函数极限证明多篇.docx
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函数极限证明多篇
函数极限证明（多篇）
函数的极限是高等数学中非常重要的内容,关于一元函数的极限及其求法,各种教材中都有详尽的说明。
二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,两者之间既有联系又有区别。
例如,在极运算法则上,它们是一致的,但随着变量个数的增加,二元函数极限比一元函数18/29二元函数极限证明极限变得复杂得多,但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时,函数值的变化趋势。
是高等数学中一个极其重要的问题。
但是,一般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还是证明都具有更大的难度。
本文就二元函数极限的问题作如下探讨求一元函数的极限问题,主要困难多数集中于求未定型极限问题,而所有未定型的极限又总可转化为两类基本型即00与∞∞型,解决这两类基本未定型的有力工具是洛泌达（lhospital）法则。
类似地,二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。
为了叙述上的方便,对它的特殊情形（即（x0,y0）=（0,0））作出如下研究,并得到相应的法则与定理。
二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时,函数值的变化趋势。
是高等数学中一个极其重要的问题。
但是,一般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还是证明都具有更大的难度。
本文就二元函数极限的问题作如下探讨。
§二元函数的极限与连续定义设二元函数有意义,若存在19/29二元函数极限证明常数a,都有则称a是函数当点趋于点或或趋于点时的极限,记作。
的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或必须注意这个极限值与点论p以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近,就能使。
只要p与充与a接近到预先任意指定的程度。
注意：
点p趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时,极限在该点存在,但不相等,则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。
极限不存在。
这是判断多20/29二元函数极限证明一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
例如若有,其中。
求多元函数的极限,一般都是转化为一元函数的极限来求,或利用夹逼定理来计算。
例4求。
解由于,而,根据夹逼定理知,所以。
a≠0）。
解例求（。
例6求。
解21/29二元函数极限证明由于理知且,所以根据夹逼定.例7研究函数在点处极限是否存在。
解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0）的极限，有值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但,。
很显然，对于不同的k。
注意：
极限方式的的区别,前面两个求本质是两次求一元函数的极限,我们称为累次极限,而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。
例8设函数极限都不存在,因为对任何22/29二元函数极限证明,当时,。
它关于原点的两个累次的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是因此。
由例7知,两次累次极限存在,但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:
定理1若累次极限都存在,则三者相等（证明略）。
推论若但不相等,则二重极限不存在和二重极限23/29二元函数极限证明,由于,存在。
定义设在点的某邻域内有意义,且称函数,则在点处连续,记上式称为函数（值）的全增量。
则。
24/29二元函数极限证明定义增量。
为函数（值）对x的偏二元函数连续的定义可写为偏增量。
若断点,若在点为函数（值）对y的处不连续,则称点是的间在某区域在区域g上连续。
若在闭区域gg上每一点都连续,则称的每一内点都连续,并在g的连界点处成立,则称25/29二元函数极限证明为连续曲面。
在闭域g上连续。
闭域上连续的二元函数的图形称关于一元函数连续的有关性质,如最值定理、介值定理、cantor定理,对于二元函数也相应成立。
可以证明如下的重要结果：
定理2设在平面有界闭区域g上连续,则
（1）必在g上取到最大值,最小值及其中间的一切值;
（2）,当时,都有。
以上关于二元函数的在g上一致连续,即极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。
函数极限的证明
（一）时函数的极限：
以时和为例引入.介绍符号:
的意义,的直观意义.定义（和.）几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.26/29二元函数极限证明例1验证例2验证例3验证证……
（二）时函数的极限：
由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证（类似有（三）单侧极限:
1.定义：
单侧极限的定义及记法.几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质（3学时）教学目的：
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：
掌握函数极限的基本性质：
唯一性、局部保号性、不教学重点：
函数极限的性质及其计算。
教学难点：
函数极限性质证明及其应用。
27/29等式性质以及有理运算性等。
二元函数极限证明教学方法：
讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
（一）函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性（不等式性质）:
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:
6.四则运算性质:
（只证“+”和“”）
（二）利用极限性质求极限：
已证明过以下几个极限：
（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.28/29二元函数极限证明例1（利用极限和）例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7函数极限证明函数极限的性质证明函数极限的定义证明利用函数极限定义证明11用定义证明函数极限方法总结29/29第3篇：
函数极限的性质证明函数极限的性质证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A||X2-A|①证明{x（n）}单调增加。
x
（2）=√[2+3x
（1）]=√5x
（1）;设x（k+1）x（k），则x（k+2）-x（k+1））=√[2+3x（k+1）]-√[2+3x（k）]（分子有理化）=[x（k+1）-3x（k）]/【√[2+3x（k+1）]+√[2+3x（k）]】0。
②证明{x（n）}有上界。
x
（1）=1x（k+1）=√[2+3x（k）]1、a=1/t且，f（x）=x*（1/t）^x=x/t^x（t1）则：
lim（x→+∞）f（x）=lim（x→+∞）x/t^x=lim（x→+∞）[x'/（t^x）']（分子分母分别求导）=lim（x→+∞）1/（t^x*lnt）=1/（+∞）=0所以，对于数列n*a^n，其极限为04用数列极限的定义证明3.根据数列极限的定义证明：
（1）lim[1/（n的平方）]=0n→∞
（2）lim[（3n+1）/（2n+1）]=3/2n→∞（3）lim[根号（n+1）-根号（n）]=0n→∞（4）…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。
。
。
Lim就省略不打了。
。
。
第4篇：
函数极限的定义证明习题1-31.根据函数极限的定义证明:
（1）lim（3x-1）=8;x®3
（2）lim（5x+2）=12;x®2x2-4=-4;（3）limx®-2x+21-4x3（4）lim=2.x®-2x+121证明
（1）分析|（3x-1）-8|=|3x-9|=3|x-3|,要使|（3x-1）-8|0,$d=e,当0<|x-3|（2）分析|（5x+2）-12|=|5x-10|=5|x-2|,要使|（5x+2）-12|0,$d=e,当0<|x-2|0,$d=e,当0<|x-（-2）|0,$d=e,当0<|x-（-）|（1）lim1+x32x3sinxx®¥=1;2
（2）limx®+¥x=0.证明
（1）分析|x|>11+x32x311+x3-x3-=22x3=12|x|3,要使1+x32x3-110,$X=
（2）分析sinxx-0=12e,当|x|>X时,有1x1+x32x311+x31-sinxx|sinx|x£,要使sinx证明因为"e>0,$X=e2,当x>X时,有xsinxx-0-3=397,X=.5.证明函数f（x）|x|当x®0时极限为零.x|x|6.求f（x）,j（x）=当x®0时的左﹑右极限,并说明它们在x®0时的极限是否存在.xx证明因为xlimf（x）=lim=lim1=1,x®0-x®0-xx®0-xlimf（x）=lim=lim1=1,x®0+x®0+xx®0+limf（x）=limf（x）,-+x®0x®0所以极限limf（x）存在.x®0因为limj（x）=lim--x®0x®0|x|-x=lim=-1,-x®0xx|x|x=lim=1,xx®0+xlimj（x）=lim++x®0x®0limj（x）¹limj（x）,-+x®0x®0所以极限limj（x）不存在.x®07.证明:
若x®+¥及x®-¥时,函数f（x）的极限都存在且都等于A,则limf（x）=A.x®¥证明因为limf（x）=A,limf（x）=A,所以"e0,x®-¥x®+¥$X1>0,使当x<-X1时,有|f（x）-A|0,使当x>X2时,有|f（x）-A|X时,有|f（x）-A|函数f（x）当x®x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f（x）®A（x®x0）,则"e0,$d>0,使当0\n|f（x）-A|\n因此当x0-d\n|f（x）-A|\n这说明f（x）当x®x0时左右极限都存在并且都等于A.再证明充分性.设f（x0-0）=f（x0+0）=A,则"e0,$d10,使当x0-d10,使当x0\n取d=min{d1,d2},则当0\n|f（x）-A|\n即f（x）®A（x®x0）.9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.解x®¥时函数极限的局部有界性的定理:
如果f（x）当x®¥时的极限存在,则存在X>0及M>0,使当|x|>X时,|f（x）|0,当|x|>X时,有|f（x）-A|0及M>0,使当|x|>X时,|f（x）|函数极限的性质证明函数极限的性质证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得|Xn-A||Xn-1-A|……|X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|2只要证明{x（n）}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x（n）}单调增加。
x
（2）=√=√5x
（1）;设x（k+1）x（k），则x（k+2）-x（k+1））=√-√（分子有理化）=/【√+√】0。
②证明{x（n）}有上界。
x
（1）=1设x（k）x（k+1）=√3当0当0构造函数f（x）=x*a^x（0令t=1/a，则：
t1、a=1/t且，f（x）=x*（1/t）^x=x/t^x（t1）则：
lim（x→+∞）f（x）=lim（x→+∞）x/t^x=lim（x→+∞）（分子分母分别求导）=lim（x→+∞）1/（t^x*lnt）=1/（+∞）=0所以，对于数列n*a^n，其极限为04用数列极限的定义证明3.根据数列极限的定义证明：
（1）lim=0n→∞
（2）lim=3/2n→∞（3）lim=0n→∞（4）…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。
。
。
Lim就省略不打了。
。
。
n/（n^2+1）=0√（n^2+4）/n=1sin（1/n）=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则（不知楼主学了没，没学的话以后会学的）第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin（1/n）=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/（n^2+1）=lim（1/n）/（1+1/n^2）=lim（1/n）/（1+lim（1+n^2）=0/1=0lim√（n^2+4）/n=lim√（1+4/n^2）=√1+lim（4/n^2）=√1+4lim（1/n^2）=1limsin（1/n）=lim=lim（1/n）*lim/（1/n）=0*1=0第6篇：
函数极限习题1.按定义证明下列极限:
（1）limx®+¥6x+5=6;
（2）lim（x2-6x+10）=2;x®2xx2-5=1;（4）lim-（3）lim2x®+¥x-1x®2（5）limcosx=cosx0x®x04-x2=0;2.根据定义2叙述limf（x）≠®x03.设limf（x）=A.,证明limf（x0+h）=®x0h®04.证明:
若limf（x）=A,则lim|f（x）|=|A|.当且仅当A为何值时反之也成立?
x®x0x®x05.证明定理6.讨论下列函数在x0→0时的极限或左、右极限:
（1）f（x）=xx;
（2）f（x）=[x]ì2x;x>0.ï（3）f（x）=í0;x=0.ï1+x2,x<0.î7.设limf（x）=A,证明limf（x®+¥x®x01）=Ax8.证明:
对黎曼函数R（x）有limR（x）=0,x0∈[0,1]（当x0=0或1时,考虑单侧极限）.x®x0习题1．求下列极限：
x2-1
（1）lim2（sinx－cosx－x）;
（2）lim;px®02x2-x-1x®22x2-1（x-1）+（1-3x）;lim（3）lim;（4）x®12x2-x-1x®0x2+2x3xn-1（5）limm（n,m为正整数）；（6）limx®1xx®4-1（7）limx®0+2x-3x-270；20a2+x-a（3x+6）（8x-5）.（a（8）limx®+¥x5x-1902．利用敛性求极限：
（1）limx®-¥x-cosxxsinx;
（2）lim2x®0xx-4x®x03．设limf（x）=A,limg（x）=B.证明：
x®x0
（1）lim[f（x）±g（x）]=A±B;x®x0
（2）lim[f（x）g（x）]=AB;x®x0（3）limx®x0f（x）A=（当B≠0时）g（x）B4．设a0xm+a1xm-1+L+am-1x+amf（x）=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn-1b0x+b1x+L+bn-1x+bn试求limf（x）x®+¥5．设f（x）0,limf（x）=A.证明x®x0x®x0limf（x）=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1（0\nx®07.设limf（x）=A,limg（x）=B.x®x0x®x0
（1）若在某∪（x0）内有f（x）
（2）证明：
若AB,则在某∪（x0）内有f（x）g（x）.8.求下列极限（其中n皆为正整数）：
（1）lim-x®0xx11lim;
（2）;nn+x®0x1+xx1+xx+x2+L+xn-n（3）lim;（4）limx®0x®0x-1+x-1x（5）limx®¥[x]（提示：
参照例1）xx®0x®0x®09．
（1）证明：
若limf（x3）存在，则limf（x）=limf（x3）
（2）若limf（x2）存在，试问是否成立limf（x）=limf（x2）?
x®0x®0x®0习题1.叙述函数极限limf（x）的归结原则,并应用它证明limcosx不存在.n®+¥n®+¥2.设f为定义在[a,+¥）上的增（减）函数.证明:
lim=f（x）存在的充要条件是f在n®+¥[a,+¥）上有上（下）界.3.
（1）叙述极限limf（x）的柯西准则;n®-¥
（2）根据柯西准则叙述limf（x）不存在的充要条件,并应用它证明limsinx不存在.n®-¥n®-¥4.设f在∪0（x0）内有定义.证明:
若对任何数列{xn}∪0（x0）且limxn=x0,极限limf（xn）都n®¥n®¥存在,则所有这极限都相等.提示:
参见定理充分性的证明.5设f为∪0（x0）上的递减函数.证明:
f（x0－0）和f（x0+0）都存在,且f（x0－0）=supf（x）,f（x0+0）=0xÎu-（x0）0xÎun（x0）inff（x）6.设D（x）为狄利克雷函数,x0∈R证明limD（x）不存在.x®x07.证明:
若f为周期函数,且limf（x）=0,则f（x）=0x®+¥8.证明定理习题1.求下列极限sin2xsinx3
（1）lim;
（2）limx®0x®0sinx2x（3）limx®cosxx-ptanx-sinxarctanxlim（5）lim;（6）;3x®0x®0xxsin2x-sin2a1（7）limxsin;（8）lim;x®+¥x®axx-a;（4）limx®0tanx;x-cosx2（9）lim;（10）limx®0x®01-cosxx+1-1sin4x2.求下列极限12-x
（1）lim（1-）;
（2）lim（1+ax）x（a为给定实数）;n®¥x®0xx（3）lim（1+tanx）x®0cotx;（4）limçæ1+xö÷;x®01-xèø（5）lim（x®+¥3x+22x-1a）;（6）lim（1+）bx（a,b为给定实数）n®+¥3x-1x3.证明:
limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:
（1）limnsinn®¥éx®0n®¥îëìx2xxùüLcos=12núý22ûþpn;
（2）习题1．证明下列各式
（1）2x－x2=O（x）（x→0）;
（2）xsinx=O（x）（x→0）;+（3）+x-1=o
（1）（x→0）;（4）（1+x）n=1+nx+o（x）（x→0）（n为正整数）（5）2x3+x2=O（x3）（x→∞）;（6）o（g（x））±o（g（x））=o（g（x））（x→x0）（7）o（g1（x））·0（g2（x））=o（g1（x）g2（x））（x→x0）2．应用定理求下列极限：
+x2-1x
（1）lim
（2）limx®01-cosxx®¥x-cosxx3．证明定理4．求下列函数所表示曲线的渐近线：
13x3+4
（1）y=;
（2）y=arctanx;（3）y=2xx-2x5．试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：
（1）sin2x－2sinx;
（2）－（1－x）;1+x（3）+tanx--sinx;（4）x2-4x36．试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：
（1）x2+x5;
（2）x+x2（2+sinx）;（3）（1+x）（1+x2）…（1+xn）.7．证明：
若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}Ìs，使得xn→+∞（n→∞）8．证明：
若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0（r）上满足g（x）≥K0，则fg为x→r时的无穷大量。
9．设f（x）~g（x）（x→x0），证明：
f（x）－g（x）=o（f（x））或f（x）－g（x）=o（g（x））总练习题1．求下列极限：
-1（x-[x]）lim（[x]+1）
（1）lim;
（2）-+x®3x®1（3）lim（x®+¥a+xb+x-a-xb-x）xx-a（4）limx®+¥（5）limxx-ax®-¥（6）lim+x--x+x--xx®0（7）limçnöæm,m,n为正整数-n÷x®11-xm1-xøè2．分别求出满足下述条件的常数a与b：
æx2+1ö
（1）limç-ax-b÷÷=0x®+¥çx+1èøx（3）limx
（2）limx®-¥x®+¥x®2）-x
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