届福建省龙岩市高三教学质量检查数学理试题解析版附后.docx
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届福建省龙岩市高三教学质量检查数学理试题解析版附后
2018届福建省龙岩市高三教学质量检查数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A.B.C.D.
2．已知函数，则是在处取得极小值的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知与是共轭虚数，有个命题①；②；③；④，一定正确的是（）
A.①②B.②③C.②③D.①②③
4．大致的图象是（）
A.B.
C.D.
5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（）
A.B.C.D.
6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）
A.B.C.D.
7．若实数，满足，则的值为（）
A.B.C.D.
8．设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的值为（）
A.B.C.D.
9．已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（）
A.或B.或C.或D.或
10．已知函数的一条对称轴为，且，则的最小值为（）
A.B.C.D.
11．在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（）
A.B.C.D.
12．记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（）
A.B.
C.D.
二、填空题
13．已知向量，，，则__________．
14．对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________．（用数字作答）
15．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为__________．
16．已知的内角的平分线交于点，与的面积之比为，，则面积的最大值为__________．
三、解答题
17．已知正项数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若是等比数列，且，，令，求数列的前项和.
18．已知梯形如图
（1）所示，其中，，四边形是边长为的正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图
（2）所示的几何体.
（Ⅰ）求证：
平面平面；
（Ⅱ）已知点在线段上，且平面，求与平面所成角的正弦值.
19．世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：
百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别
频数
（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该所大学共有学生人，试估计有多少位同学旅游费用支出在元以上；
（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在范围内的名学生中有名女生，名男生，现想选其中名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.
附：
若，则，
，.
20．平面直角坐标系中，圆的圆心为.已知点，且为圆上的动点，线段的中垂线交于点.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，抛物线：
的焦点为.，是过点互相垂直的两条直线，直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，求四边形面积的取值范围.
21．已知函数，.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若不等式对恒成立，求的取值范围.
22．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.
（Ⅰ）求直线和曲线的普通方程；
（Ⅱ）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求.
23．已知函数.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.
2018届福建省龙岩市高三教学质量检查数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】集合，，
则.
故答案为：
C.
2．已知函数，则是在处取得极小值的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】函数,,在处取得极小值,则在0的左边导函数小于0，0的右边导函数大于0，因为导函数的两个零点为0，，故是较小的零点，故<0,解得b>0.故是在处取得极小值的既不充分也不必要条件.
故答案为：
D.
3．已知与是共轭虚数，有个命题①；②；③；④，一定正确的是（）
A.①②B.②③C.②③D.①②③
【答案】D
【解析】设故，①正确；，故②正确；，故③正确；此时不成立，故④不正确.
故答案为：
D.
4．大致的图象是（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由于函数是偶函数，故它的图象关于y轴对称，
再由当x趋于π时，函数值趋于零，
故答案为：
D.
5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】输入s=0，n=1＜2018，
s=0，n=2＜2018，
s=﹣1，n=3＜2018，
s=﹣1，n=4＜2018，
s=0，n=5＜2018，…，
由2018=504×4+2得，
输出s=0，
故答案为：
C．
6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】根据题意知原图是一个直三棱柱，躺在平面上，上下底面是等腰直角三角形，则表面积由五个面构成，表面积为：
故答案为：
C.
7．若实数，满足，则的值为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】实数，满足，化简得到
联立第一个和第三个式子得到
故答案为：
B.
8．设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的值为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域，目标函数化为
当直线过点时，有最大值，将点代入得到
故答案为：
A.
9．已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（）
A.或B.或C.或D.或
【答案】B
【解析】根据题意设A，由点差得到
故直线l可以写成
点到其准线的距离为，可得到M的横坐标为4，将点代入抛物线可得到纵坐标为4或-4，
由点到直线的距离公式得到，M点到直线的距离为或.
故答案为：
B.
10．已知函数的一条对称轴为，且，则的最小值为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】f（x）=asinx﹣cosx
由于函数的对称轴为：
x=﹣，
则：
解得：
a=1．
所以：
f（x）=2sin（x﹣），
由于：
f（x1）•f（x2）=﹣4，
所以函数必须取得最大值和最小值，
所以：
|x1+x2|=4k，
当k=0时，最小值为．
故选：
B．
11．在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】根据题意得到这个模型是两个全等的三角形，二面角大小为，取CD的中点记为O，连结OB，OA，根据题意需要找到外接球的球心，选择OA的离O点近的3等分店记为E，同理去OB上一点记为F，自这两点分别做两个面的垂线，交于点P，则点P就是球心。
在三角形POE中，角POE为三十度，OE=
故答案为：
A.
点睛：
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.
12．记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】函数f（x）=在[﹣1，1]上单调递减．
曲线是增函数，故值域为，问题转化为函数f（x）=在上有解，在上有解，故a的范围是
故答案为：
B.
点睛：
本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
二、填空题
13．已知向量，，，则__________．
【答案】
【解析】向量，，,
解得.
故答案为：
.
14．对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________．（用数字作答）
【答案】48
【解析】根据题意，每对双胞胎都相邻，故不同的站法为
故答案为：
48.
15．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，一条渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，因为弦长为2，所以，所以．
16．已知的内角的平分线交于点，与的面积之比为，，则面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】根据题意与的面积之比为，可得到AB是AC的二倍，设AB=2x,AC=x,由余弦定理得到
三角形面积为上式在出取得最大值，代入得到.
故答案为：
.
点睛：
本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
三、解答题
17．已知正项数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若是等比数列，且，，令，求数列的前项和.
【答案】
（1）;
（2）.
【解析】试题分析：
（1）由得，两式做差得到，消去公因式得到，进而得到通项；
（2）根据题意列出方程可求得，，错位相减求得结果即可.
解析：
（Ⅰ）由得，
两式相减得，
∴，
∵，∴，
又由得得，
是首项为，公差为的等差数列，
从而.
（Ⅱ）设公比为，则由可得，
∴，
∴，
∴数列满足，
它的前项之和①，
②，
①-②得
，
∴.
18．已知梯形如图
（1）所示，其中，，四边形是边长为的正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图
（2）所示的几何体.
（Ⅰ）求证：
平面平面；
（Ⅱ）已知点在线段上，且平面，求与平面所成角的正弦值.
【答案】
（1）见解析；
（2）与平面所成角的正弦值为.
【解析】试题分析：
（1）要证面面垂直，可先证线线垂直，先由线面关系得到，由为正方形得，进而得到平面，从而得到面面垂直；
（2）建立空间坐标系，分别求得面的法向量和线的方向向量，由向量夹角公式求得线面角.
解析：
（Ⅰ）证明：
由平面平面，，
平面平面，平面，
得平面，又平面，
∴，
由为正方形得，
又，，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面.
（Ⅱ）由平面得，，
又故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，
设，则，
设平面的一个法向量为，
由，
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