七年级下册数学知识点归纳上海科学出版社.docx
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七年级下册数学知识点归纳上海科学出版社
七年级下册数学知识点归纳
第6章实数
1、平方根:
⑴、定义:
如果√a=a,则√a叫做a的平方根,记作“√a”
(a称为被开方数)。
⑵、性质:
正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
⑶、算术平方根:
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“√a"。
2、立方根:
⑴、定义:
如果
=a,则x叫做a的立方根,记作“
”(a称为被开方数)。
⑵、性质:
正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):
求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:
1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同
3、a本身为非负数,即a≥0;a有意义的条件是a≥0.
4、公式:
⑴(√a)2=a(a≥0);⑵
=a(a取任何数).
5、非负数的重要性质:
若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0
二实数的概念及分类:
(1).自然数(小学):
数出物体个数的这样的数,如1、2、3、4、5.。
。
。
.。
叫做自然数。
(2)。
整数(小学):
0和自然数叫做整数。
(3)整数(中学):
正整数、负整数和0统称为整数。
(4)正数:
大于0的数叫做正数.
(5)负数:
小于0的数叫做负数。
(6)分数(小学):
形如1/2、5/3、7(3/5)这样的数叫做分数。
(7)分数(中学):
有限小数和无限循环小数统称为分数。
(8)有理数:
整数和分数统称为有理数。
(9)无理数:
无限不循环小数叫做无理数,具体表示方法为√2、√3这样的数。
(10)实数:
有理数与无理数统称为实数。
第7章一元一次不等式与不等式组
7。
1不等式:
一般地,用符号“<”“>”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
不等式的性质:
不等式的基本性质1:
不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
不等式的基本性质2:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
不等式的基本性质3:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
7.2不等式的解:
使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
不等式的解集:
一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
一元一次不等式:
不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。
7。
3一元一次不等式组:
一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
一元一次不等式组的解集:
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集
第8章整式乘除与因式分解
8.1幂的运算
同底数幂的乘法法则:
(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是:
幂的底数相同而且是相乘时,底数a可以是一个具体的数字式字母,也可以是一个单项或多项式;
②指数是1时,不要误以为没有指数;
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相同才能相加;
④当三个或三个以上同底数幂相乘时,法则可推广为(其中m、n、p均为正数);
⑤公式还可以逆用:
(m、n均为正整数)
幂的乘方与积的乘方
※1。
幂的乘方法则:
(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.
※2。
.
※3。
底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(—a)时不是同底,但可以利用乘方法则化成同底,
如将(-a)3化成-a3
※4.底数有时形式不同,但可以化成相同.
※5.要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的,不要误以为(a+b)n=an+bn(a、b均不为零).
※6.积的乘方法则:
积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(n为正整数).
※7.幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
同底数幂的除法
※1。
同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减,即(a≠0,m、n都是正数,且m>n)。
※2。
在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-2。
50=1),则00无意义。
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即(a≠0,p是正整数),而0-1,0—3都是无意义的;当a>0时,a—p的值一定是正的;当a〈0时,a—p的值可能是正也可能是负的,如,
④运算要注意运算顺序.
8.2整式乘法
※1。
单项式乘法法则:
单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:
①积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆;
②相同字母相乘,运用同底数的乘法法则;
③只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式;
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
※2.单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点:
①单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同;
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号;
③在混合运算时,要注意运算顺序。
※3.多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘时要注意以下几点:
①多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:
在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积;
②多项式相乘的结果应注意合并同类项;
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积。
对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到
8。
3平方差公式与完全平方公式
¤1.平方差公式:
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,
※即。
¤其结构特征是:
①公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互为相反数;
②公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差。
完全平方公式
¤1.完全平方公式:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,
¤即;
¤口决:
首平方,尾平方,2倍乘积在中央;
¤2.结构特征:
①公式左边是二项式的完全平方;
②公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的2倍。
¤3.在运用完全平方公式时,要注意公式右边中间项的符号,以及避免出现这样的错误。
8.4整式的除法
¤1.单项式除法单项式
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;
¤2.多项式除以单项式
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加,其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式,所得商的项数与原多项式的项数相同,另外还要特别注意符号。
8。
5因式分解
这种吧一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫作把这个多项式分解因式方法:
因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等.
注意三原则
1 分解要彻底
2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:
-3x^2+x=—x(3x—1))
基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法:
当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“—”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“—”号时,多项式的各项都要变号. 例如:
—am+bm+cm=—m(a—b—c);
a(x—y)+b(y-x)=a(x—y)-b(x-y)=(x-y)(a—b)。
注意:
把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b);
完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b) 2;
注意:
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式:
a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2); 立方差公式:
a3—b3=(a—b)(a2+ab+b2);
完全立方公式:
a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b) 2 3. 公式:
a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab—bc-ca) 例如:
a2 +4ab+4b2 =(a+2b)
第九章分式
基本知识点-—分式
分式的通分
①分式的通分:
根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成同分母分式(分式值不变)。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义:
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤:
Ⅰ取各分母系数的最小公倍数;
Ⅱ单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;
Ⅲ相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取.
注意:
分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
分式的约分定义:
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.
步骤:
把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因式。
注意:
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分.
分式乘除法则
分式的乘方
分式的加减法法则
遇到分式相加减,首先观察比较,辨别是同分母分式相加减,还是异分母分式相加减;若是同分母分式相加减,分母不变,只把分子相加减,即
若是异分母分式相加减,先通分,变为同分母分式,再加减,即
运算的结果,能约分的一定要约分,将结果化为最简形式.
分式的混合运算
分式的四则运算与分式的乘方常用公式
分式方程意义与解法
分式方程的意义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法
①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:
①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂),将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号};
②按解整式方程的步骤(移项,若有括号应去括号,注意变号,合并同类项,系数化为1)求出未知数的值;
③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
一般地验根,只需把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根,否则这个根就是原分式方程的根.若解出的根是增根,则原方程无解。
如果分式本身约分了,也要代进去检验.
列分式方程基本步骤
①审—仔细审题,找出等量关系.
②设-合理设未知数。
③列—根据等量关系列出方程(组)。
④解—解出方程(组)。
注意检验
⑤答-答题。
解分式方程的步骤
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解.
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:
①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
初一知识点:
与分式有关的条件
第十章相交线平行线与平移
10。
1相交线:
邻补角:
两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角:
一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。
垂线:
两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线.
平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角:
同位角:
∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角:
∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角:
∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
对顶角的性质:
对顶角相等.
补充;垂线的性质:
性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
平行公理:
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
10.2平行线的判定:
判定1:
同位角相等,两直线平行。
判定2:
内错角相等,两直线平行。
判定3:
同旁内角相等,两直线平行。
10。
3平行线的性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等.
性质2:
两直线平行,内错角相等。
性质3:
两直线平行,同旁内角互补。
10.4平移:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移平移变换,简称平移。
对应点:
平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。
第十一章频数分布
频数:
一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
频率:
频数与数据总数的比为频率。
组数和组距:
在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。