概率论与数理统计知识要点.docx
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概率论与数理统计知识要点
概念:
1随机事件：
用A,B,C等表示
互不相容：
AB
互逆:
互逆
相互独立:
知识要点
AB且AB
互不相容
，反之不行
，此时，BA
p（Ab）
P（A）或P（AB）P（A）P（B）
2随机事件的运算律:
（1）交换律:
BA,AB
BA
（2）结合律:
（AB）
CA（B
C）,（AB）CA（BC）
（3）分配律:
A（BC）ABAC
A（BC）（A
B）（AC）
（4）DeMorgen
律（对偶律）
AB
ABAB
3随机事件的概率:
有界性0
n
推广：
UA
i1
P（A）
P（A）1
P（A）P（B）
条件概率P（AB）
P（AB）
P（B）
n
UA
i1
4随机变量：
用大写X,Y,Z表示.
若X与丫相互独立的充分必要条件是F（X,y）
Fx（x）FY（y）
若X与丫是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是f（x,y）
fx（x）fY（y）
若X与丫是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是p（x,y）
Px（x）PY（y）
若X与丫不相关，则cov（X,Y）0或R（X,Y）0
独立不相关反之不成立
不相关
当X与丫服从正态分布时，则相互独立两种概率模型
古典概型：
P（A）MM:
A所包含的基本事件的个数；N:
总的基本事件的个数
N
伯努利概型
n次独立试验序列中事件A恰好发生m次的概率Pn（m）cTp"qnm
n次独立试验序列中事件A发生的次数为mi到m2之间的概率
mmi
n次独立试验序列中事件A至少发生r次的概率
r1
R（m）
0
n
P（mr）Pn（m）
mr
特别的，至少发生一次的概率P（m1）1（1p）n
概率的计算公式:
推广:
乘法公式：
P（AB）P（A）P（B|A）或P（B）P（AB）
若A,B相互独立，P（AB）P（A）P（B）
注：
常用B,B作为互不相容的完备事件组
有诸多原因可以引发某种结果，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和
概率问题属于全概问题.
用全概率公式解题的程序：
，这样的
（1）
判断所求解的问题
是否为全概率问题
（2）
若是全概率类型，
正确的假设事件A及Bi
（3）
计算出P（Bi）,
P（ABi）
（4）
代入公式计算结果
，B要求是互斥的完备事件组
四一维随机变量:
分布函数：
F（x）
P（Xx）
性质
0F（x）1
（2）
若X1
X2，则F（Xi）
F（X2）
右连续
（4）
limF（x）1即F（
limF（x）0即
X
F（
）0（此性质常用来确定分布函数中的常数）
利用分布函数计算概率：
P（aX
b）
F（b）F（a）
一维离散随机变量:
概率函数：
p（xi）
P（X
X）
i1,2l（分布律）
性质：
P（X）0
P（x）
i
（此性质常用来确定概率函数中的常数）
已知概率函数求分布函数
F（x）
P（XXi）
XX
P（xj
XX
一维连续随机变量：
概率密度f（X）
性质:
（1）非负性f（X）
（2）归一性:
f（x）dx
1（常用此性质来确定概率密度中的常数）
分布函数和概率密度的关系:
f（x）F（X）
X
F（x）f（x）dx
利用概率密度求概率P（aXb）
（注意：
当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）b
f（x）dx
a
一维随机变量函数的分布：
离散情形：
列表、整理、合并
二维随机变量:
联合分布函数：
F（x,y）
P（X
x，丫
y）
性质：
（1）
F（
）0
（2）
F（
x）0
（3）
F（
y）0
（4）
F（
）1
（此极限性质常用来确定分布函数中的常数
）
二维离散随机变量:
性质
（1）f（x,y）0
联合分布函数与联合概率密度的关系
（注意：
当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）
七随机变量的数字特征:
若（X,Y）~p（Xi,yj）为二维离散随机变量，则
相互独立
E（XY）E（X）E（Y）（注意：
反之不成立）
八要熟记的常用分布及其数字特征:
九正态随机变量线性函数的分布十统计部分：
统计量
无偏性有效性
最大似然估计
区间估计假设检验
矩估计
例：
甲袋中有5只红球10只白球，乙袋中有8只红球6只白球，现先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋.求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率.
解：
设A:
从甲袋中取出放入乙袋的是红球，B:
从乙袋中返还甲袋的是红球，C：
这一
个来回后甲袋中红球数不变，则
CABAB,
从而
P（C）P（AB）
P（AB）P（A）P（BA）P（A）P（BA）
（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为
0.2，若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6，若
例高射炮向敌机发射三发炮弹
0.3，又若敌机中一弹，其坠落的概率为敌机中三弹，则必然坠落。
求敌机被击落的概率。
所以,
0.2286
例：
设X的分布函数F（x）
0
x2
R
1
xR求f（x）
解：
当OxR时,
2x
2
x
f（x）F（x）（夢）
R
当x0,xR时，f（x）
在xR处导数不存在，但规定为零
2xf（x）R
0
其它
acosx
例：
设连续随机变量的概率密度
f（x）
求:
（1）a
⑵F（x）
（3）
P（0
解：
（1）
f（x）dx
2acosxdx
2
2a2cosxdx2asinx^
2a（对称性质）
f（x）dx
1得:
2a
（2）当
2时，
F（x）
x
f（x）dx
分段函数积分
F（x）
（3）P（0
或P（0x
F（x）
f（x）dx
20dx
-cosxdx
22
x
cosxdx
"2
1.-sin
2
F（x）
sinx）
x7）
f（x）dx[6nxdx
22
4）F（7）
f（x）dx
F（0）
4-cosxdx
02
1
2（1sin7）
1（1sin0）
例:
X-e
（1）
，求丫
JX的密度函数
f（x）
例:
解:
FY（y）
P（Y
y）
p（長y）
FY（y）
fY（y）
FY（y）
，FY（y）
0y
y2x
0e
FyW）
p（VX
y）
P（xy2）
'f（x）dx
y2
0
xdx
dx
2yey2
设随机变量X的概率密度为
f（x）
6x（1
0,
x）
0x
其它.
1,
求:
（1）E（X）
D（X）
P（X
1）
E（X）
xf（x）dx
1
0x6x（1
x）dx
\x2
0\
x3
）dx
1-X
3
11
6（3；）
E（X2）
2
xf（x）dx
0x26x（1
x）dx
1
60（X
4
x）dx
6（；
1）—
510
D（X）
2
E（X）
2
E（X）
31
104
1
20
（2）
P（X2）
f（x）dx
1
16x（1
2
x）dx
1-X
设随机变量
（2
6（1
24）
X的概率密度为
f（x）
3x（1
kx
0
X）,
1,
x2,
其它.
求
（1）常数k的值；
（2）E（X）;（3）
D（X）.
1
f（x）dx30x（1
x）dx
2
1kxdx
k-x
2
13k
22
f（x）dx
13k
1知1曲1，解得k
22
E（X）
xf（x）dx3
12
0x2（1
x）dx
E（X2）
D（X）
例:
3（3x”）
x2f（x）dx
1:
-x9
13
30x3（1
x）dx
11
0—x
12
7
5
0,1415\
3（-x-x）
45
E（X2）（E（X））2
2
20
（37）2
36
1
3
37
36
1
3
5
4
：
x2dx
'x3dx
7
5"
设随机变量（X，丫）的概率密度为
f（x,y）
ey
0,
0,y
其它.
x；
计算：
（1）边缘概率密度fx（x）,fY（y）
什么?
（1）当x
fx（X）0
0时,
fx（x）
f（x,y）dy
所以
fx（X）
0;
0..
X与丫是否相互独立？
为
ydy
fY（y）0
f（x,y）dx
y
0e
ydx
ye
所以
fY（y）
0,y0;yey,y0..
（2）因为fx（x）fY（y）f（x,y）
所以X与Y不相互独立。
例设随机变量（X，丫）的联合概率密度为:
cosxcosy,0x—,0y—
f（x,y）八2y2
其它.
解：
（1）fx（X）
所以，fx（x）
cosx,
0,
（2）P（XY
f（x,y）dxdy^2dx
—x
02cosxcosydy
0cosxsiny02dx
cosxsin（―
2
x）dx02cos2
xdx
迈Z丄sin2x舟-
0224勺04
例：
总体X的概率密度为f（x）
1）x
0x1
其他
是未知参数，求的
矩估计量.
解：
E（X）xf（x）dx
1）x
dx
（1）
0x
1dx
由此解得的矩估计量为,
2X
例设总体的X概率密度为f（x,）
e（X2）
0,
X2;
X2.
，其中0为未知参
数，如果从该总体中取得简单随机样本观测值
x1,x2,
，Xn,，求参数的最大
似然估计值。
从而得到的最大似然估计值为
n
noX2Xi2n
i1
例：
设总体X~N（,1.22），为未知参数.
的置信水平为0.99的置
（1）已知从该总体中随机抽取25个观测值的平均值为8.20，求
信区间（结果保留四位小数）
（2）要使
的置信水平为0.99的置信区间长度不超过1,问样本容量最少应为多少?
（X-Au
Vn2
又X8.20，于是置信区间为
）=（8.200.6192,8.200.6192）,
即（7.5808,8.8192）.
jn6.192，n38.34，样本容量最少为39.
例：
从一批火箭推力装置中抽取8个进行试验，测试其燃烧时间（S）,经计算得样本均值X
从而置信区间为（51.88
0.4422,51.880.4422）（51.4378,52.3222）
例：
设总体X服从正态分布N（,0.22），现从中抽取样本容量为9的样本。
测
得样本均值X36.02，样本标准差S0.4。
问在显著性水平0.05下，可否认为
总体均值为31.60？
解根据题意待检验的假设为
0-N（0,1）
计算u统计量的观测值为
36.0236.101.47
查表u
■2
因为u
U0.025
1.47
0.2/
A/9
1.96
u_1.96，所以在显著性水平0.05下，接受原假设。
即即认为总体均值
31.60
例：
已知全国高校男生百米跑平均成绩为
014.5（秒）.为了比较某高校与全国高校的
男子百米跑水平，现从该校随机抽测男生s0.5477（秒）.试问：
在显著性水平与全国高校男生百米跑平均成绩有显著差异?
13人的百米跑成绩均值为14.1（秒），标准差为
0.05下，可否认为该校男生的百米跑平均成绩
解：
待检验的假设为：
H0:
014.5;
H1：
014.5;
显著水平0.05，标准差为s0.5477,
n13,
未知，故选择统计量t
Xs/vn
~t（n1）
计算t统计量的观测值为：
t14.1
14.5
0.5477/713
2.633，
当0.05时，t0.025（12）2.179，拒绝域为:
（,t_,）
2
（t_,）
2
拒绝原假设，即认为该校
即（，2.179）（2.179,）,t2.633在拒绝域内,
男生的百米跑均值与全国高校有显著差异。
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