112 集合的表示方法.docx
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112集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换．
知识点一 列举法
思考 要研究集合，或在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？
答案 把它们一一列举出来．
梳理 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号“{}”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法．
知识点二 描述法
思考 能用列举法表示所有大于1的实数吗？
如果不能，又该怎样表示？
答案 不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征（如都大于1）来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．
梳理 1.集合的特征性质
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有性质p（x），则性质p（x）叫做集合A的一个特征性质．
2．特征性质描述法
集合A可以用它的特征性质p（x）描述为{x∈I|p（x）}，它表示集合A是由集合I中具有性质p（x）的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．
1.
＝1.（ × ）
2.
＝
.（ × ）
3.
＝
.（ √ ）
4.
＝
.（ √ ）
类型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合．
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
解
（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
（2）设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}．
反思与感悟
（1）集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．
（2）列举法表示的集合的种类：
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：
自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合．
（1）由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
（2）由1～20以内的所有素数组成的集合．
解
（1）满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
（2）设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
类型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合．
（1）方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合．
解
（1）设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
（2）设大于10小于20的整数为x，
它满足条件x∈Z，且10因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10引申探究
函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合用描述法可表示为________．
答案 {（x，y）|y＝x2－2}
反思与感悟 用描述法表示集合时应注意的四点
（1）写清楚该集合中元素的代号．
（2）说明该集合中元素的性质．
（3）所有描述的内容都可写在集合符号内．
（4）在描述法的一般形式{x∈I|p（x）}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p（x）”是集合中元素x的共同特征性质，竖线不可省略．
跟踪训练2 用描述法表示下列集合．
（1）方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
（2）二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
解
（1）方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为（x－2）2＋（y＋3）2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{（x，y）|x＝2，y＝－3}．
（2）“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{（x，y）|y＝x2－10}．
类型三 集合表示的综合应用
命题角度1 选择适当的方法表示集合
例3 用适当的方法表示下列集合．
（1）由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
（2）抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
（3）直线y＝x上去掉原点的点的集合．
解
（1）列举法：
{0,2,4}（或描述法：
{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}）．
（2）列举法：
{（0,0），（2,0）}．
（3）描述法：
{（x，y）|y＝x，x≠0}．
反思与感悟 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.
答案 {2000,2001,2004}
解析 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2000的值为2000,2001,2004，所以B＝{2000,2001,2004}．
命题角度2 新定义的集合
例4 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝
，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2016∈[1]；
②－3∈[3]；
③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示与余数有关的整数集合
答案 C
解析 由于[k]＝
，对于①，2016除以5等于403余1，∴2016∈[1]，∴①正确；
对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；
对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5（n1－n2）能被5整除，∴a－b∈[0]，
∴③正确；
对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，
则a＝5n＋5m＋k＝5（m＋n）＋k，m∈Z，n∈Z，
∴a，b属于同一“类”，∴④正确，
则正确的有①③④，共3个．
反思与感悟 命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．
跟踪训练4 定义集合运算：
A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________．
答案 6
解析 由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为（ ）
A．{1,1}B．{1}
C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}
答案 B
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是（ ）
A．{1，－2}B．{x＝1，y＝－2}
C．{（－2,1）}D．{（1，－2）}
答案 D
3．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是（ ）
A．6∈AB．0∈A
C．3∉AD．3.5∉A
答案 D
4．第一象限的点组成的集合可以表示为（ ）
A．{（x，y）|xy>0}
B．{（x，y）|xy≥0}
C．{（x，y）|x>0且y>0}
D．{（x，y）|x>0或y>0}
答案 C
5．已知A＝
，用列举法表示为A＝______________.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案
1．在用列举法表示集合时应注意
（1）元素间用分隔号“，”．
（2）元素不重复．（3）元素无顺序．（4）列举法可表示有限集，也可表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意
（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、是有序实数对（点）、还是集合或其他形式．
（2）当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真（元素具有怎样的属性），而不能被表面的字母形式所迷惑．
课时对点练
一、选择题
1．方程组
的解集不可以表示为（ ）
A.
B.
C．{1,2}
D．{（1,2）}
答案 C
解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C不符合．
2．集合A＝{x∈Z|－2A．1B．2
C．3D．4
答案 D
解析 因为A＝{x∈Z|－23．集合{（x，y）|y＝2x－1}表示（ ）
A．方程y＝2x－1
B．点（x，y）
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
答案 D
解析 集合{（x，y）|y＝2x－1}的代表元素是（x，y），x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝
为（ ）
A．{0,3}B．{1,3}
C．{－1,3}D．{1，－3}
答案 C
解析 当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋（－1）＋（－1）＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
5．下列选项中，集合M，N元素相同的是（ ）
A．M＝{3,2}，N＝{2,3}
B．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}
C．M＝{3,2}，N＝{（3,2）}
D．M＝{（x，y）|x＝3且y＝2}，N＝{（x，y）|x＝3或y＝2}
答案 A
解析 元素具有无序性，A正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B选项两集合中的元素不同；C选项中集合M中的元素是两个数，N中的元素是一个点，不相同；D选项中集合M中元素是一个点（3,2），而N中元素是两条直线x＝3和y＝2上所有的点，不相同．
6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 D
解析 对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，
恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.
二、填空题
7．方程x2－5x＋6＝0的解集可表示为______．
答案 {2,3}
解析 易知方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或3，则方程解集为{2,3}．
8．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．
答案 {1}
解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
答案 3
解析 根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{（1,1），（1,2），（2,1）}，有3个元素．
10．定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若集合A＝{x|2x＋1>0}，集合B＝
，则集合A－B＝________.
答案 {x|x≥2}
解析 A＝
，B＝{x|x<2}，
A－B＝
＝{x|x≥2}．
三、解答题
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{（x，y）|y＝x2＋3}，它们三个集合中元素相同吗？
试说明理由．
解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，
所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是（x，y），这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合；
（2）24的所有正因数组成的集合；
（3）平面直角坐标系内与两坐标轴的距离相等的点组成的集合．
解
（1）用描述法表示为{x|2（2）用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
（3）在平面直角坐标系内，点（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{（x，y）||y|＝|x|}．
13．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义：
集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.
解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{x|x＝3m，m∈N＋}，B＝{x|x＝3m－1，m∈N＋}，C＝{x|x＝3m－2，m∈N＋}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是（ ）
A．2018＝a＋b＋cB．2018＝abc
C．2018＝a＋bcD．2018＝a（b＋c）
答案 C
解析 由于2018＝3×673－1，不能被3整除，
而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3（m1＋m2＋m3－1）不满足；
abc＝3m1（3m2－1）（3m3－2）不满足；
a＋bc＝3m1＋（3m2－1）（3m3－2）＝3m－1适合；
a（b＋c）＝3m1（3m2－1＋3m3－2）不满足．
故选C.
15．设A表示集合{2,3，a2＋2a－3}，B表示集合{|a＋3|,2}，若5∈A，且5∉B，求实数a的值．
解 ∵5∈A，且5∉B，∴
即
解得a＝－4.
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