数学难题.docx

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数学难题

【数学难题】

千禧年大奖难题的悬赏题目

克雷数学研究所所设立的千禧年大奖难题悬赏的七个待解问题中仍未得到解决六个题目是：

复杂度类P对NP问题（理论信息学：

计算复杂度）

霍奇猜想（数学）

黎曼猜想（数学）

杨-米尔斯存在性与质量间隙（量子力学）

纳维-斯托克斯存在性与光滑性（计算流体力学）

贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（数学）

其它未解问题

堆垒数论

哥德巴赫猜想及哥德巴赫弱猜想

华林问题中的g（k）和G（k）的值

考拉兹猜想（3n+1猜想、角谷猜想）

吉尔布雷斯猜想

数论：

素数

黎曼假设

孪生素数猜想

考拉兹猜想

周氏猜测（梅森素数分布猜想）

阿廷猜测（新梅森猜想）

哈代-李特尔伍德第二猜想

是否存在无穷多个四胞胎素数

是否存在无穷多个梅森素数（OEIS中的数列OEIS：

A000688，Lenstra-Pomerance-Wagstaff猜想）；此问题的等价问题是，是否存在无穷多个偶完全数

是否存在无穷多个规则素数，且其分布密度是

是否存在无穷多个卡伦素数（OEIS中的数列OEIS：

A005849）

以10为基数时是否存在无穷多个回文素数（OEIS中的数列OEIS：

A002385）

当n4时，是否每个费马数（OEIS中的数列OEIS：

A000215）都是合数?

78,557是否是最小的谢尔宾斯基数（OEIS中的数列OEIS：

A076336）?

509,203是否是最小的黎瑟尔数（OEIS中的数列OEIS：

A101036）?

普通数论

abc猜想

是否存在奇完全数（OEIS中的数列OEIS：

A000396）?

是否存在拟完全数（quasi-perfectnumber）?

是否存在奇的奇异数（weirdnumber）?

证明196是利克瑞尔数

证明10是个孤独数（solitarynumber）（OEIS中的数列OEIS：

A095739）

对任意给定的n，幸福结局问题的解法

拉姆齐理论

拉姆齐数的值，特别是R（5,5）

范·德·华登数的值

普通代数

希尔伯特第16问题

阿达马猜想

是否存在完美长方体

组合数学

幻方（OEIS中的数列A006052）的数目

通过随机选择的两个元素产生对称群Sn的概率的公式

图论

Erd?

s-Gyárfás猜想

图的同构问题

关于单位距离的图的色数的Hadwiger-Nelson问题

为逾渗阈值得到一种闭式表达式，特别是pc（二维方格模型）

分析

Schanuel猜想

Lehmer猜想

Pompeiu问题

γ（欧拉-马歇罗尼常数）是无理数吗?

群论

每个被有限表达的周期群是否都是有限的?

逆伽罗瓦问题

其它

普遍化的星号嵌套深度问题

不变子空间问题

黑洞归并的建模

天使问题

六空间理论

参见猜想列表。

近期已获解的问题

Stanley-Wilf猜想（GaborTardos和AdamMarcus，2004）

Poincaré猜想（现已确认由GrigoriPerelman于2002年解决）

Catalan猜想（PredaMih?

ilescu，2002）

Kato猜想（Auscher、Hofmann、Lacey和Tchamitchian，2001）

函数域的郎兰兹程序（LaurentLafforgue，1999）

谷山-志村猜想（Wiles、Breuil、Conrad、Diamond和Taylor，1999）

Kepler猜想（ThomasHales，1998）

Milnor猜想（VladimirVoevodsky，1996）

费马最后定理（AndrewWiles，1994）

Bieberbach猜想（LouisdeBranges，1985）

四色定理（Appel和Haken，1977）

世界近代三大数学难题

1、费尔马大定理

费尔马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。

终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。

古希腊的丢番图写过一本著名的"算术"，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，"算术"的残本重新被发现研究。

1637年，法国业余大数学家费尔马（PierredeFremat）在"算术"的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：

x^n+y^n=z^n是不可能的（这里n大于2；x，y，z，n都是非零整数）。

此猜想后来就称为费尔马大定理。

费尔马还写道"我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下"。

一般公认，他当时不可能有正确的证明。

猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n=3,4,5,7四种情形。

1847年，库木尔创立"代数数论"这一现代重要学科，对许多n（例如100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。

历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。

其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。

他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10万马克（相当于现在160万美元多），期限1908-2007年。

无数人耗尽心力，空留浩叹。

最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但这对最终证明无济于事。

1983年德国的法尔廷斯证明了：

对任一固定的n，最多只有有限多个x，y，z振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。

历史的新转机发生在1986年夏，贝克莱·瑞波特证明了：

费尔马大定理包含在"谷山丰-志村五朗猜想"之中。

童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房7年，曲折卓绝，汇集了20世纪数论所有的突破性成果。

终于在1993年6月23日剑桥大学牛顿研究所的"世纪演讲"最后，宣布证明了费尔马大定理。

立刻震动世界，普天同庆。

不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。

这个证明体系是千万个深奥数学推理连接成千个最现代的定理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。

怀尔斯绝境搏斗，毫无出路。

1994年9月19日，星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙：

解答原来就在废墟中！

他热泪夺眶而出。

怀尔斯的历史性长文"模椭圆曲线和费尔马大定理"1995年5月发表在美国《数学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。

1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖。

离截止期10年，圆了历史的梦。

他还获得沃尔夫奖（1996.3），美国国家科学家院奖（1996.6），费尔兹特别奖（1998.8）。

2、四色问题

四色问题的内容是：

"任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

"用数学语言表示，即"将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

"（右图）

这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：

"看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。

"这个现象能不能从数学上加以严格证明呢?

他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。

汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1878~1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

肯普的证明是这样的：

首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是"正规的"（左图）。

如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。

一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的"极小正规五色地图"，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。

这样肯普就认为他已经证明了"四色问题"，但是后来人们发现他错了。

不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。

第一个概念是"构形"。

他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组"构形"是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。

肯普提出的另一个概念是"可约"性。

"可约"这个词的使用是来自肯普的论证。

他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。

自从引入"构形"，"可约"概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明"四色问题"的重要依据。

但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。

11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。

他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。

不久，泰勒的证明也被人们否定了。

人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题--五色定理。

就是说对地图着色，用五种颜色就够了。

后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。

于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。

1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。

后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。

1950年，有人从22国推进到35国。

1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。

看来这种推进仍然十分缓慢。

高速数字计算机的发明，促使更多数学家对"四色问题"的研究。

从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。

他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约，而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为"对偶"形着手。

他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除首都（称为顶点）及铁路（称为弧或边）外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。

到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。

在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的"放电法"，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。

电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。

美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进"放电过程"，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。

就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。