九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练.docx
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九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练
九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练
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一.解答题
1.如图,在平而直角坐标系中,二次函数的图像交坐标轴于A(-1,0)、B(4,0)、C
(0,4)三点,点P是直线BC下方抛物线上的一动点・
(2)是否存在点P,使∆POC是以OC为底边的等腰三角形?
若存在,求出P点坐标:
若不存在,请说明理由;
(3)动点P运动到什么位垃时,四边形PBOC而积最大?
求出此时点P坐标和四边形PBOC的最大而积.
2.如图,二次函数y=^χ+bx+c的图像经过M(0,3),N(-2-5)两点.
一点.P点横坐标为加.
(1)求α的值;
(2)若P为二次函‰=α(x-l)(x-3)(α>0)图像的顶点,求证:
ZACO=ZPCB:
(3)Q(也+H,H)为二次函^y=a(x-l)(x-3)(a>0)图像上一点,且ZACo
=ZQCB,求n的取值范用・
4.
如图,已知二次函数yl=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0),C(OJ),且对称轴
(2)若点B,C关于抛物线的对称轴对称,根据图像直接写出满足y1>y2时X的取值
范围.
5.已知如图,二次函数y=Max2M+bx+c的图像过A、B、C三点
观察图像写出A.B、C三点的坐标
求岀二次函数的解析式
6.已知二次函数y=-χ2+(,w-2)x+3(m+l)的图像如图所示•
(1)当m≠-4时,说明这个二次函数的图像与X轴必有两个交点:
(2)如图情况下,若OAoB=6^求点C的坐标.
7.已知二次函数y=t∕√-5x+c的图像如图所示.
(1)求这个二次函数的解析式:
(2)观察图像,直接写出:
何时)'随X的增大而增大?
何时y<0?
8.已知二次函数的图像如图所示.
(1)求这个二次函数的表达式:
(2)观察图像,当-2<%<1时,写出y的取值范围.
9.如图,已知二次函数y=ax1+bx+3的图像经过点A(L0),B(一2,3)・
(1)求该二次函数的表达式:
(2)求该二次函数的最大值:
(3)结合图像,解答问题:
当y>3时,X的取值范用是・
-2的图像与X轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),
(1)求A.3两点的坐标:
(2)若P(∕-2)为二次函数j=x2-x-2图像上一点,求加的值.
参考答案
1.(I)y1=√-3x-4;
(2)存在满足条件的P点,其坐标为(匕』了,_2):
(3)16.
【解析】
【分析】
(1)由A、B、C三点的坐标,利用待宦系数法可求得抛物线解析式:
(2)由题意可知点P在线段Oe的垂直平分线上,则可求得P点纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标;
(3)过P作PE丄X轴,交X轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示岀PF的长,则可表示岀四边形PBOC的而枳,利用二次函数的性质可求得四边形PBOC≡积的最大值及P点的坐标
【详解】
解:
(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C三点坐标代入可得
a-b+c=0
'16α+4b+c=0,
c=-4
解得<b=-3,
c=-4
•••抛物线解析式为y=x2-3x-4:
(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图2,
APO=PC,此时P点即为满足条件的点,
VC(0,-4),
∙∙∙D(O,-2)t
∙∙∙P点纵坐标为-2,
代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2,解得X=3—∕∏(小于0,舍去)或X=辿I,
22
•••存在满足条件的P点,其坐标为(Ml,・2)・
2
(3)T点P在抛物线上,
•••可设P(t,t2-3t-4),
VB(4,0),C(0,-4),
・•.直线BC解析式为y=x-4,
ΛF(ttt-4),
ΛPF=(t∙4)・(t2∙3b4)=-t2+4tt
∙φ∙S四边形刖(疋=S厶PBC+»BCO=S/FC+S∖PFB+
=丄PF∙OE+丄PF∙BE+丄×OC∙BO=丄PF(OE+BE)+丄×4×4
22222
=IPFeOB+8=4(-t2+4t)×4+8=-2(t-2)2+16,
22
・•.当t=2时,S四边形咖C最大值为16,此时t2-3t-4=-6,
・••当P点坐标为(2,-6)时,四边形PBOC的最大面积为16.
【点睛】
本题为二次函数的综合应用,涉及待左系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想
等知识.在
(1)中注意待立系数法的应用,在
(2)中确左岀P点的位程是解题的关键,在
(3)中用P点坐标表示出四边形PBOC的而积是解题的关键.
2.
(1)y=-x2+2x+5:
(2)6:
(3)P(IJ)
【解析】
【分析】
(1)将MN两点代入y=—F+bx+c求出b,c值,即可确定表达式:
(2)令严0求X的值,即可确定A、B两点的坐标,求线段AB长,由三角形面积公式求解.
(3)求岀抛物线的对称轴,确立M关于对称轴的对称点G的坐标,直线NG与对称轴的交点即为所求P点,利用一次函数求出P点坐标•
【详解】解:
将点M(0,3),N(-2、-5)代入y=一/+加中得,
c=3
-4-2"+c=-5'
(b=2
解得,↑C,
[c=3
∙∙∙y与X之间的函数关系式为,v=-x2+2x+3:
(2)如图,当y=0时,-F+2x+3=0,
・∙X]=3,X2=■1»
ΛA(-l,0).B(3,0),∙∙∙AB=4,
/•Saabm=—×4×3=6.
2
即ΔABM的而积是6.
fC
(3)如图,抛物线的对称轴为直线X=-—=-—=1,Ia-2
点M(0,3)关于直线x=l的对称点坐标为G(2,3),
.∙.PM=PG.
连MG交抛物线对称轴于点P・此时NP+PM=NP+PG最小,即∆MNP周长最短.
设直线NG的表达式为y=mx+n,
将N(∙2,∙5),G(2,3)代入得,
一2〃?
+n=-5
2/77+7?
=3
[in=2
解得,{「
77=-1
.∖y=2m-l,
∙∙∙P点坐标为(1,1)∙
【点睛】
本题考查抛物线与图形的综合题,涉及待定系数法求解析式,图象的交点问题,利用对称性
解决线段和的最小值问题,利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.
如图,二次函数y=-x2+bx+c的图像经过M(0,3).N(-2r5)两点.
3・
(1)1:
(2)证明见解析:
(3)-1<λ<1∏Jc∣【解析】试题分析:
(1)把点C(0,3)代Λy=a(x-I)(X-3)(α>0)即可求岀“1;
(2)求出点P的坐标,再求出CP=2帖,BP=屆CB=3√2,判断岀ABCP为直角三角形,通过解直角三角形,得出^nZACO=IanZPCB.从而证出:
ZACO=ZPCB;
(3)通过分类讨论,即可得岀-l试题解析:
(1)把点C(0,3)代Ay=α(x-l)(x-3)(α>0)得:
3=3“
.∖a=∖
即“的值为1
(2)Vd=I
•••抛物线的解析式为:
y=(%-I)(X-3)=X2-4%+3=(%-2)2-1
:
.P(2,-1)
YB(3,0),C(0,3)
ΛCP=2√5>BP=√2,CB=3√2
:
.BPZ+BC2=20,CP?
=(2√5)2=20
:
.BP2+BC2=CP2∙∙∙ZCBP=90°•••tanZPCB孚=為=扌
VtanZAOC=-=-
OC3
AtanZPCB=IanZAOC
:
.ZAoC=ZPCB
(3)(i)当点。
在BC左侧的抛物线上时
由
(2)可知Q(2,・1)
/.m+n=2
•・•P为A-轴下方二次函数v=t∕(x-l)(A∙-3)G∕>0)图像上一点
Λ∖:
.1<2-h<3
Λ-l(ii)当点O在BC右侧的抛物线上时
延长CQ交X轴于点E、过点E作EF丄CB交CB的延长线于点F
TZACo=ZQCB
ΛtanZΛCO=tanZQCB
.OA_EF
■■--—
OCCF
设EF长为X
•£=H
••亍_”+3返
解得:
x=∣√2
∙∙∙BE=3
:
.E(6,0)•ICE的解析式为:
y=-^x+3
I一7
⅛{y≡√x+3解得rE
y=χ2-4%+3V1=-卩2_3
4
・•&'》
・・.〃吨
∙∙Tsv3
∙∙∙IVSV3
2
Λ-22
综上所述:
n的取值范围是-l4・
(1)y=χ2+4λ+3:
(2)X≤-4∏Jcx≥-l
【解析】
【分析】
(1)利用待左系数法,把问题转化为方程组解决即可.
(2)根据函数图象,二次函数图象在一次函数图象的上方,注意等于号.
【详解】
a-h+c=O解:
(1)由题意{C=3,
-±=-2
・2a
CI=1解得杯=4,
c=3
・•.二次函数的解析式为y=√+4x+3(顶点式、交点式、一般式均可)
(2)根据题意得,B点坐标为(-4,3),A点坐标为(-1,0),观察图像可知,y⅛∕2时,XW
∏Jcx≥-l
【点睛】
本题考査二次函数的应用、一次函数的应用、待左系数法等知识,解题的关键是熟练掌握待
定系数法确左函数解析式,学会利用图象根据条件确定自变量的取值范国.
5.A(-1.0)B(0,-3)C(4,5)y=x2-2x-3
【解析】
本题考查了用待立系数法确疋二次函数的解析式.
(1)直接读岀A(-1,O),B(0,-3),C(4,5);
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,然后把A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)代入解析式得到关于a,b,C的方程组,解方程即可.
解:
(1)由图象可得,A(-1,0),B(0,-3),C(4,5),
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
把A(-1,0),B(0-3),C(4,5)分别代入解析式得,
a-b+c=0①,
c=-3②,
16a+4b+c=5③,
解由①②③组成的方程组得,a=l,b=-2,c=-3,
.*.y=x2-2x-3,
所以二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
6.
(1)证明见详解
(2)C的坐标是(0,6)
【解析】
【分析】
(1)根据求得△值,再根据A>0来判断二次函数的图象与X轴必有两个交点:
(2)将求二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+l)与X轴的交点转化为求方程∙x2+(m-2)x+3
(m+l)=0的解,再根据一元二次方程根与系数的关系,可求得m的值,再将m的值代入二次函数.由图中不难发现C点是二次函数与X轴的交点,令x=0,求得y的值.至此C点坐标确定.
【详解】
解:
(1)VΔ=(m-2)2-4(-1)∙3(m+l)=(m+4)2
∙/m≠-4
ΛΔ=(m+4)2>0,
・••抛物线与X轴必有两个交点:
(2)设方f!
ι!
-X2+(m—2)x+3(m+l)=O的两根为Xi、X2,且XlVO,X2>0由图可知IoAl=IXlI,∣6>^∣=Ix21,由OAOB=6,可知xlx2=-6
根据根与系数的关系,可知-3(/77+1)=-6,
KIJm=1.于是二次函数的解析式为y=-x2-x+6,
把x=0代入y二-『-x+6,得y=6,
所以C的坐标是(0,6).
【点睛】
本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点.主要考査学生数形结合的数学思想方法.
75
7.
(1)y=jr-5x+4;
(2)x≥—;12
【解析】
【分析】
(1)如图y=ax2Sx+c'd两点,代入这两点求系数“疋,确泄解析式.
(2)如图在对称轴的右边$随X的增大而增大,求对称轴即可得;当y1【详解】
(1)解:
如图y=dΛj-5χ∙+c过(1,0),(4,0)两点,把这两点代入γ=αr2-5x+c可得:
α-5+c=0
16α-20+c=0
a=1
解得c=4
代入y=2-5x+c可得这个二次函数的解析式为y=F-5x+4.
b-55
(2)由对称轴X=-——可得X=-—=—,
Ia22
如图二次函数是开口向上的图形,二次函数的性质可得在对称轴右边的y值随X的增大而增大,即χ≥∣时可满足题意:
如图当yvθ时,要取得X轴下方,即lvx<4可满足题意.
2
【点睛】
考查用待立系数法求二次函数解析式,二次函数的图像与性质.
8.
(1)>∙=(λ+1)2-4
(2)-4≤y<0
【解析】
【分析】
(2)根据已知顶点和另一点根据顶点式求解:
(2)先与对称轴进行比较,再代入求解.
【详解】
(1)设y=a(x+h)2-k.
Y图像经过顶点(一1,-4)和点(1,0),
.∙.y="(x+1)2-4.
将(1,0)代入可得α=l,
.∙.y=(x+l)2—4.
(2)-4≤y<0.
【点睛】
本题考査的是二次函数,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
9.
(1)y=-√-2x+3;
(2)当X=—1时,该二次函数的最大值为4:
(3)-2【解析】
【分析】
将A、B坐标代入二次函数解析式中,联立求出a与b的值,即可确泄出二次函数解析式;将英改写成顶点式即可得;
由B(-2,3)和函数表达式结合图像即可得.
【详解】
(1)将A(1,0),B(-2,3)代入y=αr2+∕u+3中得:
d+b+3=0
4α-2b+3=3'
该二次函数的表达式为y=-√-2v+3.
(2)Vy=-A∙2-2λ+3=-(a∙+1)2+4.
・••当尤=一1时,该二次函数的最大值为4.
(3)令y=-χ2-Zr+3=3
解得Xi=-2,X2=0
故当y>3时,一2VχV0.
【点睛】
本题考查的知识点是待左系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,解题关键是结合图像进行解题.
10.
(1)A(-1,0),8(2,0):
(2)ml=0,m2=1
【解析】
【分析】
(1)通过解方程x⅛-2=0得A点坐标和B点坐标:
⑵把x=m,y=-2代入j=x2-x-2,然后解关于m的方程即可.
【详解】
解:
(1)当y=0时,即x2-χ-2=0,
解得:
Xl=-I,x2=2,
・••A点坐标和B点坐标为A(-1,O),3(2,0):
(2)把x=m,y=-2RAJ=X2-x-2.R卩m2-m-2=-2,
解得:
m1=0,m2=l.
【点睛】
本题考査了抛物线与X轴的交点:
把求二次函数y=ax2+bx+c(a.b,c是常数,洋0)与X轴的交点坐标问题转化解关于X的一元二次方程即可求得交点横坐标.