整理的可用FFT原理及程序.docx
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整理的可用FFT原理及程序
FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。
有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。
这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。
另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。
现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。
采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此啰嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。
N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。
为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。
那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。
每一个点就对应着一个频率点。
这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。
具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？
假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。
而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。
而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。
例如某点n所表示的频率为：
Fn=（n-1）*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。
如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。
频率分辨率和采样时间是倒数关系。
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2（b,a）。
根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/（N/2）*cos（2*pi*Fn*t+Pn），即2*An/N*cos（2*pi*Fn*t+Pn）。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
下面以一个实际的信号来做说明。
假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。
用数学表达式就是如下：
S=2+3*cos（2*pi*50*t-pi*30/180）+1.5*cos（2*pi*75*t+pi*90/180）。
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=（n-1）*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。
我们的信号有3个频率：
0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第50个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。
实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。
我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点：
512+0i
2点：
-2.6195E-14-1.4162E-13i
3点：
-2.8586E-14-1.1898E-13i
50点：
-6.2076E-13-2.1713E-12i
51点：
332.55-192i
52点：
-1.6707E-12-1.5241E-12i
75点：
-2.2199E-13-1.0076E-12i
76点：
3.4315E-12+192i
77点：
-3.0263E-14+7.5609E-13i
很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。
分别计算这三个点的模值，结果如下：
1点：
512
51点：
384
76点：
192
按照公式，可以计算出直流分量为：
512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：
384/（N/2）=384/（256/2）=3；75Hz信号的幅度为192/（N/2）=192/（256/2）=1.5。
可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。
直流信号没有相位可言，不用管它。
先计算50Hz信号的相位，atan2（-192,332.55）=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*（-0.5236）/pi=-30.0001。
再计算75Hz信号的相位，atan2（192,3.4315E-12）=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。
可见，相位也是对的。
根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。
Ver1.0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
#include
#include
/*********************************************************************
快速福利叶变换C函数
函数简介：
此函数是通用的快速傅里叶变换C语言函数，移植性强，以下部分不依
赖硬件。
此函数采用联合体的形式表示一个复数，输入为自然顺序的复
数（输入实数是可令复数虚部为0），输出为经过FFT变换的自然顺序的
复数
使用说明：
使用此函数只需更改宏定义FFT_N的值即可实现点数的改变，FFT_N的
应该为2的N次方，不满足此条件时应在后面补0
函数调用：
FFT（s）;
作者：
吉帅虎
时间：
2010-2-20
版本：
Ver1.0
参考文献：
**********************************************************************/
#include
#definePI3.1415926535897932384626433832795028841971//定义圆周率值
#defineFFT_N128//定义福利叶变换的点数
structcompx{floatreal,imag;};//定义一个复数结构
structcompxs[FFT_N];//FFT输入和输出：
从S[1]开始存放，根据大小自己定义
/*******************************************************************
函数原型：
structcompxEE（structcompxb1,structcompxb2）
函数功能：
对两个复数进行乘法运算
输入参数：
两个以联合体定义的复数a,b
输出参数：
a和b的乘积，以联合体的形式输出
*******************************************************************/
structcompxEE（structcompxa,structcompxb）
{
structcompxc;
c.real=a.real*b.real-a.imag*b.imag;
c.imag=a.real*b.imag+a.imag*b.real;
return（c）;
}
/*****************************************************************
函数原型：
voidFFT（structcompx*xin,intN）
函数功能：
对输入的复数组进行快速傅里叶变换（FFT）
输入参数：
*xin复数结构体组的首地址指针，struct型
*****************************************************************/
voidFFT（structcompx*xin）
{
intf,m,nv2,nm1,i,k,l,j=0;
structcompxu,w,t;
nv2=FFT_N/2;//变址运算，即把自然顺序变成倒位序，采用雷德算法
nm1=FFT_N-1;
for（i=0;i{
if（i{
t=xin[j];
xin[j]=xin[i];
xin[i]=t;
}
k=nv2;//求j的下一个倒位序
while（k<=j）//如果k<=j,表示j的最高位为1
{
j=j-k;//把最高位变成0
k=k/2;//k/2，比较次高位，依次类推，逐个比较，直到某个位为0
}
j=j+k;//把0改为1
}
{
intle,lei,ip;//FFT运算核，使用蝶形运算完成FFT运算
f=FFT_N;
for（l=1;（f=f/2）!
=1;l++）//计算l的值，即计算蝶形级数
;
for（m=1;m<=l;m++）//控制蝶形结级数
{//m表示第m级蝶形，l为蝶形级总数l=log
（2）N
le=2<<（m-1）;//le蝶形结距离，即第m级蝶形的蝶形结相距le点
lei=le/2;//同一蝶形结中参加运算的两点的距离
u.real=1.0;//u为蝶形结运算系数，初始值为1
u.imag=0.0;
w.real=cos（PI/lei）;//w为系数商，即当前系数与前一个系数的商
w.imag=-sin（PI/lei）;
for（j=0;j<=lei-1;j++）//控制计算不同种蝶形结，即计算系数不同的蝶形结
{
for（i=j;i<=FFT_N-1;i=i+le）//控制同一蝶形结运算，即计算系数相同蝶形结
{
ip=i+lei;//i，ip分别表示参加蝶形运算的两个节点
t=EE（xin[ip],u）;//蝶形运算，详见公式
xin[ip].real=xin[i].real-t.real;
xin[ip].imag=xin[i].imag-t.imag;
xin[i].real=xin[i].real+t.real;
xin[i].imag=xin[i].imag+t.imag;
}
u=EE（u,w）;//改变系数，进行下一个蝶形运算
}
}
}
}
/************************************************************
函数原型：
voidmain（）
函数功能：
测试FFT变换，演示函数使用方法
输入参数：
无
输出参数：
无
************************************************************/
voidmain（）
{
inti;
for（i=0;i{
s[i].real=sin（2*3.141592653589793*i/FFT_N）;//实部为正弦波FFT_N点采样，赋值为1
s[i].imag=0;//虚部为0
}
FFT（s）;//进行快速福利叶变换
for（i=0;is[i].real=sqrt（s[i].real*s[i].real+s[i].imag*s[i].imag）;
while
（1）;
}
Ver1.1
#include
#include
/*********************************************************************
快速福利叶变换C程序包
函数简介：
此程序包是通用的快速傅里叶变换C语言函数，移植性强，以下部分不依
赖硬件。
此程序包采用联合体的形式表示一个复数，输入为自然顺序的复
数（输入实数是可令复数虚部为0），输出为经过FFT变换的自然顺序的
复数.此程序包可在初始化时调用create_sin_tab（）函数创建正弦函数表，
以后的可采用查表法计算耗时较多的sin和cos运算，加快可计算速度
使用说明：
使用此函数只需更改宏定义FFT_N的值即可实现点数的改变，FFT_N的
应该为2的N次方，不满足此条件时应在后面补0。
若使用查表法计算sin值和
cos值，应在调用FFT函数前调用create_sin_tab（）函数创建正弦表
函数调用：
FFT（s）;
作者：
吉帅虎
时间：
2010-2-20
版本：
Ver1.1
参考文献：
**********************************************************************/
#include
#defineFFT_N128//定义福利叶变换的点数
#definePI3.1415926535897932384626433832795028841971//定义圆周率值
structcompx{floatreal,imag;};//定义一个复数结构
structcompxs[FFT_N];//FFT输入和输出：
从S[0]开始存放，根据大小自己定义
floatSIN_TAB[FFT_N/2];//定义正弦表的存放空间
/*******************************************************************
函数原型：
structcompxEE（structcompxb1,structcompxb2）
函数功能：
对两个复数进行乘法运算
输入参数：
两个以联合体定义的复数a,b
输出参数：
a和b的乘积，以联合体的形式输出
*******************************************************************/
structcompxEE（structcompxa,structcompxb）
{
structcompxc;
c.real=a.real*b.real-a.imag*b.imag;
c.imag=a.real*b.imag+a.imag*b.real;
return（c）;
}
/******************************************************************
函数原型：
voidcreate_sin_tab（float*sin_t）
函数功能：
创建一个正弦采样表，采样点数与福利叶变换点数相同
输入参数：
*sin_t存放正弦表的数组指针
输出参数：
无
******************************************************************/
voidcreate_sin_tab（float*sin_t）
{
inti;
for（i=0;isin_t[i]=sin（2*PI*i/FFT_N）;
}
/******************************************************************
函数原型：
voidsin_tab（floatpi）
函数功能：
采用查表的方法计算一个数的正弦值
输入参数：
pi所要计算正弦值弧度值，范围0--2*PI，不满足时需要转换
输出参数：
输入值pi的正弦值
******************************************************************/
floatsin_tab（floatpi）
{
intn;
floata;
n=（int）（pi*FFT_N/2/PI）;
if（n>=0&&na=SIN_TAB[n];
elseif（n>=FFT_N/2&&na=-SIN_TAB[n-FFT_N/2];
returna;
}
/******************************************************************
函数原型：
voidcos_tab（floatpi）
函数功能：
采用查表的方法计算一个数的余弦值
输入参数：
pi所要计算余弦值弧度值，范围0--2*PI，不满足时需要转换
输出参数：
输入值pi的余弦值
******************************************************************/
floatcos_tab（floatpi）
{
floata,pi2;
pi2=pi+PI/2;
if（pi2>2*PI）
pi2-=2*PI;
a=sin_tab（pi2）;
returna;
}
/*****************************************************************
函数原型：
voidFFT（structcompx*xin,intN）
函数功能：
对输入的复数组进行快速傅里叶变换（FFT）
输入参数：
*xin复数结构体组的首地址指针，struct型
输出参数：
无
*****************************************************************/
voidFFT（structcompx*xin）
{
intf,m,nv2,nm1,i,k,l,j=0;
structcompxu,w,t;
nv2=FFT_N/2;//变址运算，即把自然顺序变成倒位序，采用雷德算法
nm1=FFT_N-1;
for（i=0;i{
if（i{
t=xin[j];
xin[j]=xin[i];
xin[i]=t;
}
k=nv2;//求j的下一个倒位序
while（k<=j）//如果k<=j,表示j的最高位为1
{
j=j-k;//把最高位变成0
k=k/2;//k/2，比较次高位，依次类推，逐个比较，直到某个位为0
}
j=j+k;//把0改为1
}
{
intle,lei,ip;//FFT运算核，使用蝶形运算完成FFT运算
f=FFT_N;
for（l=1;（f=f/2）!
=1;l++）//计算l的值，即计算蝶形级数
;
for（m=1;m<=l;m++）//控制蝶形结级数
{//m表示第m级蝶形，l为蝶形级总数l=log
（2）N
le=2<<（m-1）;//le蝶形结距离，即第m级蝶形的蝶形结相距le点
lei=le/2;//同一蝶形结中参加运算的两点的距离
u.real=1.0;//u为蝶形结运算系数，初始值为1
u.imag=0.0;
//w.real=cos（PI/lei）;//不适用查表法计算sin值和cos值
//w.imag=-sin（PI/lei）;
w.real=cos_tab（PI/lei）;//w为系数商，即当前系数与前一个系数的商
w.imag=-sin_tab（PI/lei）;
for（j=0;j<=lei-1;j++）//控制计算不同种蝶形结，即计算系数不同的蝶形结
{
for（i=j;i<=FFT_N-1;i=i+le）//控制同一蝶形结运算，即计算系数相同蝶形结
{
ip=i+lei;//i，ip分别表示参加蝶形运算的两个节点
t=EE（xin[ip],u）;//蝶形运算，详见公式
xin[ip].real=xin[i].real-t.real;
xin[ip].imag=xin[i].imag-t.imag;
xin[i].real=xin[i].real+t.real;
xin[i].imag=xin[i].imag+t.imag;
}
u=EE（u,w）;//改变系数，进行下一个蝶形运算
}
}
}
}
/************************************************************
函数原型：
voidmain（）
函数功能：
测试FFT变换，演示函数使用方法
输入参数：
无
输出参数：
无
************************************************************/
voidmain（）
{
inti;
create_sin_tab（SIN_TAB）;
for（i=0;i{
s[i].real=sin（2*3.141592653589793*i/FFT_N）;//实部为正弦波FFT_N点采样，赋值为1
s[i].imag=0;//虚部为0
}
FFT（s）;//进行快速福利叶变换
for（i=0;is[i].real=sqrt（s[i].real*s[i].real+s[i].imag*s[i].imag）;
while
（1）;
}
Ver1.2
#include
#include
/*********************************************************************
快速福利叶变换C程序包
函数简介：
此程序包是通用的快速傅里叶变换C语言函数，移植性强，以下部分不依
赖硬件。
此程序包采用联合体的形式表示一个复数，输入为自然顺序的复
数（输入实数是可令复数虚部为0），输出为经过FFT变换的自然顺序的
复数.此程序包可在初始化时调用create_sin_tab（）函数创建正弦函数表，
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