圆和切线问题解答.docx
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圆和切线问题解答
圆和切线问题解答
1、
（1）
证明：
连结OC
因为AB是圆O的直径，OC是圆O的半径
所以，OB=OC
所以，∠B=∠OCB（等边对等角）
因为∠B=30°
所以，∠OCB=30°（等量代换）
因为∠BCD=180°-∠B-∠BDC（三角形内角和定理）
且∠BDC=30°
所以，∠BCD=120°
所以，∠OCD=∠BCD-∠OCB
即∠OCD=90°
所以，OC⊥CD
因为OC是圆O的半径
所以，DC是圆O的切线（切线的判定定理）
（2）
解：
因为AB=2即2OA=2
所以，OA=1（等式性质）
因为OA=OC
所以，OC=1（等量代换）
因为∠OCD=90°，∠BDC=30°
所以，DC=OC÷tan∠BDC
所以，DC=根号3
2、
（1）
证明：
连结BT
因为PQ是圆O的切线
所以，∠ATC=∠ABT（弦切角定理）
因为AB是圆O的直径，AC⊥PQ
所以，∠ATB=90°（直径所对的圆周角是直角）
所以，
∠CAT=90°-∠ATC
∠BAT=90°-∠ABT
（余角定义）
所以，∠CAT=∠BAT（等量代换）
所以，AT平分∠BAC
（2）
解：
连结TD
因为∠CTD=∠CAT（弦切角定理）
且∠TCD=∠ACT
所以，△CTD∽△CAT（两角对应相等，两三角形相似）
所以，TC÷AC=DC÷TC（相似三角形的对应边成比例）
所以，TC2=AC×DC（比例的基本性质）
因为AD=2，TC=根号3
且AC=DC+AD=DC+2
所以，3=DC（DC+2）
所以，
DC^2+2DC-3=0
（DC+3）（DC-1）=0
所以，DC=1（DC=-3不合题意，故舍去）
所以，AC=3
因为∠ACT=90°
所以，AT2=AC2+TC2=12（勾股定理）
由
（1）知，∠ABT=∠ATC且∠ATB=∠ACT=90°
所以，△ABT∽△ATC（两角对应相等，两三角形相似）
所以，AB÷AT=AT÷AC（相似三角形的对应边成比例）
所以，AB=AT2÷AC=4（等式性质）
因为AB=2OA
所以，2OA=4（等量代换）
所以，OA=2（等式性质）
3.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证AP=BP
3、连接OP，OA，OB组成直角三角形AOP,BOP
∵在圆O上∴OA=OB
又∵OP=OP∴Rt△AOP≡Rt△BOP
∴AP=BP（垂径定理？
）
好像还可以用大小圆的半径去做·这里就不介绍了···
一大圆和一小圆内切，小圆圆心为C，大圆圆心为O，P为切点，圆O的弦PQ和圆C相交于R（弧PQ在圆O的左半边），过点R作圆C的切线与圆O交与A，B两点。
求证：
Q是弧AB的中点。
标准答案：
连接OQ，CR。
因为：
CP=RC=小圆半径所以角CPR=角CRP，同理角CPR=角OQP
所以：
角CRP=角OQP
所以：
CR平行于OQ
因为：
CR是小圆半径
AB是小圆的切线所以CR垂直于AB
所以OQ垂直于AB（一条直线和两条平行线中的一条垂直一定也同另一条垂直）
由垂径定理知Q是弧AB的中点。
如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为________。
解答：
2倍根号3
因为：
当圆O与CA相切时，也与CB相切于一点，设为点D
此时，圆心O在ACB的平分线上，所以，OCD=30度，
因为OD=2
所以：
CD=2倍根号3
而CD正好也是圆心的平移距离。
所以……
△ABC的面积为4平方厘米，周长为10厘米，求△ABC的内切圆半径。
做三角形3个角的角平分线,3条角平分线会交于一个点，设为O点（也就是内切圆的圆心），过点O作三角形3条边上的高，这三条高就是内切圆半径。
设三角形三条边为a,b,c，内切圆半径为r,△ABC的面积=1/2（ar+br+cr）=0.5r（a+b+c）=0.5r*10（即周长）=4所以r=0.8
如图，已知圆O过正方形ABCD的顶点A、B，且与边BC相切，若正方形的边长为2，求圆O的半径。
过O做OE垂直AD于E,连接AO。
因为OE垂直于AD
所以AE=1/2AD=1
设半径为x
在直角三角形AEO中
12+（2-x）2=x2
解得x=5/4
标签：
切线,数学题]
思路：
这是一个直角三角形，当里面的圆与各边相切时，圆的面积最大，R=10，S=100π
提问人的追问2010-02-1622:
15R=10是怎么得到的
回答人的补充2010-02-1622:
36因为内切圆的半径是垂直于各边，因此三角形ABC的面积可以用1/2*（30+40+50）*R=1/2*30*40,解出即可。
[标签：
切线,数学题]
图有误差
如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边交于D，E是BC边上的中点连接DE
问：
DE与半圆O相切吗？
若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由
ED是圆O的切线
证明：
连接BD则：
∠ADB=∠CDB=90°
∵E是BC的中点
∴ED=EB因此，∠EDB=∠EBD
再连接OD
则：
OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°
∴∠ODE=90°
故ED是圆O的切线。
从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点间的距离为12，则圆的半径为____
解：
设圆外一点为P，连接两个切点A、B，连接OA、OB，OP
则∠PAO＝90度，∠APO＝30度，
三角形PAB是等边三角形
PA＝AB＝12
所以半径OA＝PA/√3＝4√3
在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙的圆心在线段BP上，⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是？
写出过程~
過O做OE垂直AB交AB于E
過O做OF垂直AC交AC于F连接AO设半径r
S△ABC=1/2×AC×BC=24（用勾股定理求出BC=6）、
S△BCP+S△AOB+S△AOP=S△ABC
1/2×6×6+1/2×10×r+1/2×2×r=24
r=1
5
[标签：
切线,数学题]
在三角形ABC中，AB=AC，角C=72°，圆心O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D。
连接BD，若BC=（根号5）-1，则AC=？
问题补充2009-11-0215:
47
过程越详细越好！
谢谢！
！
匿名回答:
2人气:
6解决时间:
2009-11-0216:
33
满意答案
好评率：
100%
解：
∵AB=AC，∠C=72°
∴∠ABC=72°，∠A=36°
∵BC是圆的切线
∴∠DBC=∠A=36°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=36°
∴∠ABD=∠A
∴AD=BD
而∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°
∴BD=BC
则BC=AD
∵BC是圆的切线
∴BC²=CD×AC=AC×（AC-AD）=AC×（AC-BD）
即AC²-BD×AC-BC²=0
解这个方程即可
回答人的补充2009-11-0216:
04BC²=CD×AC=AC×（AC-AD）=AC×（AC-BC）
即AC²-BC×AC-BC²=0
写错了！
回答人的补充2009-11-0216:
06AC=（BC+BC√5）/2=（1+√5）BC/2=2
提问人的追问2009-11-0216:
20为什么BC²=CD×AC
回答人的补充2009-11-0216:
25切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
提问人的追问2009-11-0216:
27我们没学过这个定理，还有没有别的方法
回答人的补充2009-11-0216:
30相似三角形呢？
提问人的追问2009-11-0216:
30没有
回答人的补充2009-11-0216:
32△BCD∽△ABC
∴BC/AC=CD/BC
也就是BC²=CD×AC
回答人的补充2009-11-0216:
33初三了切割线定理和相似三角形都没有学过呢？
提问人的追问2009-11-0216:
33
现有一块长82cm，宽55cm的矩形铁板，需要从中切割下半径为10cm的圆形零件。
想想看，如何才能得到较多的零件？
叠起来放（中间每个圆形零件和相临的6个零件都相切）
宽为20+20√3≈54.64<55,说明可以放3行
长为20*4<82,第1行与第3行都可以放4个
第2行只能放3个
所以总共最多可以放11个.
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