运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案.docx
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运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案
运筹学基础及应用习题解答习题一P46
1.1
（a）
x2
4424x，x,12
3
2
1
x01231
4x，6x,612
14660该问题有无穷多最优解，即满足的所有，此时目标函数值x，x,且,x,，，x,x122122z,3。
（b）
x2
3
2
401x1
用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。
1.2
（a）约束方程组的系数矩阵
1236300,,,,A,81,4020,,,,30000,1,,
基基解是否基可行解目标函数值
xxxxxx123456
ppp否1671230-00036
ppp010070010是124
ppp3是7125030002
ppp否721126,400044
ppp否513400,8002
ppp3是3135000802
ppp否113610,0032
ppp0003500是145
ppp否51514600,2044
Tx,，，0,10,0,7,0,0最优解。
（b）约束方程组的系数矩阵
1234,,,,A,,,2212,,
基基解是否基可行解目标函数值
xxxx1234
pp否1112,4002
pp是211431300555
pp否11114,0036
pp5是1230202
pp否1240,022
pp00115是34
T211,,x,,0,,0最优解,,。
55,,
1.3
（a）
（1）图解法
x2
4
3
2
1
x01231
3x，4x,9,353,,12最优解即为的解，最大值z,x,1,,,,xx5，2,822,,12,
（2）单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式
maxz,10x，5x，0x，0x1234
3x，4x，x,9,123s.t.,5x，2x，x,8124,
则组成一个基。
令P,Px,x,03412得基可行解，由此列出初始单纯形表，，x,0,0,9,8
c,10500j
xxxx1234b基cB
34100x93
[5]2010x84
10500c,zjj
898,,,min,,。
,,,,,12535,,
c,10500j
xxxx1234b基cB
14321，，01,0x3,,555，，
2181010x1555
c,z010,2jj
2183,,，,min,,,,0,,,21422,,
新的单纯形表为
c,10500j
xxxx1234基bcB
353501,x221414
10x112110,77
525c,z00,,jj1414
335*，表明已找到问题最优解。
最大值x,1,x,,x,0,x,0z,,,,,012341222（b）
（1）图解法
6x，2x,2412x2
12
9
x，x,512
6
3
x03691
6x，2x,24,7317,,12最优解即为的解，最大值z,x,,,,,xx，,5222,,12,
（2）单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式
max2000zxxxxx,，，，，12345
515xx，,,23,stxxx..6224，，,,124
xxx，，,5,125
则PPP，，组成一个基。
令x,x,012345
，由此列出初始单纯形表得基可行解x,0,0,15,24,5，，
c,21000j
xxxxx基bcB12345x051003015
x[6]20104024
x05110015
21000c,zjj
245,,,,,,。
min,,4,,,12,,61,,
c,21000j
b基xxxxxcB12345
05100x3015
11001x43624
21，，x01001,5,,36，，
11c,z,jj00033
1533,,,,,min,24,，,,02,,522,,
新的单纯形表为
c,21000j
b基xxxxxcB12345
51515001,x42302
711x10042242
313x0010,5242
11c,z,,jj00042
715x,0x,0x,1，表明已找到问题最优解，，，，。
最大,,,,0x,x,121452322
17*值z,2
1.6
''''''，，x,x,xx,0,x,0（a）在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令22222，
'x,,x,z',,z33
该问题转化为
''''maxz',,3x,x，x,2x，0x，0x122345
'''',2x，3x,3x，4x，x,1212234,''''4x，x,x,2x,x,8,12235s.t.,''''xxxx3,，,3,61223,'''',x,x,x,x,x,x,0122345,
其约束系数矩阵为
23,3410,,,,A,41,1,20,1,,,,3,11,300,,
A在中人为地添加两列单位向量P,P78
23,341000,,,,41,1,20,110,,,,3,11,30001,,
''''maxz',,3x,x，x,2x，0x，0x,Mx,Mx令12234567得初始单纯形表
c,,3,11,200,M,Mj
''''b基cxxxxxxxxB12234567
23,3410000x124
Mx841,1-20-1106
Mx63,11-300017
c,z,3，7M,11,2,5M0,M00jj
'''''''zz,,xxxxx,,,,0,0（b）在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令，，33333，
该问题转化为
'''max'3500zxxxxxx,,,，,，，123345
''',x26，，,,,xxxx12334,'''23316xxxxx，,,，,,12335st..,'''xxxx，，,,55101233,''',xxxxxx,,,,,0,123345,
其约束系数矩阵为
121110,,,,
,A,,,213301,,,,115500,,,
A在中人为地添加两列单位向量P,P7812111010,,,,
,21330100,,,,,11550001,,,
'''令max'3500zxxxxxxMxMx,,,，,，，,,12334567
得初始单纯形表
c,j,,3-51-100-MM
,,xxxxxxxxb基cB12334567
121-1-1010,Mx66
213-30100016x5
115-50001,Mx107
c,zjj,，，32531+6-1-6-000MMMMM
1.7
（a）解1:
大M法
xxx,,,xxx,,,在上述线性规划问题中分别减去剩余变量再加上人工变量得468579
max22000zxxxxMxxMxxMx,,，，,，,，,123456789
xxxxx，，,，,6,12345,,，,，,22xxxx,1367st,,,20xxxx,,，,2389,
xxxxxxxxx,,,,,,,,0,123456789,
其中M是一个任意大的正数。
据此可列出单纯形表
c,212000,,,,MMMj
i
xxxxxxxxxcb基b123456789
Mx6111110000,65
,Mx2,,201001100,7
Mx000[2]1000011,,9
cz,2312000,,，,,,MMMMMMjj
Mx6103/211001/21/2,,45
Mx2,,20[1]00110027
10x011/200001/21/2,,,,2
53113MMMcz,2000,，,,,，MMMjj222222
Mx3[4]00113/23/21/21/2,,,3/45
22x,,2010011003,
11x,,,110001/21/21/21/22,
3353113MMMM，,,,,cz,45000MM，,jj2222
23/4x1001/41/43/83/81/81/8,,,1
27/2x0011/21/21/41/41/41/4,,,3
17/4x0101/41/41/81/83/83/8,,,2
5399,cz,0005/43/8,,,,,,MMMjj4888
,0ai,,0（1,2,3）由单纯形表计算结果可以看出，且，所以该线性规划问题有无界解4i4
解2:
两阶段法。
xxx,,,现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量再加上人工变量468xxx,,,得第一阶段的数学模型579
据此可列出单纯形表
c,000010101j
i
xxxxxxxxxcb基b123456789
16x111110000,65
12x,,,201001100,7
10x00[2]1000011,,9
cz,131101010,,jj
16x103/211001/21/2,,45
12x,,20[1]00110027
00x011/200001/21/2,,,,2
13cz,105/21010,,,jj22
13x[4]00113/23/21/21/2,,,3/45
02x,,201001100,3
01x,,,110001/21/21/21/2,2
cz,000010101jj
23/4x1001/41/43/83/81/81/8,,,1
27/2x0011/21/21/41/41/41/4,,,3
17/4x0101/41/41/81/83/83/8,,,2
cz,000010101jj
377**T第一阶段求得的最优解,目标函数的最优值。
,0X（,,,0,0,0,0,0,0）,442
377*T,xxx,,,0因人工变量，所以是原线性规划问题的基可X（,,,0,0,0,0,0,0）579442行解。
于是可以进行第二阶段运算。
将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题
的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表。
cz,,2120000,jji
xxxxxxcb基b123468
23/4x1001/43/81/8,,1
27/2x0011/21/41/4,,3
17/4x0101/41/83/8,,,2
cz,0005/43/89/8,,jj
,0ai,,0（1,2,3）由表中计算结果可以看出，且，所以原线性规划问题有无界解。
4i4
（b）解1:
大M法
xxx,,,xxx,,,在上述线性规划问题中分别减去剩余变量再加上人工变量得468579
min2300zxxxxxMxMx,，，，，，,1234567
xxxxx，，,，,428,12346,326xxxx，,，,,1257st,,,
xxxxxxxxx,,,,,,,,0,123456789,
其中M是一个任意大的正数。
据此可列出单纯形表
c,212000,,,,MMMj
i
xxxxxxxcb基b1234567
1[4]21010,Mx8263200101,Mx637
cz,24361200,,,MMMMMjj
1/411/21/401/40,32x82[5/2]011/211/21,,,Mx24/57
5513133MMcz,,,,,MMM00jj4224224
013/53/101/103/101/10,,39/5x2102/51/52/51/52/5,,,24/5x1
cz,0001/21/21/21/2MM,,jj
49*T,由单纯形表计算结果可以看出，最优解，目标函数的最优解值X（,,0,0,0,0,0）55
49*,,0X存在非基变量检验数，故该线性规划问题有无穷多最优解。
z,，，，,237。
355
解2:
两阶段法。
xx,,xx,,现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量再加上人工变量得第4567
min,,，xx一阶段的数学模型67
xxxxx，，,，,428,12346,326xxxx，,，,,1257st,,,
xxxxxxxxx,,,,,,,,0,123456789,
据此可列出单纯形表
c,0000011j
i
xxxxxxxcb基b1234567
1[4]21010,18x263200101,16x37
cz,,,,4621100jj
1/411/21/401/40,02x82[5/2]011/211/21,,,12x4/57
cz,,,5/2011/213/20jj
013/53/101/103/101/10,,09/5x2102/51/52/51/52/5,,,04/5x1
cz,0000011jj
49**T,第一阶段求得的最优解,目标函数的最优值。
,0X（,,0,0,0,0,0）55
49Txx,,0因人工变量，所以是原线性规划问题的基可行解。
于是可（,,0,0,0,0,0）6755
以进行第二阶段运算。
将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表。
cz,,23100jji
xxxxxcb基b12345
39/5x013/53/101/10,2102/51/52/5,,24/5x1
cz,0001/21/2jj
49*T,由单纯形表计算结果可以看出，最优解，目标函数的最优解值X（,,0,0,0,0,0）55
49*,,0由于存在非基变量检验数，故该线性规划问题有无穷多最优z,，，，,237。
355
解。
1.8
表1-23
xxxxx12345
x624-2104
x1,132015
c,z3,1200jj
表1-24
xxxxx12345
x312,11201
x10511215
c,z0,75,320jj
1.10
354000
xxxxxx123456
231013005x832
,,4305,23100x1435
0x2935304,23016
c,z,1304,5300jj
xxxxxx123456
231013005x832
41501,2151504x14153
,0x8915411500,215,4516c,z111500,1715,450jj
xxxxxx123456
0101541841,10415x50412
001,6415414414x62413
100,241,124115413x89411c,z000,4541,2441,1141jj
最后一个表为所求。
习题二P76
2.1写出对偶问题
（a）
minz,2x，2x，4xmaxw,2y，3y，5y123123
x，3x，4x,2y，2y，y,2,,123123,,2x，x，3x，y,3对偶问题为:
3y，y，4y,2,,1234123s.t.s.t.,,x，4x，3x,54y，3y，3y,4123123,,,,x,x,0,x无约束y,0,y,0,y无约束123123,,
（b）
maxz,5x，6x，3xminw,5y，3y，8y123123
x，2x，2x,5y,y，4y,5,,123123,,,x，5x,x,3对偶问题为:
2y，5y，7y,6,,123123st..s.t.,,4x，7x，3x,82y,y，3y,3123123,,,,x无约束,x,0,x,0y无约束,y,0,y,0123123,,
2.2
（a）错误。
原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解。
（b）错误。
线性规划的对偶问题无可行解，则原问题可能无可行解，也可能为无界解。
（c）错误。
（d）正确。
2.6对偶单纯形法
（a）
minz,4x，12x，18x123
x，3x,3,13,s.t.2x，2x,5,23,x,x,x,0123,
解:
先将问题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式
zxxxxxmax',,4,12,18，0，012345
xxx,,3，,,3,134,s.t.,2x,2x，x,,5,235,，，x,0i,1,？
5i,
列单纯形表，用对偶单纯形法求解，步骤如下c,,4,12,1800j
xxxxx12345基bcB
10,3100x,34
0x,50,,,2,2015
c,z,4,12,1800jj
0x,3,,,10,3104
51,x120110,222c,z,40,60,6jj
11,18x101,0333
1113,10,12,x23322c,z,200,2,6jj
T3,,x,0,1,最优解为z,39，目标值。
,2,,
（b）
minz,5x，2x，4x123
3x，x，2x,4,123,s.t.6x，3x，5x,10,123,xxx,,,0123,
解:
先将问题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式
maxz',,5x,2x,4x，0x，0x12345
xxxx,3,,2，,,4,1234,s.t.,6x,3x,5x，x,,10,1235,，，x,0i,1,？
5i,
列单纯形表，用对偶单纯形法求解
c,,5,2,400j
xxxxx12345基bcB
3,1,2100x,44
0x,10,6,,,3,5015
c,z,5,2,400jj
20x,11，，4,10,1,3,,33，，
10512,x210,2333
22c,z,10,0,jj33
4x,2301,313
2x0,3105,22
c,z100,20jj
T，，x,0,0,2z,8最优解为，目标值。
2.8将该问题化为标准形式:
maxz,2x,x，x，0x，0x12345
x，x，x，x,6,1234,s.t.,x，2x，x,4,125,，，x,0i,1,？
5i,
用单纯形表求解
c,2,1100j
xxxxx12345b基cB
[1]11100x64
0x4,120015
c,z2,1100jj
,6
xxxxx12345b基cB
111102x61
0x10031115
c,z0,3-1,20jj
**,,0，，由于，所以已找到最优解X,6,0,0,0,10，目标函数值z,12j
（a）令目标函数
max2zxxx,，，，（）（,,,-1+）（1+）112233
（1）令，将反映到最终单纯形表中,,,,0123
c,21100，,,j1
xxxxxb基cB12345
111102，,x614
0x10031115
c,z0-3-,-1-,,2-,0jj111
表中解为最优的条件:
-3-,,0，-1-,,0，,2-,,0，从而,,,11111
,,,0,
（2）令，将反映到最终单纯形表中132
c,2,1，,100j2
b基xxxxxcB12345
111102x61
0x10031115
c,z0,-3-1,20jj2
-3,0,,3表中解为最优的条件:
，从而22
,,,,0（3）令，将反映到最终单纯形表中312
c,2,11，,00j3
xxxxxb基cB12345
111102x61
0x10031115
c,z0-3,-1,20jj3
-1,0,,1表中解为最优的条件:
，从而33
（b）令线性规划问题为
maxz,2x,x，x123
x，x，x,6，,1234,stxx..,，2,4，,,125
，，xi？
0,1,3i,
（1）先分析的变化
,10,,,,,,11,,1,,,b,B,b,,,,,,,,,,,,,110,,,,,,1
6，,,1,,使问题最优基不变的条件是，从而,,,6b，,b,,,,01,,,10，1,,
6,,
（2）同理有，从而,,,10,,,02,,10，,2,,
,x，2x,,6,2x,（6,0,0,0,10）（c）由于代入，所以将约束条件减去剩余变量后的方13,x，2x,x,2程直接反映到最终单纯形表中136
c,2-11000j
xxxxxxb基cB123456
x261111001
x0100311105
x0-210-20016
c,z0-3-1-200jj
对表中系数矩阵进行初等变换，得c,2-11000j
b基xxxxxxcB123456
x261111001
x0100311105
x0-80-1[-3]-1016
c,z0-3-1-200jj
c,2-11000j
xxxxxx基bcB123456
10221x200113333
82122x000153333
1811x0010,63333
851c,z000,,,jj333因此增加约束条件后，新的最优解为
1082228
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