第四章曲线运动 万有引力与航天第1讲 曲线运动 运动的合成与分解.docx

第四章曲线运动 万有引力与航天第1讲 曲线运动 运动的合成与分解.docx

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第四章曲线运动万有引力与航天第1讲曲线运动运动的合成与分解

第四章曲线运动　万有引力与航天

★★★考情微解读★★★

第1讲　曲线运动　运动的合成与分解

见学生用书P052

微知识1曲线运动

1．曲线运动的速度特点

质点做曲线运动时，在某一时刻的瞬时速度的方向就是通过这一点的切线方向，所以曲线运动一定是变速运动，但是变速运动不一定是曲线运动。

2．做曲线运动的条件

（1）从运动学角度说：

物体的加速度的方向跟它的速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动。

（2）从动力学角度说：

如果运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动。

特别提醒　注意区分物体做曲线运动的条件和物体做匀变速运动的条件，如果物体所受合力为恒力，且合力与速度方向不共线，则物体做匀变速曲线运动。

微知识2运动的合成与分解

1．分运动和合运动

一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动都是分运动，物体的实际运动就是合运动。

2．运动的合成

已知分运动求合运动，叫做运动的合成。

（1）同一条直线上的两分运动的合成：

同向相加，反向相减。

（2）不在同一条直线上的两分运动合成时，遵循平行四边形定则。

3．运动的分解

已知合运动求分运动，叫做运动的分解。

（1）运动的分解是运动的合成的逆过程。

（2）分解方法：

根据运动的实际效果分解或正交分解。

一、思维辨析（判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

）

1．曲线运动一定是变速运动。

（√）

2．做曲线运动的物体受到的合外力一定是变化的。

（×）

3．做曲线运动的物体所受的合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。

（√）

4．只要两分运动是直线运动，合运动一定是直线运动。

（×）

5．两分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。

（√）

6．合速度一定比分速度大。

（×）

二、对点微练

1．（曲线运动的性质）做曲线运动的物体（　　）

A．速度一定改变B．动能一定改变

C．加速度一定改变D．机械能一定改变

解析　物体做曲线运动时速度的方向一定变化，速度的大小不一定变化，A项正确；而动能是标量，大小与速度的平方成正比，与速度的方向无关，B项错误；若物体运动中所受合外力是恒力，则加速度不变，如平抛运动，C项错误；除重力外若物体不受其他外力或其他外力不做功，则其机械能不变，D项错误。

答案　A　

2．（物体做曲线运动条件的应用）如图所示能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系的是（　　）

解析　做曲线运动的物体其速度的方向在某点切线方向上，而加速度的方向即所受合外力的方向指向曲线的凹侧，故B、C、D项错，A项正确。

答案　A　

3．（运动的合成和分解）跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。

如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是（　　）

A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作

B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害

C．运动员下落时间与风力无关

D．运动员着地速度与风力无关

解析　水平风力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风力无关，A项错误，C项正确；运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，则运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，B、D项错误。

答案　C　

见学生用书P053

微考点　1　物体做曲线运动的条件及轨迹分析

核|心|微|讲

1．条件：

物体受到的合外力与初速度不共线。

2．合外力方向与轨迹的关系

物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。

3．速率变化情况判断

（1）当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。

（2）当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。

（3）当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

典|例|微|探

【例1】　如图所示，一质点在一恒力作用下做曲线运动，从M点运动到N点时，质点的速度方向恰好改变了90°。

在此过程中，质点的动能（　　）

A．不断增大B．不断减小

C．先减小后增大D．先增大后减小

【解题导思】

（1）由物体的运动轨迹能否判断出物体所受合外力的可能方向？

答：

能，做曲线运动的物体所受的合外力指向轨迹的凹侧，即指向右下方。

（2）合外力方向与速度方向的夹角如何变化？

答：

合外力开始与速度方向的夹角大于90°，物体做减速运动；后来夹角小于90°，物体做加速运动。

解析　质点受恒力F作用，M点的速度方向竖直向上，N点速度方向水平向右，所以F的方向斜向右下，与初速度方向的夹角为钝角，因此恒力F先做负功。

恒力与速度方向夹角不断减小，当夹角为锐角时，恒力做正功。

因此动能先减小后增大，C项正确。

答案　C

决定物体运动的两个因素：

一是初速度，二是合力，而物体运动的轨迹在合力与速度方向的夹角范围内，且弯向受力方向，这是分析该类问题的技巧。

题|组|微|练

1．（多选）一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用时，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后（　　）

A．一定做匀变速曲线运动

B．在相等时间内速度的变化一定相等

C．可能做匀速直线运动

D．可能做变加速曲线运动

解析　F1、F2为恒力，物体从静止开始做匀加速直线运动，F1突变后仍为恒力，合力仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，所以物体将做匀变速曲线运动，故A项对；由加速度的定义a＝

知，在相等时间Δt内Δv＝aΔt必相等，故B项对；做匀速直线运动的条件是F合＝0，所以物体不可能做匀速直线运动，故C项错；由于F1突变后，F1＋ΔF和F2的合力仍为恒力，故加速度不可能变化，故D项错。

答案　AB　

2.如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．质点经过C点的速率比D点的大

B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°

C．质点经过D点时的加速度比B点的大

D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小

解析　质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，C项错误；由于在D点速度方向与加速度方向垂直，则在A、B、C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，所以质点由A到B到C到D速率减小，所以C点速率比D点的大，A项正确，B项错误；质点由A到E的过程中，加速度方向与速度方向的夹角一直减小，D项错误。

答案　A　

微考点　2　运动的合成及运动性质的分析

核|心|微|讲

1．合运动和分运动的关系

（1）等时性：

各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等（不同时的运动不能合成）。

（2）独立性：

一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。

（3）等效性：

各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。

（4）同一性：

各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。

2．运动的合成与分解的运算法则：

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则。

典|例|微|探

【例2】　（多选）在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O（0,0）开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度－时间图象如图甲、乙所示，下列说法正确的是（　　）

A．前2s内物体沿x轴做匀加速直线运动

B．后2s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向

C．4s末物体坐标为（4m,4m）

D．4s末物体坐标为（6m,2m）

【解题导思】

（1）物体沿x轴和y轴方向的分运动的性质如何？

答：

物体在x轴方向在前2s内做匀加速直线运动，2s后做匀速直线运动；在y轴方向前2s静止，2s后做匀加速直线运动。

（2）物体的合运动的性质是直线运动吗？

答：

不是，前2s内沿x轴方向做匀加速直线运动，2s后做匀变速曲线运动。

解析　前2s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知只沿x轴方向做匀加速直线运动，A项正确；后2s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴方向，合运动是曲线运动，B项错误；4s内物体在x轴方向上的位移是x＝（

×2×2＋2×2）m＝6m，在y轴方向上的位移为y＝

×2×2m＝2m，所以4s末物体坐标为（6m，2m），D项正确，C项错误。

答案　AD

题|组|微|练

3．如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。

在船下水点A的下游距离为b处是瀑布。

为了使小船安全渡河（不掉到瀑布里去，且不考虑船在A对面的上游靠岸）（　　）

A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝

B．小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小，合速度最大，最大值为vmax＝

C．小船沿轨迹AB运动位移最大，船速最小值为vmin＝

D．小船沿轨迹AB运动位移最大，船速最小值为vmin＝

解析　当小船船头垂直河岸，渡河时间最短，最短时间为t＝

，故A项错误；小船轨迹沿y轴方向时，渡河位移最小，合速度不是最大，故B项错误；小船沿轨迹AB运动时，位移最大，船速与合速度垂直时最小，最小值为vmin＝

，故C错误，D正确。

答案　D　

4.如图所示，从上海飞往北京的波音737客机上午10点10分到达首都国际机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60m/s，竖直分速度为6m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前（　　）

A．飞机的运动轨迹为曲线

B．经20s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等

C．在第20s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等

D．飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s

解析　由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A项错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20s末的水平分速度为20m/s，竖直方向的分速度为2m/s，B项错误；飞机在第20s内，水平位移x＝

－

＝21m，竖直位移y＝

－

＝2.1m，C项错误；飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s，D项正确。

答案　D　

微考点　3　关联速度问题

核|心|微|讲

1．特点

用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。

2．常用的解题思路和方法

先确定合运动的方向（物体实际运动的方向），然后分析这个合运动所产生的实际效果（一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果）以确定两个分速度的方向（沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同）。

典|例|微|探

【例3】　如图所示，岸上的人通过定滑轮用绳子拖动小船靠岸，则当人匀速运动时，船的运动情况是（　　）

A．加速运动B．减速运动

C．匀速运动D．条件不足，不能判定

【解题导思】

（1）哪个运动是合运动？

答：

船对地的运动为合运动。

（2）将物体的运动沿哪两个方向分解？

答：

将船的运动沿绳方向和垂直绳的方向分解。

解析　如图所示，设人的速度为v人，船的速度为v船，拉动绳子的速度为v绳，某时刻绳与水平方向夹角为α，则

v人＝v绳，①

v绳＝v船cosα，②

由①②得v船＝

。

在拉动过程中，α越来越大，cosα不断减小，v船越来越大，即船做加速运动，故A项对，B、C、D均错。

答案　A

题|组|微|练

5.（多选）如图所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知（　　）

A．物体A做匀速运动

B．物体A做加速运动

C．物体A所受摩擦力逐渐增大

D．物体A所受摩擦力逐渐减小

解析　把A向左的速度v沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度为vcosα，B匀速下降，vcosα不变，而α角增大，cosα减小，则v增大，所以A做加速运动，B项正确，A项错误；由于A对地面的压力逐渐减小，所以物体A所受摩擦力逐渐减小，选D项正确，C项错误。

答案　BD　

6.如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与重物B相连，由于B的质量较大，在释放B后，A将沿杆上升，当A运动至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度vA≠0，B未落地，这时B的速度vB＝________。

解析　

环A沿细杆上升的过程中，任取一位置，此时绳与竖直方向的夹角为α。

将A的速度vA沿绳方向和垂直于绳的方向进行分解，如图所示，则v1＝vAcosα，B下落的速度vB＝v1＝vAcosα。

当环A上升至与定滑轮的连线处于水平位置时α＝90°，所以此时B的速度vB＝0。

答案　0

见学生用书P054

“小船渡河”模型

　素能培养

一条宽为L的河流，水流的速度为v1，船在静水中的速度为v2，船从河的一边渡到对岸。

船过河的过程同时参与了两种运动，即船相对于水的运动和随水流的运动，船的实际运动为合运动。

1．船过河的最短时间

如图甲所示，设船头斜向上游与河岸成θ角，船在垂直于河岸方向的速度为v⊥＝v2sinθ，渡河所需时间为t＝

＝

，当θ＝90°时，t最小。

所以当船头垂直于河岸渡河时，渡河所需时间最短，最短时间为t＝

。

2．船过河的最短航程

（1）当v2＞v1时，如图乙所示，为了使船过河的航程最短，必须使船的合速度v方向与河岸垂直，则船头指向上游，与河岸成一定的角度θ，cosθ＝

。

由于0＜cosθ＜1，因此只有在v2＞v1时，船才可以垂直河岸过河。

所以当v2＞v1时，船头与上游河岸成θ＝arccos

的角，船过河的航程最短，最短航程为L。

（2）当v2＜v1时，不论船头方向如何，船都会被冲向下游，不可能垂直河岸过河。

如图丙所示，设船头与上游河岸成θ角，合速度与下游河岸成α角。

由图可知：

α角越大，航程越短。

以v1的矢尖为圆心、以v2的大小为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，此时cosθ＝

。

所以当v2＜v1时，船头与上游河岸成θ＝arccos

的角，船过河的最短航程为

＝

L。

（3）当v2＝v1时，最短航程趋近于L。

　经典考题　一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s。

（1）若船在静水中的速度为v2＝5m/s，求：

①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？

用多长时间？

位移是多少？

②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？

用多长时间？

位移是多少？

（2）若船在静水中的速度v2＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？

用多长时间？

位移是多少？

解析　

（1）若v2＝5m/s，

①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。

当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5m/s。

t＝

＝

s＝36s。

v合＝

＝

m/s。

s＝v合t＝90

m。

②欲使船渡河航程最短，合运动应垂直河岸，船头应朝上游，与上游河岸方向夹角为α。

垂直河岸过河就要求v水平＝0，如图所示，有v2cosα＝v1得α＝60°，所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短。

s＝d＝180m，

t＝

＝

＝

s＝24

s。

（2）若v2＝1.5m/s，

与

（1）中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程s＝

。

欲使航程最短，需α最大，如图所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合与水平方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。

sinα＝

＝

＝

，解得α＝37°。

所以船头与上游河岸夹角为

90°－37°＝53°。

t＝

＝

＝

s＝150s。

v合＝v1cos37°＝2m/s。

s＝v合·t＝300m。

答案　

（1）①垂直河岸方向　36s　90

m

②与上游河岸夹角为60°　24

s　180m

（2）与上游河岸夹角为53°　150s　300m

【反思总结】

　对法对题

1.如图所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4m/s，则船从A点开出的最小速度为（　　）

A．2m/sB．2.4m/s

C．3m/sD．3.5m/s

解析　当船速方向与合速度方向垂直时，船速最小，为4×0.6m/s＝2.4m/s，故选项B正确。

答案　B　

2．如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变。

已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1。

由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2。

则（　　）

A．t2>t1，v2＝

B．t2>t1，v2＝

C．t2＝t1，v2＝

D．t2＝t1，v2＝

解析　设河宽为d，船自身的速度为v，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的分运动，过河时间t＝

，则t1＝t2；对合运动，过河时间t＝

＝

，故C项正确。

答案　C　

见学生用书P055

1．如图所示是α粒子（氦原子核）被重金属原子核散射的运动轨迹，M、N、P、Q是轨迹上的四点，在散射过程中可以认为重金属原子核静止不动。

图中所标出的α粒子在各点处的加速度方向正确的是（　　）

A．M点B．N点

C．P点D．Q点

解析　α粒子在散射过程中受到重金属原子核的库仑斥力作用，方向总是沿着二者连线且指向粒子轨迹弯曲的凹侧，其加速度方向与库仑力方向一致，故C项正确。

答案　C　

2．某人骑自行车以4m/s的速度向正东方向行驶，气象站报告当时是正北风，风速也是4m/s，则骑车人感觉的风速方向和大小分别是（　　）

A．西北风，风速4m/sB．西北风，风速4

m/s

C．东北风，风速4m/sD．东北风，风速4

m/s

解析　若无风，人以4m/s的速度向东行驶，则相当于人不动，风以4m/s的速度从东向西刮，而实际风从正北方以4m/s的速度刮来，所以人感觉到的风速应是这两个速度的合速度（如图所示）。

所以v合＝

＝

m/s＝4

m/s，风向为东北风，D项正确。

答案　D　

3.如图所示，细线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边缘。

现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（　　）

A．vsinθB．vcosθ

C．vtanθD.

解析　将光盘水平向右移动的速度v分解为沿细线方向的速度和垂直于细线方向的速度，而小球上升的速度大小与速度v沿细线方向的分速度大小相等，故可得v球＝vsinθ，A项正确。

答案　A　

4．如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，绕过两个滑轮后挂上重物M。

C点与O点距离为l。

现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平位置（转过了90°角），此过程中下述说法正确的是（　　）

A．重物M做匀速直线运动

B．重物M做匀变速直线运动

C．重物M的最大速度是ωl

D．重物M的速度先减小后增大

解析　由题知，C点的速度大小为vC＝ωl，设vC与绳之间的夹角为θ，把vC沿绳和垂直绳方向分解可得，v绳＝vCcosθ，在转动过程中θ先减小到零再反向增大，故v绳先增大后减小，重物M做变加速运动，其最大速度为ωl，C项正确。

答案　C