运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案.docx

1、运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案运筹学基础及应用 习题解答 习题一 P46 1.1 (a) x24 424x，x,123 2 1 x0 1 2 3 14x，6x,612 14660该问题有无穷多最优解，即满足的所有，此时目标函数值x，x,且,x,，x,x122122z,3。 (b) x23 2 4 0 1 x1用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.2 (a) 约束方程组的系数矩阵 1236300,A,81,4020 ,30000,1,基 基解 是否基可行解 目标函数值 x x x x x x123456p p

2、 p 否 1671230 - 0 0 0 36p p p 0 10 0 7 0 0 10 是 124p p p 3 是 7125 0 3 0 0 02p p p 否 721126 ,4 0 0 0 44p p p 否 5134 0 0 , 8 0 02p p p 3 是 3135 0 0 0 8 02p p p 否 1136 1 0 , 0 0 32p p p 0 0 0 3 5 00 是 145p p p 否 515146 0 0 ,2 0 44Tx,，0,10,0,7,0,0最优解。 (b) 约束方程组的系数矩阵 1234,A,2212,基 基解 是否基可行解 目标函数值 x x x x

3、1234p p 否 1112 ,4 0 0 2p p 是 2114313 0 0 555p p 否 11114, 0 0 36p p 5 是 1230 2 0 2p p 否 1240 , 0 2 2p p 0 0 1 1 5 是 34T211,x,0,0最优解 ,。55,1.3 (a) (1) 图解法 x24 3 2 1 x0 1 2 3 13x，4x,9,353,12最优解即为的解，最大值 z,x,1,xx5，2,822,12,(2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 max z,10x，5x，0x，0x12343x，4x，x,9,123s.t. ,5x，2x，x

4、,8124,则组成一个基。令 P,Px,x,03412得基可行解，由此列出初始单纯形表 ，x,0,0,9,8c, 10 5 0 0 jx x x x1234b 基 cB3 4 1 0 0 x 935 2 0 1 0 x 8410 5 0 0 c,z jj898,min,。 ,12535,c, 10 5 0 0 jx x x x1234b 基 cB143 21，0 1 , 0 x 3,555，2 181 0 10 x 1555c,z 0 1 0 ,2jj2183,，,min, ,0,21422,新的单纯形表为 c, 10 5 0 0jx x x x1234 基 b cB3535 0 1 , x2

5、2141410 x 11 211 0 , 77525c,z 0 0 , ,jj1414335*，表明已找到问题最优解。最大值 x,1, x, , x,0 , x,0z,012341222(b) (1) 图解法 6x，2x,2412 x212 9 x，x,5126 3 x0 3 6 9 16x，2x,24,7317,12最优解即为的解，最大值z, x,xx，,5222,12,(2) 单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 max 2000zxxxxx,，12345515xx，,23 ,stxxx. 6224，,124,xxx，,5,125则PPP，组成一个基。令 x,x,

6、012345，由此列出初始单纯形表 得基可行解x,0,0,15,24,5，c, 2 1 0 0 0jxxxxx 基 b cB12345 x0 5 1 0 0 30 15 x6 2 0 1 0 40 24 x0 5 1 1 0 0 1 52 1 0 0 0c,z jj245,。min,4 ,12,61,c, 2 1 0 0 0jb 基 xxxxxc B12345 0 5 1 0 0 x30 15 11 0 0 1 x4362 4 21，x0 1 0 0 1 ,5,36，11c,z ,jj0 0 0331533,min,24,， ,02,522,新的单纯形表为 c, 2 1 0 0 0jb 基 x

7、xxxxc B12345 51515 0 0 1 ,x4230 2711x 1 0 0 42 242313x0 0 1 0 ,524211c,z ,jj0 0 0 42715x,0x,0x,1，表明已找到问题最优解，。最大,0 x,x,12145232217* 值 z,21.6 ，x,x,x x,0,x,0(a) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令22222，x,x, z,z 33该问题转化为 max z,3x,x，x,2x，0x，0x122345,2x，3x,3x，4x，x,1212234, 4x，x,x,2x,x,8,12235s.t. ,xxxx3,，,3,61223,x,x,x,

8、x,x,x,0122345,其约束系数矩阵为 23,3410, A,41,1,20,1,3,11,300,A在中人为地添加两列单位向量 P,P7823,341000, 41,1,20,110,3,11,30001,max z,3x,x，x,2x，0x，0x,Mx,Mx令 12234567得初始单纯形表 c, ,3 ,1 1 ,2 0 0 ,M ,M jb 基 cx x x x x x x x B122345672 3 ,3 4 1 0 0 0 0 x 124,M x 84 1 ,1 -2 0 -1 1 0 6,M x 63 ,1 1 -3 0 0 0 17 c,z ,3，7M ,1 1 ,2,

9、5M 0 ,M 0 0jj zz,xxxxx, 0,0(b) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令 ，33333，该问题转化为 max 3500zxxxxxx,，,，123345,x26，,xxxx12334, 23316xxxxx，,，,12335st. ,xxxx，,55101233,xxxxxx,0,123345,其约束系数矩阵为 121110,A,213301 ,115500,A在中人为地添加两列单位向量 P,P7812111010,21330100, ,11550001,令 max 3500zxxxxxxMxMx,，,，,12334567得初始单纯形表 c, j,3 -5 1 -

10、1 0 0 -M M,xxxxxxxx b 基 cB123345671 2 1 -1 -1 0 1 0,Mx 6 62 1 3 -3 0 1 0 00 16x 51 1 5 -5 0 0 0 1 ,Mx 107 c,z jj,，32 53 1+6 -1-6 - 0 0 0MMMMM1.7 (a)解1:大M法 xxx,xxx,在上述线性规划问题中分别减去剩余变量再加上人工变量得 468579max22000zxxxxMxxMxxMx,，,，,，, 123456789xxxxx，,，,6,12345,，,，,22xxxx,1367 st,20xxxx,，,2389,xxxxxxxxx,0,1234

11、56789,其中M是一个任意大的正数。据此可列出单纯形表 c, 212000,MMMj, ixxxxxxxxx cb基 b123456789,Mx6111110000,65,Mx2 ,201001100 ,7,Mx00021000011,9cz, 2312000,，,MMMMMMjj,Mx6103/211001/21/2,45,Mx2 ,201001100 27,10x011/200001/21/2,253113MMM cz, 2000,，,，MMMjj222222,Mx3400113/23/21/21/2,3/4522x ,2010011003,11x,110001/21/21/21/22,

12、3353113MMMM，, cz, 45000MM，,jj222223/4x1001/41/43/83/81/81/8,127/2x 0011/21/21/41/41/41/4,3,17/4x0101/41/41/81/83/83/8,25399, cz, 0005/43/8,MMMjj4888,0ai,0(1,2,3)由单纯形表计算结果可以看出，且，所以该线性规划问题有无界解 4i4解2:两阶段法。 xxx,现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量再加上人工变量468xxx,得第一阶段的数学模型 579据此可列出单纯形表 c, 000010101j, ixxxxxxxxx cb基 b

13、12345678916x111110000,6512x,201001100 ,710x0021000011,9cz, 131101010,jj16x103/211001/21/2,4512x,201001100 2700x011/200001/21/2,213 cz, 105/21010,jj2213x400113/23/21/21/2,3/4502x,201001100,301x,110001/21/21/21/2,2cz, 000010101jj23/4x1001/41/43/83/81/81/8,127/2x 0011/21/21/41/41/41/4,3,17/4x0101/41/41

14、/81/83/83/8,2cz, 000010101 jj377*T第一阶段求得的最优解,目标函数的最优值。 ,0X(,0,0,0,0,0,0),442377*T,xxx,0因人工变量，所以是原线性规划问题的基可X(,0,0,0,0,0,0)579442行解。于是可以进行第二阶段运算。将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表。 cz, ,2120000, jjixxxxxx cb基 b12346823/4x1001/43/81/8,127/2x 0011/21/41/4,3,17/4x0101/41/83/8,2cz, 0005/43/89/

15、8,jj,0ai,0(1,2,3)由表中计算结果可以看出，且，所以原线性规划问题有无界解。 4i4(b)解1:大M法 xxx,xxx,在上述线性规划问题中分别减去剩余变量再加上人工变量得 468579min2300zxxxxxMxMx,，, 1234567xxxxx，,，,428,12346,326xxxx，,，,1257 st,xxxxxxxxx,0,123456789,其中M是一个任意大的正数。据此可列出单纯形表 c, 212000,MMMj, ixxxxxxx cb基 b12345671421010,Mx826 3200101,Mx6 37cz, 24361200,MMMMMjj1/41

16、1/21/401/40,32x82 5/2011/211/21,Mx24/575513133MM cz, ,MMM00jj4224224013/53/101/103/101/10,39/5x2 102/51/52/51/52/5,24/5x 1cz, 0001/21/21/21/2MM, jj49*T,由单纯形表计算结果可以看出，最优解，目标函数的最优解值X(,0,0,0,0,0)5549*,0X存在非基变量检验数，故该线性规划问题有无穷多最优解。 z,，,237。355解2:两阶段法。 xx,xx,现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量再加上人工变量得第4567min,，xx 一阶

17、段的数学模型67xxxxx，,，,428,12346,326xxxx，,，,1257 st,xxxxxxxxx,0,123456789,据此可列出单纯形表 c, 0000011j, ixxxxxxx cb基 b12345671421010,18x26 3200101,16x 37cz, ,4621100jj1/411/21/401/40,02x82 5/2011/211/21,12x 4/57cz, ,5/2011/213/20jj013/53/101/103/101/10,09/5x2 102/51/52/51/52/5,04/5x1cz, 0000011jj49*T,第一阶段求得的最优解,

18、目标函数的最优值。 ,0X(,0,0,0,0,0)5549Txx,0因人工变量，所以是原线性规划问题的基可行解。于是可(,0,0,0,0,0)6755以进行第二阶段运算。将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表。 cz, ,23100 jjixxxxx cb基 b1234539/5x013/53/101/10,2 102/51/52/5,24/5x1cz, 0001/21/2jj49*T,由单纯形表计算结果可以看出，最优解，目标函数的最优解值X(,0,0,0,0,0)5549*,0由于存在非基变量检验数，故该线性规划问题有无穷多最优z,，,2

19、37。355解。 1.8 表1-23 x x x x x 12345 x 62 4 -2 1 0 4x 1,1 3 2 0 1 5c,z 3 ,1 2 0 0 jj表1-24 x x x x x 12345 x 31 2 ,1 12 01x 10 5 1 12 15c,z 0 ,7 5 ,32 0jj1.10 3 5 4 0 0 0 x x x x x x123456 23 1 0 13 0 0 5 x 832,43 0 5 ,23 1 0 0 x 14350 x 29353 0 4 ,23 0 16 c,z ,13 0 4 ,53 0 0jjx x x x x x123456 23 1 0

20、13 0 0 5 x 832,415 0 1 ,215 15 0 4 x 1415 3,0 x 89154115 0 0 ,215 ,45 16 c,z 1115 0 0 ,1715 ,45 0jjx x x x x x123456 0 1 0 1541 841 ,1041 5 x 504120 0 1 ,641 541 441 4 x 624131 0 0 ,241 ,1241 15413 x 89411 c,z 0 0 0 ,4541 ,2441 ,1141jj最后一个表为所求。 习题二 P76 2.1 写出对偶问题 (a) min z,2x，2x，4xmax w,2y，3y，5y1231

21、23x，3x，4x,2y，2y，y,2,123123,2x，x，3x，y,3 对偶问题为: 3y，y，4y,2,1234123s.t. s.t. ,x，4x，3x,54y，3y，3y,4123123,x,x,0,x无约束y,0,y,0,y无约束123123,(b) max z,5x，6x，3xmin w,5y，3y，8y123123x，2x，2x,5y,y，4y,5,123123,x，5x,x,3 对偶问题为: 2y，5y，7y,6,123123st. s.t. ,4x，7x，3x,82y,y，3y,3123123,x无约束,x,0,x,0y无约束,y,0,y,0123123,2.2 (a)错

22、误。原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解。 (b)错误。线性规划的对偶问题无可行解，则原问题可能无可行解，也可能为无界解。 (c)错误。 (d)正确。 2.6 对偶单纯形法 (a) min z,4x，12x，18x123x ，3x,3,13 ,s.t. 2x，2x,5,23,x,x,x,0123,解:先将问题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式 zxxxxxmax ,4,12,18，0，012345xxx, ,3， ,3,134 ,s.t. ,2x,2x ，x,5,235,，x,0i,1,？,5i,列单纯形表，用对偶单纯形法求解，步骤如下 c, ,4 ,12 ,18 0

23、0jx x x x x12345 基 b cB,1 0 ,3 1 0 0 x ,340 x ,5 0 ,2 ,2 0 15c,z ,4 ,12 ,18 0 0 jj0 x ,3,1 0 ,3 1 04 51,x12 0 1 1 0 ,222 c,z,4 0 ,6 0 ,6jj 11,18 x 1 0 1 , 03 33 1113, 1 0 ,12 ,x23322 c,z,2 0 0 ,2 ,6jj T3,x,0,1,最优解为z,39， 目标值。 ,2,(b) min z,5x，2x，4x1233x，x ，2x,4,123 ,s.t. 6x，3x，5x,10,123,xxx,0123,解:先将问

24、题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式 max z,5x,2x,4x，0x，0x12345xxxx,3, ,2， ,4,1234 ,s.t. ,6x,3x,5x ，x,10,1235,，x,0i,1,？,5i,列单纯形表，用对偶单纯形法求解 c, ,5 ,2 ,4 0 0 jx x x x x12345 基 b cB,3 ,1 ,2 1 0 0 x ,440 x ,10 ,6 ,3 ,5 0 15c,z ,5 ,2 ,4 0 0jj20 x,11，4,1 0 , 1 ,3 ,33， 10512 ,x2 1 0 ,2333 22c,z,1 0 , 0 ,jj 33 ,4 x ,23 0 1 ,

25、3 13 ,2 x 0,3 1 0 5 ,22 c,z1 0 0 ,2 0jj T，x,0,0,2z,8最优解为， 目标值。 2.8 将该问题化为标准形式: max z,2x,x，x，0x，0x12345x，x，x，x,6,1234 ,s.t. ,x，2x，x,4,125,，x,0i,1,？5i,用单纯形表求解 c, 2 ,1 1 0 0 jx x x x x12345b 基 cB1 1 1 1 0 0 x 640 x 4,1 2 0 0 1 5c,z 2 ,1 1 0 0 jj,6 x x x x x12345b 基 cB1 1 1 1 0 2 x 610 x 100 3 1 1 1 5c,

26、z 0 ,3 -1 ,2 0 jj*,0，由于，所以已找到最优解X,6,0,0,0,10，目标函数值 z,12j(a) 令目标函数 max 2zxxx,，()(,-1+)(1+)112233,(1)令，将反映到最终单纯形表中 ,0123c, 2 1 1 0 0，,j1x x x x xb 基 cB123451 1 1 1 0 2，, x 6140 x 10 0 3 1 1 15c,z 0 -3-, - 1 -, ,2-, 0jj111表中解为最优的条件:-3-,0，- 1 -,0，,2-,0，从而,1 1111,0,(2)令，将反映到最终单纯形表中 132c, 2 ,1，, 1 0 0 j2b

27、 基 x x x x xc B123451 1 1 1 0 2 x 610 x 10 0 3 1 1 15c,z 0 ,-3 - 1 ,2 0 jj2,-3 ,0,3表中解为最优的条件:， 从而 22,0 (3) 令，将反映到最终单纯形表中 312c, 2 ,1 1，, 0 0 j3x x x x xb 基 cB123451 1 1 1 0 2 x 610 x 10 0 3 1 1 15c,z 0 -3 , - 1 ,2 0 jj3,-1,0,1表中解为最优的条件:， 从而 33(b) 令线性规划问题为 max z,2x,x，x123,x，x，x,6，,1234,stxx. ,，2,4，,12

28、5,，xi？,0,1,3 i,(1)先分析的变化 ,10,11,1 ,b,B,b,110,1,6，,1,使问题最优基不变的条件是，从而,6 b，,b,01,10，1,6,(2)同理有，从而,10 ,02,10，,2,x，2x,6,2x,(6,0,0,0,10)(c) 由于代入，所以将约束条件减去剩余变量后的方13,x，2x,x,2程直接反映到最终单纯形表中 136c, 2 -1 1 0 0 0 jxxxxxxb 基 cB123456x2 6 1 1 1 1 0 0 1x0 10 0 3 1 1 1 0 5x0 -2 1 0 -2 0 0 1 6c,z 0 -3 -1 -2 0 0 jj对表中系数矩阵进行初等变换，得 c, 2 -1 1 0 0 0 jb 基 xxxxxxc B123456x2 6 11 1 1 0 0 1x0 10 0 3 1 1 1 0 5x0 -8 0 -1 -3 -1 0 1 6c,z 0 -3 -1 -2 0 0 jjc, 2 -1 1 0 0 0 jxxxxxx 基 b cB12345610221x2 0 0 1 1333382122x0 0 0 1 533331811x0 0 1 0 ,63333851c,z 0 0 0 ,jj333因此增加约束条件后，新的最优解为 1082228