高三数学试题精选届高考数学导数在研究函数中的应用知识点复习测试题及答案.docx

1、高三数学试题精选届高考数学导数在研究函数中的应用知识点复习测试题及答案2018届高考数学导数在研究函数中的应用知识点复习测试题及答案 5 c 第2讲 导数在研究函数中的应用 知 识 梳理 1函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内 ；如果 ，那么函数 在这个区间内 解析单调递增；单调递减2 判别f(x0)是极大、极小值的方法若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的 ， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是 解析极大值点

2、；极小值3解题规律技巧妙法总结 求函数的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程f(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值4求函数最值的步骤（1）求出 在 上的极值（2）求出端点函数值 （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值 重 难 点 突 破 1重点熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方

3、法2难点与参数相关单调性和极值最值问题3重难点借助导数研究函数与不等式的综合问题（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。问题1 设 ， 令 ，讨论 在 内的单调性并求极值；点拨根据求导法则有 ，故 ，于是 ，2 减极小值 增列表如下故知 在 内是减函数，在 内是增函数，所以，在 处取得极小值 （2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数问题2已知函数 是 上的可导函数，若 在 时恒成立（1）求证函数 在 上是增函数；（2）求证当 时，有 点拨由 转化为 为增函数是解答本题关键类似由转化为 为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的（

4、1）由 得 因为 ，所以 在 时恒成立，所以函数 在 上是增函数（2）由（1）知函数 在 上是增函数，所以当 时，有 成立，从而 两式相加得 热 点 考 点 题 型 探 析考点1 导数与函数的单调性题型1讨论函数的单调性例1(08广东高考)设 ，函数 ， ， ，试讨论函数 的单调性【解题思路】先求导再解 和 【解析】 对于 ，当 时，函数 在 上是增函数；当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数；对于 ，当 时，函数 在 上是减函数；当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数。【名师指引】解题规律技巧妙法总结 求函数单调区间的一般步骤（1）求函数 的导数 （2）令 解不等式，得 的范围就

5、是单调增区间;令 解不等式，得 的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论误区警示求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数 的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为 题型2由单调性求参数的值或取值范围例2 若 在区间1,1上单调递增，求 的取值范围【解题思路】解这类题时,通常令 (函数 在区间 上递增)或(函数 在区间 上递减),得出恒成立的条,再利用处理不等式恒成立的方法获解解析 又 在区间1,1上单调递增在1,1上恒成立 即 在 1,1的最大值为 故 的取值范围为 【名师指引】本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法题型3借助单调性处理不等关系例

6、3 当 ，求证 【解题思路】先移项,再证左边恒大于0解析设函数 当 时， ， 故 在 递增， 当 时， ,又 ， ，即 ，故 【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性证明【新题导练】1 若函数f(x)=x3ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是Aa3 Ba=2ca3D0 a 3分析本题主要考查导数的应用利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围解析f(x)=3x22ax=3x(x a),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(x a)0,即 a2,a3答案A2 函数=x3+x的单调增区间为A(,+)B(0,+)c(,0)D不存在

7、解析=3x2+1 0恒成立，=x3+x在(,+)上为增函数，没有减区间答案A3 已知函数 , ,设 （）求函数 的单调区间；（）若以函数 图像上任意一点 为切点的切线的斜率 恒成立，求实数 的最小值；解析（I） ， ，由 ， 在 上单调递增。 由 ， 在 上单调递减。 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。（II） ，恒成立 当 时， 取得最大值 。 ， 考点2 导数与函数的极值和最大(小)值题型1利用导数求函数的极值和最大(小)值例1 若函数 在 处取得极值,则 【解题思路】若在 附近的左侧 ，右侧 ，且 ,那么 是 的极大值；若在 附近的左侧 ，右侧 ，且 ,那么 是 的极小值解析因为 可

8、导,且 ,所以 ,解得 经验证当 时, 函数 在 处取得极大值【名师指引】 若 是可导函数，注意 是 为函数 极值点的必要条要确定极值点还需在 左右判断单调性例2（-2分因为函数 在 处的切线斜率为-3，所以 ，即 ，-3分又 得 。-4分（1）函数 在 时有极值，所以 ，-5分解得 ，-7分所以 -8分（2）因为函数 在区间 上单调递增，所以导函数 在区间 上的值恒大于或等于零，-10分则 得 ，所以实数 的取值范围为 -14分【名师指引】已知 在 处有极值，等价于 。【新题导练】4 在区间 上的最大值为 ，则 =（ ）A B c D 或 解析选B在 上的最大值为 ， 且在 时， ，解之 或

9、 （舍去）， 选B5 在区间 上的最大值是A B0 c2 D4解析 ，令 可得 或 （2舍去），当 时， 0，当 时， 0，所以当 时，f（x）取得最大值为2选c6已知函数 是 上的奇函数，当 时 取得极值 （1）求 的单调区间和极大值；（2）证明对任意 不等式 恒成立解析（1）由奇函数定义，有 即 因此， 由条 为 的极值，必有 故 ,解得 因此 当 时， ，故 在单调区间 上是增函数当 时， ，故 在单调区间 上是减函数当 时， ，故 在单调区间 上是增函数所以， 在 处取得极大值，极大值为 （2）由(1)知， 是减函数，且在 上的最大值为 最小值为 所以，对任意 恒有 方法技巧善于用函数

10、思想不等式问题,如本题 抢 分 频 道 基础巩固训练1（广东省六校2018届高三第二次联考试卷）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在 内有极小值 点共有（ ）A1个 B2个 c3个 D 4个 解析观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A2、函数 有（ ）A 极小值1，极大值1B 极小值2，极大值3c极小值2，极大值2D 极小值1，极大值3解析 ，令 得 当 时， ；当 时， ；当 ， 时， ，当 ，故选D3函数=f(x)=lnxx,在区间(0,e上的最大值为A1eB1ceD0解析= 1,令=0,即x=1,在(0，e上列表如下x(0,1)1(1,e)e+0增函数极大

11、值1减函数1e由于f(e)=1e,而11e,从而 最大=f(1)=1答案B4(广东深圳外国语学校20182018学年高三第二次月考)若 ，求函数 的单调区间解析 （当a 1时，对x（0，+）恒有 0， 当a 1时，f(x)在（0，+）上为增函数；5（汕头市金中学2018届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。解 （x）=3ax2+6x1 要使f（x）在0，4递减，则当x（0，4）时， （x） 0。 或 ，解得a3综合拔高训练6（东莞高级中学2018届高三上学期11月教学监控测

12、试）已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值 （）求函数f(x)的解析式； （）求证对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，）（2）可作曲线=f(x)的三条切线，求实数的取值范围解（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即 2分 解得a=1，b=0 f(x)=x33x4分 （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1 x 1时，f(x) 0，故f(x)在区间1，1上为减函数，fax(x)=f(1)=2，fin(x)=f(1)=26分对于区间1，1上任意两个自变量的

13、值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fax(x) fin(x)|f(x1)f(x2)|fax(x)fin(x)|=2(2)=48分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为=x33x，点A（1，）不在曲线上设切点为（x0，0），则点的坐标满足 因 ，故切线的斜率为，整理得 过点A（1，）可作曲线的三条切线，关于x0方程 =0有三个实根10分设g(x 0)= ，则g(x0)=6 ，由g(x0)=0，得x0=0或x0 =1g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=112分关于x0方程 =0有三个实根的充要条是，解得3 2故所求的实数a的取值范围是3 214分7（广东省北江中学2018届高三上学期12月月考 ）已知 ，其中 是自然常数， （）讨论 时, 的单调性、极值；（）求证在（）的条下， ;（）是否存在实数 ，使 的最小值是3，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由解（） ， 1分当 时， ，此时 单调递减当 时， ，此时 单调递增 3分 的极小值为 4分（） 的极小值为1，即 在 上的最小值为1， ， 5分令