动点及折叠类型题目1八年级下学期数学期末重难点知识专题复习一遍过原卷及解析版人教版.docx

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动点及折叠类型题目1八年级下学期数学期末重难点知识专题复习一遍过原卷及解析版人教版

专题06一网打尽动点及折叠类型题目1

动点类、折叠类题目是初中学生头疼的问题，也是教师教学过程中最烦心的问题，本专题将八年级下册所遇到的动点问题、折叠问题进行分类，并选取一些有代表性的题目供大家研讨，帮助学生们理清一些思路，掌握做题方法.

做题核心思想：

（1）折叠类题目：

借助圆规、直尺作出图形，利用勾股定理、方程等手段求解；

（2）动点类题目：

其中的等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题要分类讨论，并作出图形；用时间、速度表示线段的长要准确；根据图形列出方程求解.

基本图形

图形

条件

结论

ABCD为平行四边形

A（xA，yA）、B（xB，yB）、

C（xC，yC）、D（xD，yD）

xA+xC=xB+xD

yA+yC=yB+yD

题1.一次函数与平行四边形存在性问题综合

（解题核心点：

基本图形的运用）

在平面直角坐标系xoy中，A（1,2）、B（－1,1）、C（3，m），D点是直线y=x上的一个动点，是否存在实数m使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.

若存在，求出m值，若不存在说明理由.

题2.一次函数与最短路径综合

（解题核心点：

待定系数法、勾股定理及转化思想）

如图2-1所示，直线l1:

y=-3x+3与x轴交于点D，直线l2经过A（4,0）、B（3，－1.5）两点，直线l1与直线l2交于点C.

（1）求直线l2的解析式和点C的坐标；

（2）在y轴上是否存在一点P，使得四边形PDBC的周长最小？

若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

图2-1

题3.一次函数与全等三角形综合

如图3-1所示，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．

（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：

△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？

（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．

题4.一次函数与等腰三角形存在性综合

如图4-1所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l的解析式为y=kx+5-4k（k＞0）．

（1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；

（2）通过计算说明：

不论k为何值，直线l总经过点D；

（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰三角形，试探究：

当函数y=kx+5-4k为正比例函数时，点N的个数有______个．

图4-1

题5.已知C坐标为（2,0）,P坐标为（x,y）,直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点.若点P（a,b）在直线y=-x+4上.

（1）求出A、B坐标,并求出△AOB的面积;

（2）若点P在第一象限内,连接PC,OP,△OPC的面积为S,请找出S与a之间的函数关系式,并求出a的取值范围;

（3）当△OPC的面积等于2时,求P点坐标.

（4）点P在移动的过程中,若BC=BP，求出满足条件的点P坐标.（直接写出答案）

图5-1

题6.如图6-1所示，在平面直角坐标系中，直线l1：

y=kx+b与直线l2：

y=x交于点A（2,a），与y轴交于点B（0,6），与x轴交于点C．

（1）求直线l1的函数表达式；

（2）求△AOC的面积；

（3）在平面直角坐标系中有一动点P（5,m），使得

，请求出点P的坐标；

图6-1

题7.平行四边形及三角形存在性问题综合

（解题核心：

勾股定理、一次函数的性质应用）

如图7-1所示，已知点A从点（1,0）出发，以1个单位每秒的速度沿x轴正方形运动，以O、A为顶点作菱形OABC，使得点B、C在第一象限，且∠AOC=60°.同时点G从点D（8，0）出发，以2个单位长度每秒的速度沿x轴向负方向运动，以D、G为顶点在x轴的上方作正方形DEFG．

若点P的坐标为（0,3），设点A的运动时间为t（s），求：

（1）点B的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）当点A在运动的过程中，当t为何值时，点O、B、E在同一直线上；

（3）在点A的运动过程中，是否存在t值，使得△OCP为等腰三角形，若存在，求出t值；若不存在，说明理由.

图7-1

专题06一网打尽动点及折叠类型题目1

动点类、折叠类题目是初中学生头疼的问题，也是教师教学过程中最烦心的问题，本专题将八年级下册所遇到的动点问题、折叠问题进行分类，并选取一些有代表性的题目供大家研讨，帮助学生们理清一些思路，掌握做题方法.

做题核心思想：

（1）折叠类题目：

借助圆规、直尺作出图形，利用勾股定理、方程等手段求解；

（2）动点类题目：

其中的等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题要分类讨论，并作出图形；用时间、速度表示线段的长要准确；根据图形列出方程求解.

基本图形

图形

条件

结论

ABCD为平行四边形

A（xA，yA）、B（xB，yB）、

C（xC，yC）、D（xD，yD）

xA+xC=xB+xD

yA+yC=yB+yD

题1.一次函数与平行四边形存在性问题综合

（解题核心点：

基本图形的运用）

在平面直角坐标系xoy中，A（1,2）、B（－1,1）、C（3，m），D点是直线y=x上的一个动点，是否存在实数m使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.

若存在，求出m值，若不存在说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：

存在.

设D点坐标为（n，n）

①当四边形ACBD是平行四边形时，

可得：

xA+xB=xC+xD，yA+yB=yC+yD

即1+（－1）=3+n，2+1=m+n，

解得：

n=－3，m=6；

②当四边形ABCD是平行四边形时，

可得：

xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD

即1+3=（－1）+n，2+m=1+n，

解得：

n=5，m=4；

③当四边形ABDC是平行四边形时，

可得：

xA+xD=xB+xC，yA+yD=yB+yC

即1+n=（－1）+3，2+n=1+m，

解得：

n=1，m=2；

综上所述，m的值为6、4、2.

题2.一次函数与最短路径综合

（解题核心点：

待定系数法、勾股定理及转化思想）

如图2-1所示，直线l1:

y=-3x+3与x轴交于点D，直线l2经过A（4,0）、B（3，－1.5）两点，直线l1与直线l2交于点C.

（1）求直线l2的解析式和点C的坐标；

（2）在y轴上是否存在一点P，使得四边形PDBC的周长最小？

若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

图2-1

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）设直线l2的解析式为y=kx+b，

将A（4,0）、B（3，－1.5）代入，得：

，

解得：

即直线l2的解析式为y=

x－6.

联立y=

x－6，y=-3x+3，解得：

，即点C的坐标为（2，－3）

（2）在y=-3x+3中，当y=0时，x=1，即D（1,0），

由勾股定理，得BD=

，BC=

，

因为四边形PDBC的周长等于PD+DB+BC+CP，

所以当PD+CP最小时，四边形PDBC的周长最小，

作点D关于y轴的对称点D’（－1,0），连接D’C交y轴于点P，如图2-2所示，

此时即为所求P点位置，

图2-2

设直线B’P的解析式为y=mx+n，

将（－1,0），（3，－1.5）代入，得：

，解得：

所以P点坐标为（0，

）.

题3.一次函数与全等三角形综合

如图3-1所示，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．

（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：

△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？

（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）证明：

∵△AOB与△ACP都是等边三角形，

∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，

即∠CAO=∠PAB，

在△AOC与△ABP中，

∴△AOC≌△ABP

∴∠COA=∠PBA=90°，

∴点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°．

故结论是：

点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°；

（2）解：

由

（1）知点P在过点B且与AB垂直的直线上．

∵△AOB是等边三角形，A（0，3），

∴B点坐标为（

，

）．

当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，﹣3）．

设点P所在的直线方程为：

y=kx+b（k≠0）．

将点B、P的坐标分别代入，得：

，解得：

，

故所求的函数解析式为：

y=

x﹣3．

题4.一次函数与等腰三角形存在性综合

如图4-1所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l的解析式为y=kx+5-4k（k＞0）．

（1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；

（2）通过计算说明：

不论k为何值，直线l总经过点D；

（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰三角形，试探究：

当函数y=kx+5-4k为正比例函数时，点N的个数有______个．

图4-1

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）将（0，2）代入y=kx+5-4k中，得：

k=

，

即当直线l经过点B时，一次函数的解析式为y=

x+2；

（2）由题意可得：

点D坐标为（4,5）

把x=4代入y=kx+5－4k，

得y=5，

∴不论k为何值，直线l总经过点D；

（3）2；理由如下：

y=kx+5-4k为正比例函数时，可得5-4k=0，

即k=

，函数解析式为y=

x，

如图4-2所示，

图4-2

N点在PD的垂直平分线上时，符合要求；以D为圆心以PD长为半径画弧与MD的交点N符合要求；以P为圆心，以PD长为半径画弧与线段DM交点为D，不符合要求，即共2个N点.

题5.已知C坐标为（2,0）,P坐标为（x,y）,直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点.若点P（a,b）在直线y=-x+4上.

（1）求出A、B坐标,并求出△AOB的面积;

（2）若点P在第一象限内,连接PC,OP,△OPC的面积为S,请找出S与a之间的函数关系式,并求出a的取值范围;

（3）当△OPC的面积等于2时,求P点坐标.

（4）点P在移动的过程中,若BC=BP，求出满足条件的点P坐标.（直接写出答案）

图5-1

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）在y=-x+4中，x=0时，y=4；y=0时，x=4，

即A（4,0），B（0,4），OA=OB=4

△AOB的面积为8；

（2）∵P在直线y=-x+4上，所以P坐标为（a，－a+4），OC=2，

∵P在第一象限，∴－a+4>0，

∴S=

×OC×（－a+4）=－a+4，

其中，0

（3）S=2时，

①－a+4=2，解得a=2，

即P点坐标为（2,2）；

②－a+4=－2，解得a=6，

即P点坐标为（6,－2）；

综上所述，P点坐标为（2,2）或（6,－2）；

（4）以点B为圆心，以BC长为半径画弧，交直线AB于点P1，P2，即为所求，

过点P1作P1H⊥y轴于H，如图5-2所示，

图5-2

由勾股定理，得：

BC=BP1=

，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∴∠BP1H=45°

∴HP1=

BP1=

，

即P1坐标为（

，4－

），

同理得：

P2点坐标为（－

，4+

）.

题6.如图6-1所示，在平面直角坐标系中，直线l1：

y=kx+b与直线l2：

y=x交于点A（2,a），与y轴交于点B（0,6），与x轴交于点C．

（1）求直线l1的函数表达式；

（2）求△AOC的面积；

（3）在平面直角坐标系中有一动点P（5,m），使得

，请求出点P的坐标；

图6-1

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）∵y=kx+b与直线y=x交于点A（2,a），

∴a=2，即A（2,2）,

将（2,2），（0,6）代入y=kx+b得：

，解得：

即直线l1的函数表达式为y=－2x+6；

（2）在y=－2x+6中，当y=0时，x=3，

所以C（3,0），

△AOC的面积为

=3；

（3）∵

，

∴当两三角形等底等高时面积相等，

平移直线OA，如6-2所示，

图6-2

求得直线CD的解析式为y=x-3，当x=5时，y=2，即P点坐标为（5,2）

同理，得另一条直线的解析式为y=x+3，当x=5时，y=8，即P点坐标为（5,8）.

综上所述，点P的坐标为（5,2）、（5,8）.

题7.平行四边形及三角形存在性问题综合

（解题核心：

勾股定理、一次函数的性质应用）

如图7-1所示，已知点A从点（1,0）出发，以1个单位每秒的速度沿x轴正方形运动，以O、A为顶点作菱形OABC，使得点B、C在第一象限，且∠AOC=60°.同时点G从点D（8，0）出发，以2个单位长度每秒的速度沿x轴向负方向运动，以D、G为顶点在x轴的上方作正方形DEFG．

若点P的坐标为（0,3），设点A的运动时间为t（s），求：

（1）点B的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）当点A在运动的过程中，当t为何值时，点O、B、E在同一直线上；

（3）在点A的运动过程中，是否存在t值，使得△OCP为等腰三角形，若存在，求出t值；若不存在，说明理由.

图7-1

图7-2

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）如图7-2所示，过B作BH⊥x轴于H，

∵OA=AB=t+1，OABC是菱形

∴∠BAH=∠AOC=60°，

∴∠ABH=30°，

∴AH=

AB=

（t+1），由勾股定理得：

BH=

（t+1），

∴点B的坐标为（

，

）；

（2）由题意得：

E点坐标为（8,2t），

设直线OE的解析式为y=kx，将E点坐标代入，

得：

2t=8k，即k=

，

直线OE解析式为y=

x

若O、B、E三点共线，则B点在直线OE上，将B点坐标代入得：

=

×

解得：

t=－1（舍）或t=

，

即当t为

时，点O、B、E在同一直线上.

图7-3

（3）过C作CM⊥x轴于M，如图4-2所示，

则C点坐标为（

，

），OC=t+1，OP=3，

在图7-3中，若△OCP是等腰三角形，

①当OC=OP时，即t+1=3，解得t=2；

②当OP=PC时，∠PCO=∠POC=30°，

∴OC=

OP，即：

t+1=3

，解得：

t=3

－1；

③当OC=PC时，此时，C在线段OP的垂直平分线上，

即P点纵坐标为

，

=

，解得：

t=

－1；

综上所述，当t为2或3

－1或

－1时，△OCP为等腰三角形.