椭圆的手工画法及锥坡问题.docx

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椭圆的手工画法及锥坡问题

椭圆的长轴为AB,短轴为CD。

作图步骤如下:

（1）连接A、C,以O为圆心、OA为半径画弧,与CD的延长线交于点E,以C为圆心、CE为半径画弧,与AC交于点F;

（2）作AF的垂直平分线,与长短轴分别交于点O1、O2,再作对称点O3、O4;O1、O2、O3、O4即为四段圆弧的圆心;

（3）分别作圆心连线O1O4、O2O3、O3O4并延长;

（4）分别以O1、O3为圆心,O1A或O3B为半径画小圆弧K1AK和NBN1,分别以O2、O4为圆心,O2C或O4D为半径画大圆弧KCN和N1DK1（切点K、K1、N1、N分别位于相应的圆心连线上）,即完成近似椭圆的作图。

一、四心近似法（近似画法）

已知相互垂直且平分的椭圆长轴和短轴,则椭圆的近似画法（四心近似法）步骤如下所示:

第一步:

画出长轴AB和短轴CD,连接AC;

第二步:

在AC上截取CF,使其等于AO与CO之差CE;

第三步:

作AF的垂直平分线,使其分别交AO和OD（或其延长线）于O1和O2点。

以O为对称中心,找出O1的对称点O3及O2的对称点O4,此O1、O2、O3、O4各点即为所求的四圆心。

通过O2和O1、O2和O3、O4和O3各点,分别作连线;

第四步:

分别以O2和O4为圆心,O2C（或O4D）为半径画两弧。

再分别以O1和O3为圆心,O1A（或O3B）为半径画两弧,使所画四弧的接点分别位于O2O1、O2O3、O4O1和O4O3的延长线上,即得所求的椭圆

二、同心圆法（理论画法）

已知相互垂直且平分的椭圆长轴和短轴,则椭圆同心圆画法的步骤如下所示:

第一步:

以椭圆中心为圆心,分别以长、短轴长度为直径,作两个同心圆;

第二步:

过圆心作任意直线交大圆于1、2点,交小圆于3、4点,分别过1、2引垂直线,过3、4引水平线,它们的交点a、b即为椭圆上的点;

第三步:

按第二步的方法重复作图,求出椭圆上一系列的点;

第四步:

用曲线板光滑地连接诸点,即得所求的椭圆。

计算机辅助

椭圆锥坡的设计与施工放样方法

1.引言

开革开放以后国家大搞基础设施建设,大量的公路、铁路拔地而起,椭圆锥坡在公路铁路建设中屡见不鲜。

椭圆锥坡主要运用于公路铁路的防护工程,它通常出现在桥头与路基的搭接处,涵洞的进出口位置,路基挡墙与边坡的连接处。

近些年计算机技术取得了飞速发展,大量的工程软件运用于公路、铁路中,使公路、铁路中的设计施工劳动量大大减少。

然而关于椭圆锥坡的设计与施工放样也需要大量的运算,但介绍这方面的书籍、论文却很少,本文通过计算机编程来解决椭圆锥坡中设计、施工需要的大量运算。

本文所采用的程序语言为VisualBasic语言,编写平台为VisualBasic6.0,实践证明利用计算机编程可以大大提高椭圆锥坡的设计和施工放样的效率。

2.椭圆锥坡概述及其研究价值

如图1所示为一桥台与路基连接处的椭圆锥坡。

路基边坡填方坡度为1:

n,沿桥台的纵向坡度为1:

m。

椭圆锥坡其一端聚于一个公共顶点,而另一端（底脚）则与椭圆周上相对的点相连[1]。

由于两个坡度方向的投影不相等,因此锥坡底面为一椭圆。

图1椭圆锥坡

椭圆锥坡有其重要的研究价值,以下将介绍椭圆锥坡在公路铁路建设中的特殊意义。

桥台处设置锥坡可以使水流通畅、流量均布,保护桥台免受水流侵蚀,并且可以加固桥台、简化桥台构造从而降低桥梁造价。

如图2所示为一U型桥台[1],由于在桥台两侧布置了椭圆锥坡就可以平衡来自U型糟内填充物的侧向压力,从而使桥台受力更合理。

锥坡的存在还可以使U型桥台沿路堤前进方向减窄,从而节省了桥台的大量圬工体积。

在其他类型的桥台处布设椭圆锥坡能收到同样的力学和经济效果。

图2U型桥台处的锥坡（1-椭圆锥坡、2-U型桥台、3-路堤）涵洞的进出口位置放椭圆锥坡可以起到良好的导流作用。

如图3所示的八字流线型涵洞[1],进水口的椭圆锥坡可以促使水流的良好收缩,引导水流均匀平顺地流进涵洞,而在出水口设椭圆锥坡可以引导水流均匀扩散流向下游。

椭圆锥坡在进水口可以保护水流对岸坡地冲刷,在出水口可以防止水流的回旋、回流以及横流。

图3涵洞口处的椭圆锥坡（1—椭圆锥坡、P-P1锥坡切线、d-涵洞洞口直径）在路基设计中也经常出现布置椭圆锥坡的情况,如图4所示,为一段路基。

当填方路堤向设有路肩挡土墙的一边过渡时一般就要设置如图所示的椭圆锥坡,这样的椭圆锥坡起到过渡作用,很好的处理了路堤边坡向路肩挡土墙的连接,既美观又经济实用。

3.椭圆锥坡的设计及计算机程序

3.1正椭圆锥坡与斜椭圆锥坡

由于椭圆锥坡由一系例曲线构成,因此对椭圆锥坡的设计是个复杂的过程,对椭圆锥坡的设计应该从平面图、侧面图及正面图三个方面进行设计。

在对椭圆锥坡设计之前我们应该将其分为两类即正椭圆锥坡和斜椭圆锥坡（如图5所示）。

正椭圆锥坡的两个边界坡线在平面

上的投影正好是底面椭圆的长半轴和短半轴,而斜椭圆锥坡的两个边界坡的投影在正好是底面椭圆的两个共轭半径。

这种分法主要是由于桥梁与路基的连接方式不同造成的,当桥梁与路基平直的连接时,所设的锥坡即为正椭圆锥坡,但往往桥梁与路基不是平直的连接而有一定的斜交角,因此所构成的斜交椭圆锥随斜交角的不同而不同。

所以在桥梁中斜锥坡运用比较广泛,而由于涵洞一般都与路基正交,涵洞进出口的锥坡大多数都采用正椭圆锥坡,路基的连接部位一般都会选择在平直的部位因此在路基工程中一般会选择正椭圆锥坡作为连接物。

3.2椭圆锥坡的平面设计

对椭圆锥坡的平面设计其实就是对底面椭圆的确定,即确定底面椭圆与两临界边坡投影的关系。

两临界边坡必须满足以下三条原则[2]:

①设计最小坡度的要求（一般为1:

1）②锥坡与路基相连一侧的坡度必须与路基一致③锥坡底面要分别与路基边坡底线和桥台前缘平切。

因此只要我们知道设计最小稳定坡度、路基边坡、坡高及斜交角（正椭圆锥坡为90°）就可以确定底面椭圆的具体布置。

3.2.1正椭圆锥坡设计原理与计算机程序编写

正椭圆锥坡与路基连接的坡线在底面的投影就是椭圆的长半轴,而短半轴显然必须是最小坡度线的投影,如图6所示为一填方路基向设有路肩挡土墙的路基过渡其连接处为正椭圆锥坡。

椭圆的长半轴a=h×m,短半轴b=h×n,其中路基的坡度为1:

m,设计最小坡度为1:

n。

所以底面椭圆的方程为:

x2/m2+y2/n2=h2,与路基的的交界坡度线在水平面的投影即为椭圆的长半轴a,沿路肩挡土墙方向的坡线在水平面的投影即为短半轴b。

图6正椭圆锥坡的平面图

计算机程序代码如下:

PrivateSubCommand1_Click（）

'定义未知参数

DimmAsDouble,nAsDouble

DimhAsDouble

'定义所求的参数

DimaAsDouble,bAsDouble

'输入已知参数给文本框

m=Val（Text1.Text）

n=Val（Text2.Text）

h=Val（Text3.Text）

'计算椭圆长半轴和短半轴

a=m*h:

b=n*h

'将计算结果以文本框形式输出

Text4.Text=Str（a）

Text5.Text=Str（b）

EndSub

运行结果:

（输入路基边坡坡率m=1.5,最小设计坡率n=1.0,坡高h=8后运算结果如上图椭圆长半轴a=12短半轴b=8。

）

3.2.2斜椭圆锥坡设计原理与计算机程序编写

由于斜椭圆锥坡的两个临界半径在平面的投影正好是椭圆的一对共轭半径,所以在讨论斜椭圆锥坡的平面设计之前我们先来讨论一下椭圆共轭半径的性质。

利用平面解析几何的知

识我们可以将图7中的椭圆x2/a2+y2/b2=1看成圆x2+y2=a2经过X->x,Y->（a/b）y变换而来即在圆上x坐标不变y坐标向x轴压缩,压缩后椭圆上y轴坐标为先前圆上Y坐标的b/a。

如图所示经过变换Q点变为,P变到,又在圆上OP与OQ是两互相垂直的半径即OP⊥OQ,根据椭圆共轭半径的定义可知与为椭圆x2/a2+y2/b2=1的一对共轭半径[3]。

又椭圆共轭半径有××sinφ=a×b,2+2=a2+b2。

图7椭圆的共轭半径

斜椭圆锥坡与正椭圆锥坡的平面设计主要不同在于,底面的椭圆投影位置不同。

如图8所示的斜椭圆锥坡为一斜交桥台处的椭圆锥坡。

为了满足椭圆锥坡设计的三条原则,底面的椭圆必将是如图8所示的斜交椭圆。

椭圆的中心就是桥台的一个角点与路基路肩的交点在平面的投影,即点O,过O点做路基边坡底线的垂线OM⊥PQ,垂足为M。

又过点O,作ON的垂线OP⊥ON,OP与PQ交于点P。

再在直线PQ上,作P点关于M点的对称点Q,连接OQ,则Q点即为椭圆与路基边坡的切点。

因此在⊿OPQ中∠P=∠OQP=φ;又设路基边坡坡度为1:

m,最小设

计坡度为1:

n,坡高为h,则OM=mh,b=nh。

①

在RT⊿OQM中②

又OQ与ON共轭,所以=ab③;2+2=a2+b2④。

将①、②式分别代入③式,消掉b和可得a与的关系式:

⑤

将⑤式代入④式解得:

⑥

将⑥式代入⑤式解得:

⑦

以上推导已求出了平面上椭圆的长半轴a、短半轴b、与路基相连的坡度线投影、与桥台边缘连接坡度线投影,以下求解与a的夹角（即求OQ相对于椭圆长轴的偏角）

在图9中设Q点坐标为Q（x,y）则⑧;⑨

又因为Q点在椭圆上将⑧式和⑨式代入椭圆方程得:

化简得:

⑩所以

图9

综上:

通过已知参数路基边坡坡度系数（m）,最小设计坡度系数（n）,坡高（h）及斜交角（φ）可得斜椭圆锥坡的平面设计要素,即底面椭圆的各未知参数。

归纳如下:

椭圆的长半轴

椭圆的短半轴b=nh

两共轭半径

与路基相连坡度线投影与长轴的夹角

计算机程序代码:

PrivateSubCommand1_Click（）

DimpiAsDouble

pi=3.14159265

DimmAsDouble,nAsDouble

DimhAsDouble,uAsDouble

DimrAsDouble,tAsDouble

DimvAsDouble,pAsDouble

‘输入已知参数

m=Val（Text6.Text）

n=Val（Text7.Text）

h=Val（Text8.Text）

r=Val（Text9.Text）

u=r/180*pi

‘判断输入的参数是否越界

Ifm<0Orn<0Orh<0Orr<=0Then

p=MsgBox（"输入椭圆的各参数有误",vbOKCancel）

EndIf

DimaAsDouble,bAsDouble

Dima1AsDouble,b1AsDouble

‘计算未知参数

a1=m*h/Sin（u）

b1=h*Sqr（n^2/（m^2-n^2）*（m^2/Sin（u）^2-n^2））

a=m/n*b1

b=n*h

t=Atn（b/a*Sqr（（a^2-a1^2）/（a1^2-b^2）））

v=t/pi*180

‘输出计算结果

Text1.Text=Str（a）

Text2.Text=Str（b）

Text3.Text=Str（a1）

Text4.Text=Str（b1）

Text5.Text=St