

综上：

当

时，

递减区间为

，不存在增区间；

当

时，

递减区间为

，递增区间

；

（Ⅱ）令

，由已知得只需

即

若对任意

，

恒成立，即

令

，则

设

，则

∴

在

递减，

即

∴

在

递减∴

即

的取值范围为

．

【反馈检测3答案】（I）详见解析；（II）

.

【反馈检测3详细解析】

当

时，

或

，

在

上递增，在

和

上递减；

，

在

上递减.

（II）由

（2）知

在

内单调递减，

内单调递增，

内单调递减，

又

，

故

有

，

只需

在[0,2]上最小值小于等于-1即可.

即

时

最小值

，不合题意，舍去；

即

时

最小值

；

即

时

最小值

；

综上所述：

.