高中数学解题思想方法 语文备考 高考作文写作素材200例 物理所有基础知识.docx
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高中数学解题思想方法语文备考高考作文写作素材200例物理所有基础知识
1上有两点P、Q，O为原点。
连OP、OQ，若k·k＝－，
①．求证：
|OP|＋|OQ|等于定值；②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
【分析】由"换元法"引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k·k得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用"参数法"求中点M的坐标，消参而得。
【解】由＋＝1，设，P（4cosθ,2sinθ），Q（4cosθ,2sinθ）,
则k·k＝＝－，整理得到：
cosθcosθ＋sinθsinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0。
∴|OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12（cosθ＋cosθ）＝20＋6（cos2θ＋cos2θ）＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，
即|OP|＋|OQ|等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为，
所以有（）＋y＝2＋2（cosθcosθ＋sinθsinθ）＝2,
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。
【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行"三角换元"，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。
本题还要求能够熟练使用三角公式和"平方法"，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ＋cosθ）＋（sinθ＋sinθ），这是求点M轨迹方程"消参法"的关键一步。
一般地，求动点的轨迹方程运用"参数法"时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用"消去法"消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：
，消y得（1＋4k）x＝16,即|x|＝；
，消y得（1＋）x＝16，即|x|＝；
所以|OP|＋|OQ|＝（）＋（）
＝＝20。
即|OP|＋|OQ|等于定值20。
在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的长。
S
E
DC
OF
AB
例3.已知正四棱锥S-ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：
cosα=-cosβ。
【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。
则∠SFO＝β，∠DEB＝α。
设BC＝a（为参数），则SF＝＝,
SC＝＝
＝
又∵BE＝＝＝
在△DEB中，由余弦定理有：
cosα＝＝＝－cosβ。
所以cosα＝－cosβ。
【注】设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
Ⅲ、巩固性题组：
1.已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。
2.函数y＝x＋2＋的值域是________________。
3.抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为_____
A.5B.10C.2D.3
4.过点M（0,1）作直线L，使它与两已知直线L：
x－3y＋10＝0及L：
2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。
5.求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
6.f（x）＝（1－cosx）sinx，x∈[0,2π），求使f（x）≤1的实数a的取值范围。
7.若关于x的方程2x＋xlg＋lg（）＋lg＝0有模为1的虚根，求实数a的值及方程的根。
8.给定的抛物线y＝2px（p>0），证明：
在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有＋为定值。
七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于"间接证明法"一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：
肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。
法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：
"若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾"。
具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的"矛盾律"和"排中律"。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的"矛盾律"；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说"A或者非A"，这就是逻辑思维中的"排中律"。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据"矛盾律"，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以"否定的结论"必为假。
再根据"排中律"，结论与"否定的结论"这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为"否定→推理→否定"。
即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是"否定之否定"。
应用反证法证明的主要三步是：
否定结论→推导出矛盾→结论成立。
实施的具体步骤是：
第一步，反设：
作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：
将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：
说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到"反设"进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫"归谬法"；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫"穷举法"。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：
"反证法是数学家最精当的武器之一"。
一般来讲，反证法常用来证明的题型有：
命题的结论以"否定形式"、"至少"或"至多"、"唯一"、"无限"形式出现的命题；或者否定结论更明显。
具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组：
1.已知函数f（x）在其定义域内是减函数，则方程f（x）＝0______。
A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根
2.已知a<0,－1A.a>ab>abB.ab>ab>aC.ab>a>abD.ab>ab>a
3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b为异面直线，则_____。
A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交
C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交
4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。
（97年全国理）
A.150种B.147种C.144种D.141种
【简解】1小题：
从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；
2小题：
采用"特殊值法"，取a＝－1、b＝－0.5，选D；
3小题：
从逐一假设选择项成立着手分析，选B；
4小题：
分析清楚结论的几种情况，列式是：
C－C×4－3－6,选D。
S
C
AO
B
Ⅱ、示范性题组：
例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。
求证：
AC与平面SOB不垂直。
【分析】结论是"不垂直"，呈"否定性"，考虑使用反证法，即假设"垂直"后再导出矛盾后，再肯定"不垂直"。
【证明】假设AC⊥平面SOB，
∵直线SO在平面SOB内，∴AC⊥SO，
∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB，
∴SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，
这显然出现矛盾，所以假设不成立。
即AC与平面SOB不垂直。
【注】否定性的问题常用反证法。
例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。
例2.若下列方程：
x＋4ax－4a＋3＝0，x＋（a－1）x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。
试求实数a的取值范围。
【分析】三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：
三个方程均没有实根。
先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。
【解】设三个方程均无实根，则有：
解得,即－所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根。
【注】"至少"、"至多"问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。
本题还用到了"判别式法"、"补集法"（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。
两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。
例3.给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝（其中x∈R且x≠），证明：
①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。
（88年全国理）。
【分析】"不平行"的否定是"平行"，假设"平行"后得出矛盾从而推翻假设。
【证明】①设M（x,y）、M（x,y）是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x,
假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a（x－x）＝x－x
∵x≠x∴a＝1，这与已知"a≠1"矛盾，
因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。
②由y＝得axy－y＝x－1,即（ay－1）x＝y－1,所以x＝，
即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。
由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像。
【注】对于"不平行"的否定性结论使用反证法，在假设"平行"的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。
第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。
Ⅲ、巩固性题组：
1.已知f（x）＝，求证：
当x≠x时，f（x）≠f（x）。
2.已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：
、、不可能成等差数列。
3.已知f（x）＝x＋px＋q，求证：
|f
（1）|、|f
（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于。
4.求证：
抛物线y＝－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。
5.已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：
方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。
A
FD
BM
N
EC
6.两个互相垂直的正方形如图所示，M、N在相应对角线上，且有EM＝CN，求证：
MN不可能垂直CF。
第二章高中数学常用的数学思想
一、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类：
一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含"以形助数"和"以数辅形"两个方面，其应用大致可以分为两种情形：
或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：
"数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
"数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
"数"与"形"是一对矛盾，宇宙间万物无不是"数"和"形"的矛盾的统一。
华罗庚先生说过：
数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：
第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：
锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
Ⅰ、再现性题组：
5.设命题甲：
0|x－2|<3，那么甲是乙的_____。
（90年全国文）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.若log2（92年全国理）
A.0b>1D.b>a>1
7.如果|x|≤,那么函数f（x）＝cosx＋sinx的最小值是_____。
（89年全国文）
A.B.－C.－1D.
8.如果奇函数f（x）在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）的[-7,-3]上是____。
（91年全国）
A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－5
9.设全集I＝{（x,y）|x,y∈R}，集合M＝{（x,y）|＝1}，N＝{（x,y）|y≠x＋1}，那么等于_____。
（90年全国）
A.φB.{（2,3）}C.（2,3）D.{（x,y）|y＝x＋1
10.如果θ是第二象限的角，且满足cos－sin＝,那么是_____。
A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角
11.已知集合E＝{θ|cosθ（93年全国文理）
A.（,π）B.（,）C.（π,）D.（,）
12.若复数z的辐角为，实部为－2，则z＝_____。
A.－2－2ｉB.－2＋2ｉC.－2＋2ｉD.－2－2ｉ
13.如果实数x、y满足等式（x－2）＋y＝3，那么的最大值是_____。
（90年全国理）
A.B.C.D.
14.满足方程|z＋3－ｉ|＝的辐角主值最小的复数z是_____。
【简解】1小题：
将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A;
2小题：
由已知画出对数曲线，选B；
3小题：
设sinx＝t后借助二次函数的图像求f（x）的最小值，选D；
4小题：
由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；
5小题：
将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；
6小题：
利用单位圆确定符号及象限；选B；
7小题：
利用单位圆，选A；
8小题：
将复数表示在复平面上，选B；
9小题：
转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；
10小题：
利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－＋ｉ。
【注】以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。
y
4y=1-m
1
O23x
Ⅱ、示范性题组：
例1.若方程lg（－x＋3x－m）＝lg（3－x）在x∈（0,3）内有唯一解，求实数m的取值范围。
【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。
【解】原方程变形为
即：
设曲线y＝（x－2）,x∈（0,3）和直线y＝1－m，图像如图所示。
由图可知：
①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3∴m＝1或－3此题也可设曲线y＝－（x－2）＋1,x∈（0,3）和直线y＝m后画出图像求解。
【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。
此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。
yA
D
OBx
C
例2.设|z|＝5，|z|＝2,|z－|＝，求的值。
【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。
【解】如图，设z＝、z＝后，则＝、＝如图所示。
由图可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：
cos∠AOD＝＝
∴＝（±ｉ）＝2±ｉ
yA
D
Ox
【另解】设z＝、＝如图所示。
则||＝，且
cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±，
所以＝（±ｉ）＝2±ｉ，即＝2±ｉ。
【注】本题运用"数形结合法"，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。
一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。
本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：
设z＝5（cosθ＋ｉsinθ），z＝＋ｉsinθ），则|z－|＝|（5cosθ－2cosθ）＋（5sinθ＋2sinθ）ｉ|＝
＝，所以cos（θ＋θ）＝,sin（θ＋θ）＝±，
＝＝[cos（θ＋θ）＋ｉsin（θ＋θ）]＝（±ｉ）＝2±ｉ。
本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：
由|z－|＝得：
（z－）（－z）＝z＋z－zz－＝25＋4－zz－＝13,
所以zz＋＝16,再同除以z得＋＝4，设＝z，解得z＝2±ｉ。
几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。
一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：
直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。
例3.直线L的方程为：
x＝－（p>0）,椭圆中心D（2＋,0），焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。
问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？
【分析】由抛物线定义，可将问题转化成：
p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
【解】由已知得：
a＝2，b＝1,A（,0），设椭圆与双曲线方程并联立有：
，消y得：
x－（4－7p）x＋（2p＋）＝0
所以△＝16－64p＋48p>0,即6p－8p＋2>0，解得：
p<或p>1。
结合范围（,4+）内两根，设f（x）＝x－（4－7p）x＋（2p＋），
所以<<4+即p<，且f（）>0、f（4+）>0即p>－4＋3。
结合以上，所以－4＋3【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。
一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了"判别式法"，其中特别要注意解的范围。
另外，"定义法"、"数形结合法"、"转化思想"、"方程思想"等知识都在本题进行了综合运用。
例4.设a、b是两个实数，A＝{（x,y）|x＝n，y＝na＋b}（n∈Z），B＝{（x,y）|x＝m，y＝3m＋15}（m∈Z），C＝{（x,y）|x＋y≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与（a,b）∈C同时成立。
（85年高考）
【分析】集合A、B都是不连续的点集，"存在a、b，使得A∩B≠φ"的含意就是"存在a、b使得na＋b＝3n＋15（n∈Z）有解（A∩B时x＝n＝m）。
再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：
动点（a,b）在直线L：
nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。
【解】由A∩B≠φ得：
na＋b＝3n＋15;
设动点（a,b）在直线L：
nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，
所以圆心到直线距离d＝＝3（＋）≥12
∵n为整数∴上式不能取等号，故a、b不存在。
【注】集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。
此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。
本题直接运用代数方法进行解答的思路是：
由A∩B≠φ得：
na＋b＝3n＋15,即b＝3n＋15－an（①式）；
由（a,b）∈C得，a＋b≤144（②式）；
把①式代入②式，得关于a的不等式：
（1＋n）a－2n（3n＋15）a＋（3n＋15）－144≤0（③式）,
它的判别式△＝4n（3n＋15）－4（1＋n）[（3n＋15）－144]＝－36（n－3）
因为n是整数，所以n－3≠0,因而△<0，又因为1＋n>0,故③式不可能有实数解。
所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与（a,b）∈C同时成立
Ⅲ、巩固性题组：
1.已知5x＋12y＝60，则的最小值是_____。
A.B.C.D.1
2.已知集合P＝{（x,y）|y＝}、Q＝{（x,y）|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。
A.|b|<3B.|b|≤3C.－3≤b≤3D.－33.方程2＝x＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A.1B.2C.3D.以上都不对
4.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。
5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。
6.设z＝cosα＋ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。
7.若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。
8.sin20°＋cos80°＋sin20°·cos80°＝____________。
9.解不等式：
>b－x
10.设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组的解集，试确定a、b的取值范围，使得AB。
（90年高考副题）
11.定义域内不等式〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。
12.已知函数y＝＋，求函数的最小值及此时x的值。
13.已知z∈C，且|z|＝1，求|（z＋1）（z－ｉ）|的最大值。
14.若方程lg（kx）＝2lg（x＋1）只有一个实数解，求常数k的取值范围。
二、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理
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