完整版专题三导数与三次函数.docx
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完整版专题三导数与三次函数
专题三导数与三次函数
三次函数fxax3bx2exd（a、b、c、dR且a0）是中学数
学利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、导数等相关知识，完善知识结构，又能体会其中蕴涵的数学思想方法。
近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数的取值范围的探究等函数性质，凸显“在知识网络交汇点上”命题的理念。
例1、已知函数fxx33x
⑴求函数fx的单调区间及极值；⑵求fx在0,3上的最值。
解：
令fx3x230x,1,x21
x、fx、fx的变化情况如下表
x
1
-1
（-1,1）
1
1,
fx
+
0
—
0
+
fx
/
极大值
、
极小值
•••fx的单调递增区间是，1和1,
fx的单调递减区间是1,1
3
当x1时，fx有极大值f11312
当x1时，fx有极小值f113312
⑵f00，f3333318
vfx在0,3上只有一个极值点f12
•••fx在0,3上的最小值为一2,最大值为18
变式一、已知函数fxx33x23x，其他不变
解：
fx3x26x33x120
•••fX在，单调递增，fx没有极值
fx在0,3上的最小值为f00，最大值为f363
变式二、已知函数fxx3x23x;其他不变
解：
fx3x22x3
2
△2433200
•fx0没有实数根•fx0在R上恒成立
•-fx在，上单调递增，fx没有极值
fx在0,3上的最小值为f00，最大值为f345
变式三、已知函数力t,yx33x,实数t为何值时，函数力与y的图象的交点有一个、二个、三个？
解：
由例1画出函数y2的大致图象如图，观察图象，可得
解：
令fx3x230Xi1,X21
x、fx、f（x）的变化情况如下表
X
1
-1
（
1,1）
1
1,
f
X
+
0
—
0
+
f（x
）/
极大值
极小值
/
f（X）的单调递减区间是1,1
当X1时，fX有极大值f
当X1时，fX有极小值f1
要使f（X）有一个零点，需且只需要使f（X）有二个零点，需且只需要使f（X）有三个零点，需且只需
3
1131aa2
1331aa2
a20，解得a2
a20
a20，解得a2
a20
a20，解得2a2
a20
f（x）的单调递增区间是，1和1,
变式五、已知函数fxX33X,a0，如果过点Aa,2可作曲线yfx的
三条切线，求a的取值范围
解：
设切点为x0,y0，则fx3x23
•••切线方程yy0fx0xx0即y3x^3x2x0^
•••切线过点Aa,2•23xo3a2x3
即2x33ax23a20
设gxo2x；3axo3a2，则gx6x06ax°6x°x°a
当X。
变化时，gxo、gxo的变化情况如下表
Xo,0
00,a
a
a,
gXo+
0-
0
+
gXo产
极大值
3a2'
极小值
a33a2
/
由单调性知：
①若极大值
3a20或极小值a3
3a20，方程g
x00只
有一个实数根；②若3a20或a33a20，方程gx。
0只有两个相异
的实数根，综上，要使方程gxo0有三个相异的实根，须且只须
①若a
2a0
a1时，函数fx的图象与x有且只有一个交点。
…％x22
则12
XjX2a
x0有两个不相等的实根，不妨设为人、X2且人X2，
当X变化时，fX、fX的取值变化情况如下表
X
X1
X1
X1,X2
X2
X2,
fX
+
0
一
0
+
fX
/J
极大值
fN
xl
极小值
fx2
/J
22
x12x1a0/.ax12x1
131
x1a2x1x1x13a2
33
12
同理fx2x2x23a2
aga23a2
9
3
1
2
2
9
X-IX2X-I
3a
2x23a
2
1
2
2
22
-X]X2
x1x2
3a2X1
x29a2
9
X1gfX2
2
2x^2
X1
X2
9a
-aa23a3
9
令f咅gfx20，解得a0
当0a1时，f0a0,f32a•••当0a1时，函数fx的图象与x轴有且只有一个交点
•fx的大致图象如图所示：
综上所述，a的取值范围是0,
综合练习题
1、已知函数fxax3bx2ex在点xo处取得极大值5,其导函数yfx的
图象经过点1,0，2,0;如图所示，
求：
⑴xo的值；
⑵a、b、e的值。
（2006北京）
解：
⑴由数形结合可知
当1x2时，fx0;
•••fx在1,2上递减
当x1或x2,fx0,
•••fx在,1和2,上递增
•••当xX。
1时，fX有极大值
⑵解法一、
f
x
3ax22bxe
f
13a2be0
由已知，
得
f
212a4be0
f
1abe5
a2
解得b9
e12
解法二、由数形结合可设
fx
mx1
2
x2mx3mx2m
又f
2
x3ax
2bxe
m
--a——
3
2、若函数
3m
2
2
9,c2m12
1axa
2
1x1在区域
1,4内为减函数，在区间
2m5
fxx
2
ax
a1
令fx
0解得
x11，
x2a
i1
①当a1
1即a
2时，
fx
在1,
上为增函数，不合题意
②当a1
1即a
2时，
函数
fx在
1上为增函数，在
减函数，在；
a1,
上为增函数，
依题意应有：
当x
1,4时,
fx
0，
当x6,
时，fx0
所以4
a1
6，解得5
a7
综上，
a的取值范围是
5,7
上为增函数，试求实数
（2004全国卷）
6,
解:
1,a1内为
a的取值范围。
3、已知函数fxax3bx23x在x1处取得极值,
⑴讨论f1和f1是函数fx的极大值还是极小值;
⑵过点A0,16作曲线yfx的切线，求此切线方程。
（2004天津）
Q
解：
⑴fx3ax2bx3，依题意有
a13
解得fxx3x
b0
fx3x233x1x1
令fx0得x11，x21
若x,1U1,，贝Ufx0
•fx的单调递增区间为,1和1,
若x1,1，贝Ufx0
•fx的单调递减区间为1,1
所以，f12是极大值，f12是极小值
⑵曲线方程为yx33x，点A0,16不在曲线上，
设切点为Mx0,y0，贝点M的坐标满足y0x03
因fx03x021，故切线方程为yy03x02
•••点A在切线上
•16x033x03x0210x0
解得x02
•切点为2,2，切线方程为9xy160
变式：
若第⑵小题A0,16改为1,2，其他不变。
3x0
1xx0
32
2xo3xo10
2
x012x010
Xo1或x°
⑴求a、b的值及函数fx的单调区间;
⑵若对x1,2，不等式fxc2恒成立，求c的取值范围。
（2006江西）
解：
⑴fx3x22axb，依题意，得
r212
4
1
f
a
b0a
39
3
，解得a
2
f132a
b
0
b
2
fx3x2
x
2
3x2x1
x变化时，fX、fx的变化情况如下表
x
2
J
3
2
3
i'1
11,
x
+
0
一
0+
x
极大值
、
极小值
所以f
x的递增区间为，
2与
1,
2
，递减区间为-,1
3
3
⑵fx
312_
xx2x
c，x
1,2
222
当x-时，fx-c为极大值，而f22c
2c为最大值
要使fxc,x1,2恒成立
只须c2f22c
解得c1或c2
思考：
若x1,2变为x1,2,c的取值范围怎样？
4、已知函数fxax3cxda0是R上的奇函数，当x1时，fx取得
极值2，⑴求fx的单调区间和极大值；⑵证明：
对任意x1，x21,1，
不等式fx,fx24恒成立。
⑴解：
由奇函数的定义，应有fxfx，xR
即ax3cxdax2cxd
•••d0
注意：
可用f00d0
因此，fxaxcx
由条件f12为fx的极值，得
f1
0阳3ac
0
即
f1
2ac
2
解得a
1，c3
•••fx
x33xf
2
x3x33x1x1
f1
f10
当x
1时，fx
0，故fx在单调区间，
1上为增函数
当x
1,1时，fx
0，故fx在单调区间1,1
上为减函数
当x
1,时，fx
0，故fx在单调区间1,
上为增函数
所以fx在x1处取得极大值，极大值为f12
⑵证明：
由⑴知，fxx33x,x1,1是减函数
且fx在1,1上的最大值为Mf12
fx在1,1上的最小值为Nf12
J
内有极
.值点，求
衣c的取值
范围
。
（2
004湖北）
⑴依题意，令
f
x
gx，得
2x
b1
1bx
2
由f
1b
g
11
b，得b
2
1
4c
2
2
Vb
1,c
0
b
1
2匸
⑵Fx
fx
gg
x
x32bx2
b2
cx
bc
•••F
x3x2
4bx
b2c
令F
x0
即
3x：
24bxb2
c
0
则厶
16b2
12
b2
c4b2
3c
①若
0，则
F
x
0有一实根上，
且x
变化时，Fx的变化如下
相切。
⑴求b与c的关系式（用c表示b）;⑵设函数F
x
Xo
解:
xfxggx在
②若0，则Fx
0有两个不等的实根为,
x?
X1X2
x变化时，fx的变化如下
x
X1
x1x1,x2
x2x2,
fx
+
0-
0+
由此，x
x,是函数F
x的极大值点，x
X2是函数Fx的极小值点
综上所述，
当且仅当
0时，函数Fx
在，上有极值点
由4b23c0,得
b.3c或b.3c
vb12.C
•••12jc/3c或12、,cJ3c
解得0c74-一3或c74.3
故所求c的取值范围是0,74乜U74,3,
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