北师大版八年级勾股定理电子版教案.docx
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北师大版八年级勾股定理电子版教案
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）
年级：
初二学科：
数学第二学期第1周第1课时教师：
课题:
探索勾股定理
（一）
教
学
目
标
知识与能力：
用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
过程与方法：
让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
情感态度价值观：
在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
教学重、
难点
重点：
进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力
难点：
进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力
学情分析
八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”。
此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强。
课前准备
多媒体
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
创设情境引入新课
探索发现勾股定理
2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理。
探究活动一：
1.内容：
（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：
（2）引导学生从面积角度观察图形：
问：
你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
2．探究活动二：
内容：
由结论1我们自然产生联想：
一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
（1）观察下面两幅图：
（3）你是怎样得到正方形C的面积的?
与同伴交流。
（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定。
）
（4）分析数据，你发现了什么？
认真聆听，激发起学生的求知欲和爱国热情
学生通过观察，归纳发现：
结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
学生的方法可能有：
方法一：
如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，。
方法二：
如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，
方法三：
如图3,正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形,按此拼法。
学生通过分析数据，归纳出：
结论2以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积
学生独立完成
紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育
从观察实际
生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫。
探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环。
巩固复习
书3页练习1,2
课后作业
书4页练习1,2,4
板书设计
勾股定理1
一结论1：
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
二结论2：
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积
课后反思
年级：
初二学科：
数学第二学期第1周第2课时
课题:
探索勾股定理2
教
学
目
标
知识与能力：
进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
过程与方法：
体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
情感态度价值观：
激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
教学重、
难点
重点：
运用勾股定理进行简单的计算和实际运用
难点：
运用勾股定理进行简单的计算和实际运用
学情分析
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
课前准备
多媒体
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
勾股定理的简单应用
课堂小结
布置作业
（1）你能用直角三角形的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
例如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，
树顶落在离树根24m处.大树在折断之前高多少？
练习：
1基础巩固练习求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2、生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？
你能解释这是为什么吗？
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？
请与你的同伴交流。
作业：
1．教科书习题17.1第1题；
2．阅读《读一读》——勾股世界；
3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足.
学生尝试总结：
勾股定理（gou-gutheorem）：
如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学小史：
勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的
直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。
（在西方称为毕达哥拉斯定理）
学生独立完成
学生口答完成
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：
勾股定理：
如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。
2．方法：
①观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；②面积法；③“割、补、拼、接”法.
3．思想：
①特殊—一般—特殊；②数形结合思想。
1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。
2．通过作图培养学生的动手实践能力。
练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识。
例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容
鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动。
效果：
通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识。
课后作业设计包括了三个层面：
作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件。
板书设计
勾股定理2一勾股定理
例1如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，
树顶落在离树根24m处.大树在折断之前高多少？
练习书6页练习1,
作业练习书7页练习，2，3
课后反思
年级：
初二学科：
数学第二学期第1周第3课时
课题:
探索勾股定理3
教
学
目
标
知识与能力：
掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题
过程与方法：
在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程
情感态度价值观：
在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感
教学重、
难点
重点：
用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题
难点：
用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题
学情分析
学生的知识技能基础：
学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证。
课前准备
多媒体
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
复习设疑，激趣引入
小组活动，拼图验证.
层层设问，完成验证一
自主探究，完成验证二
追溯历史激发情感
回顾反思提炼升华
（1）勾股定理的内容是什么？
（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？
活动1：
教师导入，小组拼图。
教师：
今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形。
在此基础上教师提问：
（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？
能用两种方法吗
（2）你能由此得到勾股定理吗？
为什么？
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？
由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍。
例题：
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
通过这节课的学习，你有什么样的收获？
师生共同畅谈收获。
请一名学生回答
请同学思考：
进一步验证，如何验证勾股定理呢？
请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论
学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：
学生先独立思考，再4人小组交流
在学生回答的基础上板书（a+b）2=4×ab+c2.并得到
学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二
这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排。
（1）复习勾股定理内容；
（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；
（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣。
设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐。
（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；
（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力。
板书设计
勾股定理3
一勾股定理的证明
二世界著名勾股定理的证明方法
例题1
课后作业书10页练习1,2,3
课后反思
年级：
初二学科：
数学第二学期第1周第4课时
课题:
探索勾股定理4
教
学
目
标
知识与能力：
1.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系；
2.经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
过程与方法：
1．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；
2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。
3．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题的方法与经验。
1.情感态度价值观：
通过丰富有趣的拼图活动增强对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能力。
教学重、
难点
重点：
1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
难点：
1．利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。
2．利用数形结合的方法验证勾股定理。
学情分析
学生的活动经验基础：
学生在初一学习过基本几何图形的面积计算的一些方法，例如：
割补法等，但运用面积法和割补思想解决问题意识和能力还不够，因此，可能还需要教师有意识的引导；在先前的学习过程中，学生已经经历了一些拼图、图案设计的实践活动，如制作七巧板，这些都为本节课的活动（拼图对勾股定理进行无字的证明）奠定了一定的基础。
课前准备
多媒体
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
第一环节验证方法的收集与整理
验证过程的分析与欣赏
尝试拼图，验证定理
<一>课前自主探究活动
《勾股定理证明方法汇总》
<二>探究成果的交流与展示
以下是学生搜集的勾股定理的证明方法:
1.赵爽证明
2.1876年美国总统Garfield证明
3.意大利著名画家达·芬奇的证法
4.毕达哥拉斯
5.青朱出入图
6.在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明
7.欧几里得证明
……..
教师引导学生对收集的验证方法进行归类整理：
分三种类型：
五巧板的制作（动手操作，合作探究）
·教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。
·
练习提升
1.议一议:
观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:
4，求两直角边的长。
小结反思
学生反思：
我最大的收获；
我表现较好的方面；
我学会了哪些知识；
我还有哪些疑惑……
请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告：
第一种类型：
以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。
第二种类型：
以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明
学生思考1．利用五巧板拼“青朱出入图”。
2．取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？
3．用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形，你能验证勾股定理吗？
4．利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？
勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
适当的归类整理有助于学生提高对有关验证方法的认识，加深学生的理解。
通过前面的展示，学生可能已经基本理解了所谓的“无字证明”，但没有通过亲身的体验，可能仍有相当数量的学生难以认同，甚至部分学生可能还存在一定的怀疑,为此利用五巧板拼图证明勾股定理,力图通过学生的亲身实验进一步确认"无字证明”的验证方法。
学生通过数格子的方法可以得出：
如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a,b,c不满足a2+b2=c2。
通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判别打下基础
板书设计
勾股定理4
1验证勾股定理的一些方法展示学生拼图作品展示台
2利用“五巧板”拼图验证勾股定理
练习书14页练习随堂练习
课后作业书14页练习
课后反思
年级：
初二学科：
数学第二学期第1周第5课时
课题:
勾股定理5
教
学
目
标
知识与能力：
1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；
2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。
过程与方法：
1．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
2．经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力。
情感态度价值观：
1．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣；
2．在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。
教学重、
难点
重点：
理解勾股定理逆定理的具体内容。
难点：
理解勾股定理逆定理的具体内容。
学情分析
学生已经了勾股定理，并在先前其他内容学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研究的经验，如：
已知两直线平行，有什么样的结论？
反之，满足什么条件的两直线是平行？
因而，本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经具备这样的意识，但具体研究中，可能要用到反证等思路，对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的引导。
课前准备
多媒体
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
合作探究
1．直角三角形中,三边长度之间满足什么样的关系？
2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
1：
探究下面有三组数，分别是一个三角形的三边长，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并回答这样两个问题：
1．这三组数都满足吗？
2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现。
你认为这个发现正确吗？
你能给出一个更有说服力的理由吗？
如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形
满足的三个正整数，称为勾股数。
1．同学们还能找出哪些勾股数呢？
2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?
4．通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
学生回忆后回答
通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长，满足，则这个三角形是直角三角形”这一结论；
学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。
经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：
①5，12，13满足，可以构成直角三角形；②7，24，25满足，可以构成直角三角形；③8，15，17满足，可以构成直角三角形。
为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识。
学生思考本节课的内容
通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。
从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础。
在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。
让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：
进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系
板书设计
勾股定理5
一如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形
满足的三个正整数，称为勾股数。
二例题
课后作业书16页练习1,2,3
课后反思
年级：
初二学科：
数学第二学期第1周第6课时
课题:
勾股定理逆定理1
教
学
目
标
1．知识与能力：
应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.
2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题.
进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
过程与方法：
在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度.使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律.
情感态度价值观：
通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；在解决问题的过程中，培养学生的数学建模能力；发展学生与他人交流、合作的意识。
教学重、
难点
重点：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
难点：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
学情分析
八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何向推理几何过渡的重要阶段。
这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。
课前准备
利用教学平台多媒体,对本节知识做一些补充，以增大课堂容量，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
【活动1】创设情境，导入课题
（1）我们已经学习了勾股定理，你能叙述吗？
（2）【实验观察】
实验方法：
用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．（90°），可以发现这个三角形是直角三角形．
（3） 提出课题§《18.2.2勾股定理的逆定理》归纳结论：
勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
【教师活动】
（1）出示问题
【学生活动】
学生通过思考举手回答及总结得出勾股定理的逆定理。
【媒体使用】（略）
【赏 析】
旨在通过复习勾股定理来引入本课时的学习任务——应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题。
【活动2】研究新知、应用举例
出示例题：
例1：
以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？
如三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？
例：
根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形
（1）a=7,b=24,c=25;
（2）a=,b=1,c=
例2：
一港口位于东西方向的海岸线上，远航号、海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里。
它们离开港口一个半小时后相距30海里。
如果知道远航号沿东北方向航行，能知道海天号沿哪个方向航行吗？
解：
根据题意画图（见课件）
PQ=16×1.5=24，
PR=12×1.5=18，QR=30
因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90O.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45O,即“海天‘号沿西北方向航行。
【教师活动】教师通过梯次性问题的展示，适时点拨。
【学生活动】
（1）学生读题，理解题意，弄清楚已知条件和需解决的问题。
如例1先来判断a,b,c三边哪条最长，然后才能运用定理解题。
例2⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
（2）教师提出你能根据题意画出相关图形吗？
（在学生都尝试画了之后，教师再在黑板上或多媒体中画出示意图）
（3）图的不唯一性.
（4）解题过程.
（5）同学之间的交流、检查、小结，教师最后点评。
【媒体使用】（略）
【赏 析】
读题是学生理解题意的重要环节，只有正确接收有关信息，才能为下一步利用这些信息进行分析打好基础。
画图对学生来说，会有一定的难度;如果学生能准确的画出也可利用学生画的图进行进一步的分析（画图也是本节课的难点）
【活动3】随堂练习，巩固深化
补充题：
1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地.小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是.
2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，
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