平面之间坐标系中的几何变换学生版.docx

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平面之间坐标系中的几何变换学生版

平面直角坐标系中的几何变换

一、坐标变换

1.点的平移变换:

点（x，y）_

上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变（简记:

上加下减,x不变）;

左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变（简记:

左减右加，y不变）。

图形的平移依据点的平移。

（注意和函数图像的平移规律区分开来，不要记混）

2.点的对称变换:

点（x，y）

关于x轴的对称点为（x，-y），关于y轴的对称点为（-x，y）,关于原点的对称点为（-x,-y）;

关于直线x=m的对称点为（2m-x，y）,关于直线y=n的对称点为（x,2n-y）;.

关于任意点（m，n）的对称点为（2m-x，2m-y）;

关于一三象限角平分线y=x的对称点为（y，x）,关于二四象限角平分线y=-x的对称点为（-y,-x）.

3.点的旋转变换:

-般考查旋转特殊角度:

30°,60°，45°，90°，120°，135°，150°等，利用几何知识、坐标公式或函数的性质进行计算即可.

[例1]在平面直角坐标系中，将A（m2,1）沿着x的正方向向右平移m2+3个单位后得到B点.有四个点M（-m2，1）、N（m2,m2+3）、P（m2+2，1）、Q（3m2，1），一定在线段AB上的是（）

A.点MB.点NC.点PD.点Q

[例2]在平面直角坐标系中，点A（3,

）关于直线x=m的对称点为A´,当点A´落在直线y=

x+2.上时，m的值为__________

[例3]）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB绕着旋转中心顺时针旋转90°，得到△CDE.则旋转中心的坐标为__________

[针对练习1]

1.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A（-a,a）（a>0），点B（-a-4,a+3），C为该直角坐标系内的一点，连结AB，OC,若AB//OC且AB=OC,则点C的坐标为______________。

2.如图，在直角坐标系中，A、B的坐标分别为（6，0），（0，3），将线段AB向上平移m个单位（m>0）得到AB'，如果△OA´B´为等腰三角形，那么m的值为__________。

.

3.如图，一束光线从点A（1，

）出发，经过直线y=1上的点C反射后经过点B（5,

）,则光线从点A到B所经过的路程是__________。

第2题第3题第5题

4.点M（3,2）关于第一象限角平分线的对称点的坐标为__________，关于第四象限角平分线的对称点的坐标是____________。

5.如图，A（

1）,B（1.

）.将△AOB绕点0旋转150°得到△A′OB′,则此时点A的对应点A'的坐标为____________。

二、一次函数与几何变换

1.平移变换

函数图像的平移规律:

“上加下减（常数项）.左加右减（自交量）”

2.对称变换

（1）直线y=kx+b关于x轴对称的直线l,每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y）,则（x,-y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即y=-kx-b.

（2）直线y=kx+b关于y轴对称的直线1,每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y）,则（-x，y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,

（3）用类似的方法可求关于任意直线对称的直线解析式。

3.旋转变换

（1）将直线y=kx+b绕点M（m,n）旋转180°，得到新的直线l，设点（x,y）是直线l上的任意一点，

（2）将点（x,y）绕点M（m,n）旋转180°得到（2m-x,2n-y）,将该点代入y=kx+b，整理后可得直线l的解析式。

[例1]把直线y=

x+1向右平移_______个单位可得到直线y=

x-2.

[例2]已知直线y=2x+6,分别求与它关于x轴,y轴和直线x=5对称的直线I的解析式。

[例3]两条直线l1,l2关于y轴对称，l1经过点（-1,0），,l2经过点（-1，1）,则这两条直线l1,l2的交点坐标为______________

[例4]已知一次函数y=-

x+5的图象，绕y轴上一点P（0,a）旋转180°，所得的图象经过点（0,-3），则a的值为（）

A.3B.1C.-3D.6

[针对练习2]

1.若直线y=

x-b沿x轴平移4个单位得到新直线y=

x+1，则b的值为______

2.直线l1:

y=2x+3关于直线x=a对称后，所得的直线l2过点（3,1），则直线l2的表达式为（）

A.y=-2x+7B.y=2x-5C.y=-2x+5D.

3.若直线y=kx+3与直线y=2x+b关于直线x=1对称，则k、b值分别为（）

A.k=2、b=-3B.k=-2、b=-3C.k=-2、b=1D.k=-2、b=-1

4.若把一次函数y=kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向左平移2个单位长度后,恰好经过点A（-4,0）和点B（0,2），则原一次函数的表达式是（）

A.y=

x+lB.y=

x-1C.y=--

x+1D.y=-

x-1

三、二次函数与几何变换

二次函函数和图形变化的结合，是同学们在学习中不可忽视的重要内容。

图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，

那么二次函数的图像在其图形变化（平移、轴对称、旋转）的过程中，如何完成解析式的确定呢?

解此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。

（一）平移变换

二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变.顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要将解析式化为顶点式，按照点的移动规律，求出新的项点坐标即可确定其解析式。

也可以利用函数图像平移规律:

“上加下减（常数项）,左加右减（自变量）”直接确定,避免了配方的过程。

注意：

一般式也可以直接用来对付平移。

[例1]将二次函数y=x22x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为____________________.

[例2]如图，将函数y=-（x+3）2+1的图象沿y轴向上平移得到-条新函数的图象，其中点A（-4,m）,B（-1,n），平移后的对应点分别为点A´、B´.若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是_____________________.

[例3]如图，抛物线C1:

y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-1,0）,B（3，0），与y轴交于点C,顶点为D.

（1）求抛物线C1的表达式及D点坐标;

（2）将抛物线C1向左平移，使得平移后的抛物线C2与与抛物线C1相交于点P，且∠PBA=∠DBC,求平移后的抛物线C2的表达式。

[针对练习3]

1.已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A.B（点A在点B左侧），顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M´落在x轴上，点B平移后的对应点B´落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为____________________.

2.如果抛物线A:

y=x2-1通过左右平移得到抛物线B,再通过上下平移抛物线B得到抛物线C:

y=

那么抛物线B的表达式为（）

A.y=x2+2B.y=x2-2x-1C.y=x2-2xD.y=x2+4

3.如果抛物线y=x2-2x+3不动，将平面直角坐标系xoy先沿水平方向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）

A.y=（x-2）2+3B.y=（x-2）2+5C.y=x2-1D.y=x2+4

4.将抛物线y=x2-4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积s（图中阴影部分）是________________.

5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）

A.1B.2C.3D.6

6.如图，抛物线y=ax2+bx-2与y轴的交点为A,抛物线的顶点为B（1,-3）.

（1）求出抛物线的解析式;

（2）点P为x轴上一点，当△PAB的周长最小时，求出点P的坐标;

（3）水平移动抛物线，新抛物线的项点为C,两抛物线的交点为D，当0，C,D在一条直线上时，请直接写出平移的距离.

（二）对称变换

此图形变换包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于某直线对称三种方式，此类变换不会改变二次函数的图像形状，只需要考患图像开口的变化，以及顶点的变换。

[例1]求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。

[针对练习4]

1.二次函数y=x2-4x-5的图象关于直线x=-1对称的图象的表达式是（）

A.y=x2-16x+55B.y=x2+8x+7C.y=-x2+8x+7D.y=x2-8x+7

2.在同一平面直角坐标系中，抛物线C1：

y=ax2-2x-3与抛物线C2：

y=x2+mx+n关于y轴对称，求抛物线C1，C2的函数表达式。

（三）旋转变换

主要是指以平面直角坐标系中的某一点为旋转中心，旋转角为180°的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a的值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。

[例1]将抛物线y=x2-2x+3绕其项点旋转180°，则所得的抛物线函数解析式为___________

[例2]如图，二次函数y=

的图象记为曲线C1，将C1绕坐标原点O逆时针旋转90°，得曲线C2.

（1）请画出C2;.

（2）写出旋转后A（2,5）的对应点A1的坐标:

（3）直接写出C1旋转至C2过程中扫过的面积.

[针对练习5]

1.将二次函数y=x2-2x-1的图象绕坐标原点旋转180°，则旋转后的图象对应的解析式为（）

A.y=x2+2x+3B.y=-x2-2x+1.C.y=x2-2x-lD.y=-x2+2x-3

2.如图，抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的抛物线是（）

A.y=-ax2-bx+cB.y=ax2-bx-cC.y=-ax2+bx-cD.y=-ax2-bx-c

3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为________________________

4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线M:

y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），且顶点坐标为B（0,1）.

（1）求抛物线M的函数表达式;

（2）设F（t,0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1

①抛物线M1的顶点Bl的坐标为_____________；

②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围.

（四）二次函数图形与变换综合问题

[例1]如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=

x2+bx+c与x轴相交于B（-2,0）,C两点。

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标:

（2）将

（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m>0）个单的长度得到新抛物线y1,若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围。

[例2]已知抛物线L:

y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C.

（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积;

（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L´，且L△与x轴相交于A´.B