初中数学因式分解含答案竞赛题doc.docx
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初中数学因式分解含答案竞赛题doc
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初中数学因式分解
（二）
1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．
某些二元二次六项式
2
2
（ax
+bxy+cy+dx+ey+f），可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式
2
2
．我们将上式按
x降幂排列，并把
y当作常数，于是上式可变形为
2x-7xy-22y
-5x+35y-3
2
2
2x-（5+7y）x-（22y
-35y+3），
可以看作是关于
x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于
y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
2
即：
-22y+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以，原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］
=（x+2y-3）（2x-11y+1）．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
22
（x+2y）（2x-11y）=2x-7xy-22y；
2
（x-3）（2x+1）=2x-5x-3；
2
（2y-3）（-11y+1）=-22y+35y-3．
双十字相乘法因式分解的步骤是：
（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；
（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第
一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
Word文档
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例1分解因式：
2
2
；
2
2
；
（1）x-3xy-10y
+x+9y-2
（2）x-y
+5x+3y+4
2
（3）xy+y+x-y-2；
2．求根法
n
n-1
x+a（n非整数）的代数式称关于
x的一元多式，并用
f（x），g（x），⋯等号表示，
形如ax+a
n-1
x+⋯+a
n
1
0
2
5
2
如f（x）=x-3x+2，g（x）=x+x+6，⋯，
当x=a，多式f（x）的用f（a）表示．如上面的多式f（x）
2
f
（1）=1-3×1+2=0；
2
f（-2）=（-2）-3×（-2）+2=12．
若f（a）=0，称a多式f（x）的一个根．
定理1（因式定理）若a是一元多式f（x）的根，即f（a）=0成立，多式f（x）有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多式f（x）的一次因式的关是求多式f（x）的根．于任意多式f（x），要求出它的根
是没有一般方法的，然而当多式f（x）的系数都是整数，即整系数多式，常用下面的定理来判定它是否
有有理根．
定理2
的根，必有p是a0的数，q是an的数．特地，当a0=1，整系数多式f（x）的整数根均an的数．
我根据上述定理，用求多式的根来确定多式的一次因式，从而多式行因式分解．
Word文档
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32
例2分解因式：
x-4x+6x-4．
4
3
2
．
例3分解因式：
9x-3x
+7x-3x-2
Word文档
.
3．待定系数法
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确
定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两
边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定
字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
2
2
．
例4分解因式：
x+3xy+2y
+4x+5y+3
4
3
2
．
例5分解因式：
x-2x-27x
-44x+7
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练习二
1．用双十字相乘法分解因式：
2
2
；
2
；
（1）x-8xy+15y
+2x-4y-3
（2）x-xy+2x+y-3
222
（3）3x-11xy+6y-xz-4yz-2z．
2．用求根法分解因式：
3
2
；
4
3
2
；
（1）x+x-10x-6
（2）x+3x-3x
-12x-4
432
（3）4x+4x-9x-x+2．
3．用待定系数法分解因式：
2
2
；
4
3
．
（1）2x+3xy-9y
+14x-3y+20
（2）x+5x
+15x-9
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.
初中数学因式分解
（二）
1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式
2
2
（ax+bxy+cy
+dx+ey+f），我们也可以用十
字相乘法分解因式．
例如，分解因式
2
2
．我们将上式按
x降幂排列，并把
y当作常数，于是上式可变形为
2x-7xy-22y
-5x+35y-3
2
2
，
2x-（5+7y）x-（22y
-35y+3）
可以看作是关于
x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于
y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
2
即：
-22y+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以，原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］
=（x+2y-3）（2x-11y+1）．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
22
（x+2y）（2x-11y）=2x-7xy-22y；
2
（x-3）（2x+1）=2x-5x-3；
2
（2y-3）（-11y+1）=-22y+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
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用双十字相乘法对多项式
2
2
进行因式分解的步骤是：
ax
+bxy+cy+dx+ey+f
（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；
（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的
ey，第
一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的
dx．
例1
分解因式：
2
2
；
（1）x-3xy-10y+x+9y-2
2
2
；
（2）x-y+5x+3y+4
2
（3）xy+y+x-y-2；
解
（1）
原式=（x-5y+2）（x+2y-1）．
（2）
原式=（x+y+1）（x-y+4）．
（3）原式中缺
2
项，可把这一项的系数看成
0来分解．
x
原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）．
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2．求根法
我把形如
n
n-1
x+a（n非整数）的代数式称关于
x的一元多式，并用f（x），g（x），⋯等号
ax+a
n-1
x+⋯+a
n
1
0
表示，如
2
5
2
f（x）=x-3x+2
，g（x）=x+x
+6，⋯，
当x=a
，多式f（x）的用f（a）表示．如上面的多式
f（x）
2
-3×1+2=0；
f
（1）=1
2
×（-2）+2=12
．
f（-2）=（-2）-3
若f（a）=0，称a多式f（x）的一个根．
定理1（因式定理）
若a是一元多式f（x）的根，即f（a）=0
成立，多式f（x）有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多式
f（x）的一次因式的关是求多式
f（x）的根．于任意多式f（x），要求出它的根
是没有一般方法的，然而当多式
f（x）的系数都是整数，即整系数多式，常用下面的定理来判定它是否
有有理根．
定理2
的根，必有p是a0的数，q是an的数．特地，当a0=1，整系数多式f（x）的整数根均an的数．
我根据上述定理，用求多式的根来确定多式的一次因式，从而多式行因式分解．
32
例2分解因式：
x-4x+6x-4．
分析是一个整系数一元多式，原式若有整数根，必是
-4的数，逐个-4的数：
±1，±2，±4，只有
3
2
+6×2-4=0，
f
（2）=2
-4×2
即x=2
是原式的一个根，所以根据定理
1，原式必有因式
x-2．
解法1
用分分解法，使每都有因式
（x-2）．
3
2
2
原式=（x
-2x
）-（2x-4x）+（2x-4）
2
=x（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）
2
=（x-2）（x-2x+2）．
解法2用多式除法，将原式除以（x-2），
所以
2
．
原式=（x-2）（x-2x+2）
明在上述解法中，特要注意的是多式的有理根一定是
-4的数，反之不成立，即
-4的数不一定是多
式的根．因此，必
-4的数逐个代入多式行．
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例3
4
3
2
．
分解因式：
9x-3x+7x-3x-2
分析
因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±
为：
2
所以，原式有因式9x-3x-2．
432
解9x-3x+7x-3x-2
4322
=9x-3x-2x+9x-3x-2
232
=x（9x-3x-2）+9x-3x-2
22
=（9x-3x-2）（x+1）
2
=（3x+1）（3x-2）（x+1）
说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
2
可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程．
总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式（x-a），那么f（x）就可以分解为（x-a）g（x），而g（x）是比f（x）
低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分解了．
3．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，
这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对
应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母
系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例4
2
2
．
分解因式：
x+3xy+2y
+4x+5y+3
分析
由于
2
2
，
（x+3xy+2y）=（x+2y）（x+y）
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是
x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出
m和
n，使问题得到解决．
解设
22
x+3xy+2y+4x+5y+3
=（x+2y+m）（x+y+n）
2
2
，
=x+3xy+2y
+（m+n）x+（m+2n）y+mn
比较两边对应项的系数，则有
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.
解之得m=3，n=1．所以
原式=（x+2y+3）（x+y+1）．
说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
例5
4
3
2
．
分解因式：
x-2x-27x-44x+7
分析
本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±
1，±7（7的约
数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为
22
（x+ax+b）（x+cx+d）的形式．
解设
22
原式=（x+ax+b）（x+cx+d）
432
=x+（a+c）x+（b+d+ac）x+（ad+bc）x+bd，
所以有
由bd=7，先考虑b=1，d=7有
所以
22
原式=（x-7x+1）（x+5x+7）．
说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无
法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
练习二
1．用双十字相乘法分解因式：
2
2
；
2
；
（1）x-8xy+15y
+2x-4y-3
（2）x-xy+2x+y-3
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.
222
（3）3x-11xy+6y-xz-4yz-2z．
2．用求根法分解因式：
3
2
；
4
3
2
；
（1）x+x-10x-6
（2）x+3x-3x
-12x-4
432
（3）4x+4x-9x-x+2．
3．用待定系数法分解因式：
2
2
；
4
3
．
（1）2x+3xy-9y
+14x-3y+20
（2）x+5x
+15x-9
Word文档
.
单纯的课本容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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