贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案.docx
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贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案
贝叶斯统计茆诗松版大部分课后习题答案
习题讲解
一、1,3,5,6,10,11,12,15
1.1记样本为x.
226pxC（0.1）*0.1*0.90.1488,,,,8
226pxC（0.2）*0.2*0.80.2936,,,,8
后验分布:
0.1488*0.7,,,0.10.5418x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，
0.2936*0.3,,,0.20.4582x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，
111233536,,,,,,,,,,,,,,,,,,mxpxdCdd（|）
（1）*2
（1）112
（1），，，，8,,,00015px（|），，,,,36,,,,,x840
（1）,01，，,,,,,mx，，
1.6
U（0,）,1.11由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布
1,,0,,x,,,px（）,,
0,其它,因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为Xxxx,（,,）123
1,,0,,,,xxx,,1233,pX（）,,
0,其它,
4,192/,4,,,又因为（）,,,,0,4,,,
所以，利用样本信息得
1192192,,,,,,,,,,,,,hXpXxxx（,）（）（）（8,0,,）123347,,,
，,，,192于是,,,,,mXhXdd（）（,）7,,88,
的后验分布为
76hX（,）192/68,,，（）X,,,,,7，,192mX（）,d,7,8,
6,68，,8,,,7（）X,,,,,
0,8,,,
1.12样本联合分布为:
1pxx,,,,,（）,0n,
,，1,,,,,,/,,00（）,,,,0,,,,,0
,,，，，，nn11,,,,,,,,,,,,（）（）（）/1/,max,,,xpxxx,,,,,,,0101n
，，n11/,因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto分布密度函数的核,
,，，，nn1,（）/,,,,,,，,n11即（）x,,,,0,,,,1,
即得证。
1.15
n,,xi,nnnx,,i,1样本的似然函数:
,1（）pxee,,,，，
,,,1,,,,（）e,,,,，，,
nnx，,,，1（）,,,参数的后验分布,,（）（）（）xpxe,,,,,,,
服从伽马分布，，Gannx,.，，,,
,0.0002,,,,
（2）4,20000.,,,,,,,2,0.0001,2,,,
二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,12
,tpte（）,,,2.2解:
由题意，变量t服从指数分布:
,tni,样本联合分布pTe（）,,,
,,,1,,,~（,）,0Gae,,E（）0.2,,Var（）1,,且，,,,,,,（）,
由伽玛分布性质知:
,0.2,,,,0.04,0.2,,,,,,,,1,2,,,
又已知n=20,t,3.8
nn
t,，,203.876nt，,，,,,20.04,76.2，所以,,ii,1i,1i由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布
,，,,,tt（）,,,,,nn,，,11,,ii（）（）（）tpTeee,,,,,,,,,,,
GantGa（,）（20.04,76.2）,,，，,即后验分布为,i
，n20.04,|TE（）0.263,,,,，t76.2,,i
1,,,IGantIGa（,）（20.04,76.2）,,，，,服从倒伽玛分布,i
，t,i,,||1TT,（）（）4.002EE,,,,,1，,n,
11Ga（11,4）2.3可以算出的后验分布为，的后验期望估计的后验方差为.,,16
2.5.n,36
,，1,,,,,,/,,002.7的先验分布为:
（）,,,,0,,,,,0令,,,max,,,xx,,101n
,，，，nn1,（）/,,,,,,，,n11可得后验分布为:
（）x,,,,0,,,,1,
（）,,，n1则的后验期望估计为:
，,Ex（）,,n，,1,2（）,,，n1Varx（）,后验方差为:
.,2
（1）
（2）nn，,，,,,
n12.8由可以得出,,,xGaIGa~（,）,~（,）22,
n12（）1n,,1x,2,22pxxex,,,（）,0n,（）2
,,,,，
（1）,,（）,0,,e,,,,,（）,
（1）的后验分布为:
x，2,n,,，，
（1）,22,,,,,,,（）（）（）xpxe,,
nx即为倒伽玛分布的核。
IGa（,），，,,22
nx所以的后验分布为,IGa（,），，,,22
x，,x2，,2
（2）后验均值为Ex（）,,,nn22，,,1，,,2
x2（），,2后验方差为Varx（）,,nn2
（1）
（2），,，,,,22
（3）样本分布函数为:
nnn,1，，n,xnn2i,,1
（2）,,2,,,12ipxpxxe（）（）,,,,ii,,,,n（/2）,,,11ii,,，，所以的后验分布为:
nx，2,i,2ni,1,,，，
（1）,22,,,,,,,（）（）（）xpxe,,
n
x,2in,1i（,），，,,IGa即为的核。
22
n1n21（）,n,,xni,,,1,2,,，
（1）n,,2,1i2,（xpxxee,,,,,,,,）（）（）[]*i,n,（）,,1i,（）2
（dx,,）,令0d,
即:
nnnn1，，22,,xxii,,222x，,2（）nnn,2i,,,11iin,,,,,,,,,121,,n,n,12i22222,,xee,,,，,[][
（1）*]0,,,i,2n,（）22,,,1i,（）2
n
xn,i,1i，2,x，,,i,,12i可得,,,MD22n，，22n,，，1,2
n
xn,i,1i，2,x，,,i,,12i而由公式得,,,E22n，,22n,，,1,2
因此，倒伽玛分布的这两个估计是不一样的，原因是它不对称。
xNN~（,1）,~（3,1）,,2.10解:
已知
2设的后验分布为N（,）,,,11
可得:
,,22x,,,，0,,122,,，,,0
111,，222,,,10
2,,1243，，2,,由已知得:
，,x,,30n33
333111，，，2,,？
,,,3,1131134，，
[30.51.96,30.51.96],，，，所以的95,的可信区间为:
[2.02,3.98]即为.
22xNIGa~0,,~,,,,,2.11已知，，，，
nn1,,22,可得的后验分布为,,IGax，，,,i,,22,1,,i
n12,，x,i2i,1ˆ后验均值为:
,En，,1,2
2n,,12,，x,i,,2i1,,,2Varx,后验方差为:
，，2nn,,,,，,，,12,,,,,,22,,,,
变换:
n11n,,2,,~,Gax，，,i,,222,,1,,i
n1,,n，，,,22,,,2~2，，x,i,,,,2,,2,,,,1，，i,,
n，，1,,22令:
Pxn,,,220.9，,，,，，,0.1i,,,,2,,1,,i，，
n22,，x,i2,1i,可得的0.9可信上限为.2n，2，，,,0.1
,，1,,,,,,/,,002.12,的先验分布为:
（）,,,,0,,,,,0
,,max,,,xx令,,101n
,，，，nn1,（）/,,,,,,，,n11可得后验分布为:
（）x,,,,0,,,,1,
设的可信上限为1,,,,U
U,,,,xd,,1则，，,,1
带入有:
U，，，nn1,,（）/1,,,,,，,,nd1,,1
，n,,1,,,，n,,U
1，n1,,,,,,,U1,,,,,
三、10,11,12,133.10解:
依题意
1x,,pxxexp,0,,,,，，,,,,,,
0.01,,,20.01exp,0,,,，，,,,,,,,,,
，,0.01x，,,,3则mxpxdd0.01exp,,,，，，，，，,,,,,,,,,,0,,,,
0.01,0x,,2x，0.01，，
该元件在时间之前失效的概率200:
2002000.01pmxdxdx,,,0.99995，，2,,00x0.01，，，
3.11:
解依题意
xi,,,iipxe,,，，iix!
i
,,,1i,,,,,e,0，，,,,,iii,，，,
xi,，,,,,1iii,,,,,,mxpxdeed,,，，，，，，iiiiiii,,,,,,,,0x!
，，i,,
,,,，x，，ix，i,,,，x1!
，，，，i,,nnn,,,，x，，,i,mxmx,,,,,，，，，,,ix，i,,ii,,11,，，，1!
x,，，,,i,,
3.12解:
超参数和的似然函数为,,
333,,,3,，,，,,，xf35，，，，，，，，，，,,,,,,,,iL,,,,其中,,，，,,338383x，，，,,,ii,1720，，，x1!
13!
5!
1，，，，，，，，，，,,，，，，,,,,,i，，，，
222f,，，，，1234.，，，，，，，，，，,,,,,,
由
L,,，，,,,0,,,,,,L,，，,,,,0,,,,
38,,,,,,,，1,,ff,3ln，，，，,,,,,,,,,,从而有:
38，,,,，，，，ff,3ln,,,,3,,,,
3,利用软件计算，可得，,,1.033599=0.3875996,,83.13证明:
泊松分布的期望和方差分别为
2,.,,,,,,,,，，，，
,1,,,,,，=,0e,，，,,,,,,,，，,
，,,,,,,,，,,ed，，m,,,,,,0,，，,,
x，22,,,,,，，，，EE,,，，，，，，，，,,,,,22，12，，,,,,2，，,,,,,,,,,,,,,，EE，，,,,,,，,，，，，m,,,,22，，,,,,,,,,,,,,,,,,
2，,，，，,,m2,,,,,利用样本矩代替边际分布的矩，列出如下方程:
,x,,,,,,,2,S,，2,,,,
2,,x,,,2,Sx,,,,x,,2,,Sx,,
四、1,4,8,9,10,11,12,15,16
4.4
15,6,7,8,9,10,5,6,7,8,9,10状态集行动集,,,,，，,,,,
2收益函数，，
5,10aa,,,,Qa,,,，，,6,5,,,aa,,,
收益矩阵
aaaaaa123456
252423222120,,1,,,2530292827262,,,
,2530353433323,Q,,,2530354039384,,,,,2530354045445,,,,,253035404550,,6,
3根据定义可知，最优a5行动是，即采摘朵鲜花，，1
4按折中准则:
，，
HQaQamax,1min,,,,,,,，,，，，，，，，，,,,,,,
H,25,，，,1,H246,，，，,,,2
H2312,，，，3,,,,H,，2218，，4,,,,H,，2124，，5,,,
H,，2030，，6,,,
105a当时，选择，每天摘朵鲜花,,1,6
1当时，选择，每天摘朵鲜花,,110a.66,4.8
La,1500，，13
购买8件.4.9
对于行动，其收益函数为a1
100,00.1,,,,
Q,,,30,0.10.2，，,,,
,,,50,0.21,,对于行动，其收益函数为a2Q,,,,,40,01，，
从而可得在和处的损失函数:
aa12
0,
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