九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练.docx
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九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练
九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练
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一.解答题
1.如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A（-1,0）、B（4,0）、C
（0,4）三点，点P是直线BC下方抛物线上的一动点・
（2）是否存在点P,使∆POC是以OC为底边的等腰三角形？
若存在，求出P点坐标:
若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位垃时，四边形PBOC而积最大？
求出此时点P坐标和四边形PBOC的最大而积.
2.如图，二次函数y=^χ+bx+c的图像经过M（0,3）,N（-2-5）两点.
一点.P点横坐标为加.
（1）求α的值；
（2）若P为二次函‰=α（x-l）（x-3）（α>0）图像的顶点,求证：
ZACO=ZPCB：
（3）Q（也+H,H）为二次函^y=a（x-l）（x-3）（a>0）图像上一点，且ZACo
=ZQCB,求n的取值范用・
4.
如图，已知二次函数yl=ax2+bx+c的图像经过点A（-1,0）,C（OJ）,且对称轴
（2）若点B,C关于抛物线的对称轴对称，根据图像直接写出满足y1>y2时X的取值
范围.
5.已知如图，二次函数y=Max2M+bx+c的图像过A、B、C三点
观察图像写出A.B、C三点的坐标
求岀二次函数的解析式
6.已知二次函数y=-χ2+（,w-2）x+3（m+l）的图像如图所示•
（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图像与X轴必有两个交点:
（2）如图情况下，若OAoB=6^求点C的坐标.
7.已知二次函数y=t∕√-5x+c的图像如图所示.
（1）求这个二次函数的解析式：
（2）观察图像，直接写出：
何时）'随X的增大而增大？
何时y<0?
8.已知二次函数的图像如图所示.
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）观察图像，当-2<%<1时，写出y的取值范围.
9.如图，已知二次函数y=ax1+bx+3的图像经过点A（L0）,B（一2,3）・
（1）求该二次函数的表达式：
（2）求该二次函数的最大值：
（3）结合图像，解答问题：
当y>3时，X的取值范用是・
-2的图像与X轴交于A.B两点（点A在点B的左侧）,
（1）求A.3两点的坐标：
（2）若P（∕-2）为二次函数j=x2-x-2图像上一点，求加的值.
参考答案
1.（I）y1=√-3x-4;
（2）存在满足条件的P点，其坐标为（匕』了,_2）：
（3）16.
【解析】
【分析】
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待宦系数法可求得抛物线解析式：
（2）由题意可知点P在线段Oe的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）过P作PE丄X轴，交X轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示岀PF的长,则可表示岀四边形PBOC的而枳，利用二次函数的性质可求得四边形PBOC≡积的最大值及P点的坐标
【详解】
解：
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C三点坐标代入可得
a-b+c=0
'16α+4b+c=0,
c=-4
解得＜b=-3,
c=-4
•••抛物线解析式为y=x2-3x-4:
（2）作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图2,
APO=PC,此时P点即为满足条件的点,
VC（0,-4）,
∙∙∙D（O,-2）t
∙∙∙P点纵坐标为-2,
代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2,解得X=3—∕∏（小于0,舍去）或X=辿I,
22
•••存在满足条件的P点，其坐标为（Ml,・2）・
2
（3）T点P在抛物线上，
•••可设P（t,t2-3t-4）,
VB（4,0）,C（0,-4）,
・•.直线BC解析式为y=x-4,
ΛF（ttt-4）,
ΛPF=（t∙4）・（t2∙3b4）=-t2+4tt
∙φ∙S四边形刖（疋=S厶PBC+»BCO=S/FC+S∖PFB+
=丄PF∙OE+丄PF∙BE+丄×OC∙BO=丄PF（OE+BE）+丄×4×4
22222
=IPFeOB+8=4（-t2+4t）×4+8=-2（t-2）2+16,
22
・•.当t=2时，S四边形咖C最大值为16,此时t2-3t-4=-6,
・••当P点坐标为（2,-6）时，四边形PBOC的最大面积为16.
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待左系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想
等知识.在
（1）中注意待立系数法的应用，在
（2）中确左岀P点的位程是解题的关键，在
（3）中用P点坐标表示出四边形PBOC的而积是解题的关键.
2.
（1）y=-x2+2x+5:
（2）6：
（3）P（IJ）
【解析】
【分析】
（1）将MN两点代入y=—F+bx+c求出b,c值，即可确定表达式:
（2）令严0求X的值，即可确定A、B两点的坐标，求线段AB长，由三角形面积公式求解.
（3）求岀抛物线的对称轴，确立M关于对称轴的对称点G的坐标，直线NG与对称轴的交点即为所求P点，利用一次函数求出P点坐标•
【详解】解：
将点M（0,3）,N（-2、-5）代入y=一/+加中得,
c=3
-4-2"+c=-5'
（b=2
解得，↑C，
[c=3
∙∙∙y与X之间的函数关系式为,v=-x2+2x+3:
（2）如图，当y=0时，-F+2x+3=0,
・∙X]=3,X2=■1»
ΛA（-l,0）.B（3,0）,∙∙∙AB=4,
/•Saabm=—×4×3=6.
2
即ΔABM的而积是6.
fC
（3）如图，抛物线的对称轴为直线X=-—=-—=1,Ia-2
点M（0,3）关于直线x=l的对称点坐标为G（2,3）,
.∙.PM=PG.
连MG交抛物线对称轴于点P・此时NP+PM=NP+PG最小，即∆MNP周长最短.
设直线NG的表达式为y=mx+n,
将N（∙2,∙5）,G（2,3）代入得，
一2〃?
+n=-5
2/77+7?
=3
[in=2
解得，｛「
77=-1
.∖y=2m-l,
∙∙∙P点坐标为（1,1）∙
【点睛】
本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性
解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.
如图，二次函数y=-x2+bx+c的图像经过M（0,3）.N（-2r5）两点.
3・
（1）1：
（2）证明见解析：
（3）-1<λ<1∏Jc∣【解析】试题分析：
（1）把点C（0,3）代Λy=a（x-I）（X-3）（α>0）即可求岀“1；
（2）求出点P的坐标，再求出CP=2帖，BP=屆CB=3√2,判断岀ABCP为直角三角形,通过解直角三角形，得出^nZACO=IanZPCB.从而证出：
ZACO=ZPCB;
（3）通过分类讨论，即可得岀-l试题解析：
（1）把点C（0,3）代Ay=α（x-l）（x-3）（α>0）得：
3=3“
.∖a=∖
即“的值为1
（2）Vd=I
•••抛物线的解析式为：
y=（%-I）（X-3）=X2-4%+3=（%-2）2-1
：
.P（2,-1）
YB（3,0）,C（0,3）
ΛCP=2√5>BP=√2,CB=3√2
：
.BPZ+BC2=20,CP?
=（2√5）2=20
：
.BP2+BC2=CP2∙∙∙ZCBP=90°•••tanZPCB孚=為=扌
VtanZAOC=-=-
OC3
AtanZPCB=IanZAOC
：
.ZAoC=ZPCB
（3）（i）当点。
在BC左侧的抛物线上时
由
（2）可知Q（2,・1）
/.m+n=2
•・•P为A-轴下方二次函数v=t∕（x-l）（A∙-3）G∕>0）图像上一点
Λ∖：
.1<2-h<3
Λ-l（ii）当点O在BC右侧的抛物线上时
延长CQ交X轴于点E、过点E作EF丄CB交CB的延长线于点F
TZACo=ZQCB
ΛtanZΛCO=tanZQCB
.OA_EF
■■--—
OCCF
设EF长为X
•£=H
••亍_”+3返
解得：
x=∣√2
∙∙∙BE=3
：
.E（6,0）•ICE的解析式为：
y=-^x+3
I一7
⅛{y≡√x+3解得rE
y=χ2-4%+3V1=-卩2_3
4
・•&'》
・・.〃吨
∙∙Tsv3
∙∙∙IVSV3
2
Λ-22
综上所述：
n的取值范围是-l4・
（1）y=χ2+4λ+3：
（2）X≤-4∏Jcx≥-l
【解析】
【分析】
（1）利用待左系数法，把问题转化为方程组解决即可.
（2）根据函数图象，二次函数图象在一次函数图象的上方，注意等于号.
【详解】
a-h+c=O解:
（1）由题意{C=3,
-±=-2
・2a
CI=1解得杯=4,
c=3
・•.二次函数的解析式为y=√+4x+3（顶点式、交点式、一般式均可）
（2）根据题意得，B点坐标为（-4,3）,A点坐标为（-1,0）,观察图像可知，y⅛∕2时，XW
∏Jcx≥-l
【点睛】
本题考査二次函数的应用、一次函数的应用、待左系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待
定系数法确左函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量的取值范国.
5.A（-1.0）B（0,-3）C（4,5）y=x2-2x-3
【解析】
本题考查了用待立系数法确疋二次函数的解析式.
（1）直接读岀A（-1,O）,B（0,-3）,C（4,5）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,然后把A（-1,0）,B（0,-3）,C（4,5）代入解析式得到关于a,b,C的方程组，解方程即可.
解：
（1）由图象可得，A（-1,0）,B（0,-3）,C（4,5）,
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
把A（-1,0）,B（0-3）,C（4,5）分别代入解析式得，
a-b+c=0①，
c=-3②，
16a+4b+c=5③，
解由①②③组成的方程组得，a=l,b=-2,c=-3,
.*.y=x2-2x-3,
所以二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
6.
（1）证明见详解
（2）C的坐标是（0,6）
【解析】
【分析】
（1）根据求得△值，再根据A>0来判断二次函数的图象与X轴必有两个交点：
（2）将求二次函数y=-x2+（m-2）x+3（m+l）与X轴的交点转化为求方程∙x2+（m-2）x+3
（m+l）=0的解，再根据一元二次方程根与系数的关系，可求得m的值，再将m的值代入二次函数.由图中不难发现C点是二次函数与X轴的交点，令x=0,求得y的值.至此C点坐标确定.
【详解】
解：
（1）VΔ=（m-2）2-4（-1）∙3（m+l）=（m+4）2
∙/m≠-4
ΛΔ=（m+4）2>0,
・••抛物线与X轴必有两个交点：
（2）设方f!
ι!
-X2+（m—2）x+3（m+l）=O的两根为Xi、X2,且XlVO,X2>0由图可知IoAl=IXlI,∣6>^∣=Ix21,由OAOB=6,可知xlx2=-6
根据根与系数的关系，可知-3（/77+1）=-6,
KIJm=1.于是二次函数的解析式为y=-x2-x+6,
把x=0代入y二-『-x+6，得y=6,
所以C的坐标是（0,6）.
【点睛】
本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点.主要考査学生数形结合的数学思想方法.
75
7.
（1）y=jr-5x+4;
（2）x≥—；12
【解析】
【分析】
（1）如图y=ax2Sx+c'd两点，代入这两点求系数“疋，确泄解析式.
（2）如图在对称轴的右边$随X的增大而增大，求对称轴即可得；当y1【详解】
（1）解：
如图y=dΛj-5χ∙+c过（1,0）,（4,0）两点，把这两点代入γ=αr2-5x+c可得：
α-5+c=0
16α-20+c=0
a=1
解得c=4
代入y=2-5x+c可得这个二次函数的解析式为y=F-5x+4.
b-55
（2）由对称轴X=-——可得X=-—=—,
Ia22
如图二次函数是开口向上的图形，二次函数的性质可得在对称轴右边的y值随X的增大而增大，即χ≥∣时可满足题意：
如图当yvθ时，要取得X轴下方，即lvx<4可满足题意.
2
【点睛】
考查用待立系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质.
8.
（1）>∙=（λ+1）2-4
（2）-4≤y<0
【解析】
【分析】
（2）根据已知顶点和另一点根据顶点式求解：
（2）先与对称轴进行比较，再代入求解.
【详解】
（1）设y=a（x+h）2-k.
Y图像经过顶点（一1,-4）和点（1,0）,
.∙.y="（x+1）2-4.
将（1,0）代入可得α=l,
.∙.y=（x+l）2—4.
（2）-4≤y<0.
【点睛】
本题考査的是二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
9.
（1）y=-√-2x+3;
（2）当X=—1时，该二次函数的最大值为4：
（3）-2【解析】
【分析】
将A、B坐标代入二次函数解析式中，联立求出a与b的值，即可确泄出二次函数解析式;将英改写成顶点式即可得；
由B（-2,3）和函数表达式结合图像即可得.
【详解】
（1）将A（1,0）,B（-2,3）代入y=αr2+∕u+3中得：
d+b+3=0
4α-2b+3=3'
该二次函数的表达式为y=-√-2v+3.
（2）Vy=-A∙2-2λ+3=-（a∙+1）2+4.
・••当尤=一1时，该二次函数的最大值为4.
（3）令y=-χ2-Zr+3=3
解得Xi=-2,X2=0
故当y>3时，一2VχV0.
【点睛】
本题考查的知识点是待左系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是结合图像进行解题.
10.
（1）A（-1,0）,8（2,0）：
（2）ml=0,m2=1
【解析】
【分析】
（1）通过解方程x⅛-2=0得A点坐标和B点坐标：
⑵把x=m,y=-2代入j=x2-x-2,然后解关于m的方程即可.
【详解】
解：
（1）当y=0时，即x2-χ-2=0,
解得：
Xl=-I,x2=2,
・••A点坐标和B点坐标为A（-1,O）,3（2,0）：
（2）把x=m,y=-2RAJ=X2-x-2.R卩m2-m-2=-2,
解得：
m1=0,m2=l.
【点睛】
本题考査了抛物线与X轴的交点：
把求二次函数y=ax2+bx+c（a.b,c是常数，洋0）与X轴的交点坐标问题转化解关于X的一元二次方程即可求得交点横坐标.
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