不定积分练习题.docx
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不定积分练习题
1、求下列不定积分
1）
dx
~^2
x
3）
（x2）2dx
5）
23x52x
3x
dx
7）
（2ex3）dx
x
2、求下列不定积分（第一换元法）
3
1）（32x）dx
不定积分
（A）
2）
4）
6）
8）
dx
x2.x
2
Jdx
x
cos2x.
dx
2.2
cosxsinx
（1xxdx
x
dx
323x
xInxln（Inx）
5）
dx
6）
dx
cosxsinx
2
7）xcos（x）dx
8）
3x3
1x4
dx
9）
sinx,
3dx
cosx
10）—LX—dx
<94x2
11）
dx
2x21
3
12）cosxdx
13）sin2xcos3xdx
14）tan3xsecxdx
15）
17）
x3
2dx
9x
16）
10
2arccosx
、1x2
dx
c2
3cosx
4sin2
18）arctanxdx
7x（1x）
-dx
x
3、求下列不定积分（第二换元法）
4、求下列不定积分（分部积分法）
1）xSnxdx
2）arcsinxdx
2
3）xInxdx
2x・x
4）esindx
2
5）xarctanxdx
6）x2cosxdx
7）
In2xdx
8）
x2cos2-dx
2
5、求下列不定积分（有理函数积分）
1）
3
x.dx
x3
2）
2x3」
飞dx
x23x10
3）
dx
x（x21）
（B）
1、一曲线通过点
（e2,3）,且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲
线的方程。
3、证明：
若f（x）dxF（x）c,贝U
1
f（axb）dxF（axb）c,（a0）。
a
4、
设f（x）的一个原函数为Sinx，求
x
xf（x）dx。
5、求下列不定积分
2）.1sin2xdx
1）cosxdx
3）
2
dx
6）xj—dx
■2ax
7）
Inx
x\1Inx
dx
8）
arctanx
xe
3
dx
1、求以下积分
1）
x
xe
:
1
dx
3）
arctanex,办dxe
（C）
2）
（1x2f
dx
sin（2x）2sinx
4）
dx
1
6）
SinxC0Sxdx
sinxcosx
不定积分
习题答案
（A）
1、
（1）
（2）
（3）
（5）
（7）
2、（
1）
（3）
（5）
（7）
（9）
2x
2ex
2x24x
5（|）x
ln2In3
3lnx
（32x）4
2cos、.tc
Intanx
（4）
（6）
（8）
（2）
xarctanxc
（cotX
4（x27）
74x
1（2
tanx）c
2
3x）3c
lsin（x2）
2
1
2cos2x
2x1
1
（11）2、.2件2x1
（4）
InInInx
（6）
arctanex
（8）
?
ln1
4
1.2
（10）
arcsin
2
sin
（12）sinx
c
c
3
3
3x
x4
4x2c
11
（13）cosxcos5x
210
1
（14）secx
3
secxc
（15）2x22n（9x2）
22
（16）—arctan-^c
2”3、3
亠2arccosx
10
（17）c
2ln10
（18）（arctan一x）2c
3、
（1）Incsct
cott
（2）2（.xcos-xsin、x）c
（3）2（tan
arccos—）
x
2
a/.x
（4）（arcsin
2a
x2a2
a
x2）
x
⑸：
1一X2「c
⑹-2xln（12x）c
1
（7）-（arcsinxlnx
2
c（8）arcsinx
x2
4、
（1）xcosx
sinx
（2）xarcsinx
13.
⑶xInx
3
（5）1x3arctanx
3
—e2x（cos-
17
4吨）
2
（6）xsinx
（7）xln2
ln（1
x2）
2xcosx
2xInx
12.
xsinx
2
32Q
x9x2
1ln（x2
2
1
（4）Inx-lnx
2sinx
2xc
13
（8）x
6
13
5、
（1）x
3
（3）Inx
⑸1ln
2
xcosx
27lnx
1、
设曲线y
2、
设函数为
F（x）
3、
由假设得
sinx
（2）1nx
lnx5
1）
=ln（x2
4
1）
-arctanx
2
x21
x2x1
2x
—arctan
3.3
f（x）,由导数的几何意义:
F（x），由F（x）f（x）
f（x）dxarcsinxC
F（x）f（x）,F（ax
[-F（axb）]F（axb）,a
4、把f（x）凑微分后用分部积分法。
（B）
1x2'
，代入（1,|
b）f（ax
f（ax
b）dx
1
dx
x
Inxc，点（e2,3）代入即可。
）即可解出c。
b），故
1
F（axb）c。
a
5、
（1）用倍角公式：
cos2——
2
（2）注意cosxsinx0或cosx
11
（3）禾U用arctanarccotx,2
x1x2
（4）先分子有理化，在分开作三角代换。
cosx
2
sinx
dx
0两种情况。
d（arccotx）。
（5）化为部分分式之和后积分。
（6）可令x2asin1。
（7）可令xa（ba）sint,则bx（ba）cost。
（8）令1Inxto
（9）分部积分后移项，整理。
（10）凑earctanx后分部积分，再移项，整理。
x
（11）令tanto
2
（12）变形为
后，
t,
再由1—t2，两端微分得Ndx2tdt。
x2（x2）
（C）
1）解：
令u
■.ex1，则xln（1u2）,dx-^du1u
所以原式2ln（1u2）du2uln（1u2）4u-^du
1u
2uIn（1u
）4u4arctanuc
2xex1
原式
dx
2sinx（1cosx）
d（|）
.x3xsincos
2
x
d（tan?
）
丄x2x
tan-cos—
22
2xd1tan—12
4+x
tan—
2
方法二：
令tan仝
2
xd（tan?
）
han2
8
1…-Intan—4
sinxdx
再化成部分分式积分。
3）解：
原式
arctanexd（e2x）
I2xx
[earctane
2
d（ex）]e2x（1e2x）]
（令exu）
-[e2xarctanex
2
12x4X
earctane
2
du]
~22~]u（1u）
dudu]
]
u1u
x丄X
earctanec
4）
解:
原式
x3
1d（x3）
x3
Ld（x3）
1
4x3
-d（x3）]
1
5）
解:
原式
6）
解:
原式
3[
（x3
—（x3
21
3
1）4d（x3
7
1）4
43
9（x
1）
3
1/
（x3
1
1）7d（x3
1）]
dx
d（x2
2（x2x2M，令u
du
u■■2
4x
<2x2
1
4x
V2x2
1
2
c
4」
4」
12sinxcosx1
kx
sinxcosx
cosx）2
dx
2sinxcosx
1（sinx
dx
2sinxcosx
（sinxcosx）
1
2、2
sin（x—）
dcos（x—）
]dcos（x）
4）4
-（sinxcosx）1[1—
24、2-cos（x—）1cos（x1
cos（x
cos（x
c
（sinxcosx）
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