高三数学试题精选届高考数学导数在研究函数中的应用知识点复习测试题及答案.docx

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高三数学试题精选届高考数学导数在研究函数中的应用知识点复习测试题及答案

2018届高考数学导数在研究函数中的应用知识点复习测试题及答案

5c第2讲导数在研究函数中的应用

★知识梳理★

1函数的单调性与导数的关系

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内；如果，那么函数在这个区间内

解析单调递增；单调递减

2判别f（x0）是极大、极小值的方法

若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是

解析极大值点；极小值

3．解题规律技巧妙法总结求函数的极值的步骤

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）

（2）求方程f′（x）=0的根

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查

f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值

4．求函数最值的步骤

（1）求出在上的极值

（2）求出端点函数值

（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值

★重难点突破★

1重点熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法

2难点与参数相关单调性和极值最值问题

3重难点借助导数研究函数与不等式的综合问题

（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。

问题1设，．令，讨论在内的单调性并求极值；

点拨根据求导法则有，

故，于是，

2

减极小值

增

列表如下

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．

（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数

问题2已知函数是上的可导函数，若在时恒成立

（1）求证函数在上是增函数；

（2）求证当时，有

点拨由转化为为增函数是解答本题关键类似由

转化为为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的

（1）由得因为，

所以在时恒成立，所以函数在上是增函数

（2）由

（1）知函数在上是增函数，所以当时，

有成立，

从而

两式相加得

★热点考点题型探析★

考点1导数与函数的单调性

题型1讨论函数的单调性

例1（08广东高考）设，函数，，，试讨论函数的单调性．

【解题思路】先求导再解和

【解析】

对于，

当时，函数在上是增函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数；

对于，

当时，函数在上是减函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数。

【名师指引】解题规律技巧妙法总结求函数单调区间的一般步骤

（1）求函数的导数

（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论

[误区警示]求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为

题型2由单调性求参数的值或取值范围

例2若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围

【解题思路】解这类题时,通常令（函数在区间上递增）或

（函数在区间上递减）,得出恒成立的条,再利用处理不等式恒成立的方法获解

解析又在区间[－1,1]上单调递增

在[－1,1]上恒成立即在[－1,1]的最大值为

故的取值范围为

【名师指引】本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法

题型3借助单调性处理不等关系

例3当，求证

【解题思路】先移项,再证左边恒大于0

解析设函数

当时，，故在递增，当时，,又，，即，故

【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性证明

【新题导练】

1若函数f（x）=x3－ax2+1在（0,2）内单调递减，则实数a的取值范围是

Aa≥3Ba=2ca≤3D0a3

分析本题主要考查导数的应用利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围

解析f′（x）=3x2－2ax=3x（x－a）,由f（x）在（0，2）内单调递减，得3x（x－a）≤0,

即a≥2,∴a≥3答案A

2函数=x3+x的单调增区间为

A（－∞,+∞）B（0,+∞）c（－∞,0）D不存在

解析∵′=3x2+10恒成立，∴=x3+x在（－∞,+∞）上为增函数，没有减区间

答案A

3已知函数,,设．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；

解析（I），

∵，由，∴在上单调递增。

由，∴在上单调递减。

∴的单调递减区间为，单调递增区间为。

（II），

恒成立

当时，取得最大值。

∴，∴

考点2导数与函数的极值和最大（小）值

题型1利用导数求函数的极值和最大（小）值

例1若函数在处取得极值,则

【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值

[解析]因为可导,且,所以,解得经验证当时,函数在处取得极大值

【名师指引】若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条要确定极值点还需在左右判断单调性

例2．（---------------2分

因为函数在处的切线斜率为-3，

所以，即，------------------------3分

又得。

------------------------4分

（1）函数在时有极值，所以，-------5分

解得，------------------------------------------7分

所以．------------------------------------8分

（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数

在区间上的值恒大于或等于零，--------------------------------10分

则得，所以实数的取值范围为----14分

【名师指引】已知在处有极值，等价于。

【新题导练】

4．在区间上的最大值为，则=（）

ABcD或

解析选B

在上的最大值为，且在时，，解之或（舍去），选B

5．在区间上的最大值是

A．B．0c．2D．4

[解析]，令可得或（2舍去），当时，0，当时，0，所以当时，f（x）取得最大值为2选c

6．已知函数是上的奇函数，当时取得极值

（1）求的单调区间和极大值；

（2）证明对任意不等式恒成立

[解析]

（1）由奇函数定义，有即因此，

由条为的极值，必有

故,解得

因此

当时，，故在单调区间上是增函数

当时，，故在单调区间上是减函数

当时，，故在单调区间上是增函数

所以，在处取得极大值，极大值为

（2）由

（1）知，是减函数，且

在上的最大值为最小值为

所以，对任意恒有

[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题

★抢分频道★

基础巩固训练

1．（广东省六校2018届高三第二次联考试卷）

函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点共有（）

A．1个B．2个c．3个D．4个

解析观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A

2．、函数有（）

A极小值－1，极大值1B极小值－2，极大值3

c极小值－2，极大值2D极小值－1，极大值3

解析，令得

当时，；当时，；当，

时，，当，故选D

3．函数=f（x）=lnx－x,在区间（0,e］上的最大值为

A1－eB－1c－eD0

解析′=－1,令′=0,即x=1,在（0，e］上列表如下

x（0,1）1（1,e）e

′+0－

增函数极大值－1减函数1－e

由于f（e）=1－e,而－1＞1－e,从而最大=f

（1）=－1

答案B

4．（广东深圳外国语学校2018—2018学年高三第二次月考）若，求函数的单调区间

[解析]

（当a1时，对x∈（0，+∞）恒有0，∴当a1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；

5．（汕头市金中学2018届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？

若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。

解（x）=3ax2+6x－1要使f（x）在[0，4]递减，则当x∈（0，4）时，（x）0。

∴或，解得a≤－3

综合拔高训练

6．（东莞高级中学2018届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求证对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤4；

（Ⅲ）若过点A（1，）（≠－2）可作曲线=f（x）的三条切线，求实数的取值范围

解（I）f′（x）=3ax2+2bx－3，依题意，f′

（1）=f′（－1）=0，

即…………………………………………2分

解得a=1，b=0

∴f（x）=x3－3x……………………………………………………4分

（II）∵f（x）=x3－3x,∴f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1），

当－1x1时，f′（x）0，故f（x）在区间[－1，1]上为减函数，

fax（x）=f（－1）=2，fin（x）=f

（1）=－2……………………………………6分

∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f（x1）－f（x2）|≤|fax（x）－fin（x）|

|f（x1）－f（x2）|≤|fax（x）－fin（x）|=2－（－2）=4………………………………8分

（III）f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1），

∵曲线方程为=x3－3x，∴点A（1，）不在曲线上

设切点为（x0，0），则点的坐标满足

因，故切线的斜率为

，

整理得

∵过点A（1，）可作曲线的三条切线，

∴关于x0方程=0有三个实根……………………10分

设g（x0）=，则g′（x0）=6，

由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1

∴g（x0）在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减

∴函数g（x0）=的极值点为x0=0，x0=1………………12分

∴关于x0方程=0有三个实根的充要条是

，解得－3－2

故所求的实数a的取值范围是－3－2……………………14分

7．（广东省北江中学2018届高三上学期12月月考）

已知，其中是自然常数，

（Ⅰ）讨论时,的单调性、极值；

（Ⅱ）求证在（Ⅰ）的条下，;

（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由

解（Ⅰ），……1分

∴当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增……3分

∴的极小值为……4分

（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，

∴，……5分

令