a小学数学奥赛5133数阵图三教师版.docx
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a小学数学奥赛5133数阵图三教师版
1.了解数阵图的种类
2.学会一些解决数阵图的解题方法
3.能够解决和数论相关的数阵图问题
知识点拨
、数阵图定义及分类:
1.定义:
把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.
2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:
即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
3.
二、解题方法:
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手:
第一步:
区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);
第二步:
在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:
运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.
例题精讲
数阵图与数论
例1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内,使得五条线上的数字和构成一个等差数列,而且这个等差
关键词】迎春杯,三年级,初赛,第8题
解析】设顶点分别为A、B、C、D、E,有45+A+B+C+D+E=55,所以A+B+C+D+E=10,所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数(即边上的)为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1,公差为d.利用求和公式5(a1+a1+4d)2=55,得a1+2d=11,故大于等于0+1+5=6,且为奇数,只能取7、9或11,而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况,公差分别为2、1、0.
答案】2种可能
例2】将1~9填入下图的○中,使得任意两个相邻的数之和都不是3,5,7的倍数.
解析】根据题意可知1的两边只能是3与7;2的两边只能是6与9;3的两边只能是1、5或8;4的两边只能是7与9.可以先将3—1—7--写出来,接下来7的后面只能是4,4的后面只能是9,9的后面只能是2,2的后面只能是6,可得:
3—1—7—4—9—2—6--,还剩下5和8两个数.由于6814是7的倍数,所以接下来应该是5,这样可得:
3—1—7—4—9—2—6—5—8—3.检验可知这样的填法符合题意.
答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3
例3】在下面8个圆圈中分别填数字l,2,3,4,5,6,7,8(1已填出).从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈,这个圆圈中若填n(n≤8。
)则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈.依此下去,走7次恰好不重复地进入每个圆圈,最后进入的一个圆圈中写8.请给出两种填法.
考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空
关键词】走美杯,5年级,决赛,第12题,15分
解析】按顺时针方向:
1,2,5,3,8,7,4,6或1,5,2,4,8,6,7,3或1,6,2,3,8,5,7,4或1,6,4,2,8,7,5,3(答对任一种给6分,总得分不超过12)由于无论如何填8都是最后一个填写,而填之前,已经走过了28步,因为28÷8=3余4,即8永远只能在最底下的圆圈里。
顺推:
试算,从1到8顺序填写发现可以,此时从1顺时针为1、2、5、3、8、7、4、6;逆推:
8前面的一个填有2、3、5、6、7共5种可能。
假设为2,如上图,再往前一个数有3、4、5、7共4种可能,设为3,再前推一个
数可能是4或6,设为4,⋯依次类并排除错误的选择,可得1、5、2、4、8、6、7、3。
答案】1、5、2、4、8、6、7、3。
例4】在圆的5条直径的两端分别写着1~10(如图)。
现在请你调整一部分数的位置,但保留1、10、5、
6不动,使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和(画在另一个圆上)。
关键词】走美杯,五年级,初赛,第4题
解析】共6种
答案】
考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空关键词】希望杯,六年级,二试,第18题,10分
解析】图中共有4个不同的数,每个数除以3的余数只可能有0、1、2三种,根据抽屉原理可知,这4个数中必然至少存在一对同余的数,那么这两个数的差必然为3的倍数,故不存在这样的填法。
答案】不存在这样的填法
例7】如图ABC被分成四个小三角形,请在每个小三角形里各填入一个数,满足下面两个要求:
(1)任
何两个有公共边的三角形里的数都互为倒数(如:
2和3是互为倒数);
(2)四个小三角形里的数字的
32乘积等于225。
则中问小三角形里的数是
考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空关键词】希望杯,六年级,初赛,第3题,6分
解析】四个小三角形共三对相邻三角形,这三对的积都是1,所以将这三对数乘起来,得到的积还是1,但
其中中间的数被乘了3次,如果只乘1次那么积为225,所以中间的数是1.
15
1
答案】1
15
例8】(2010年第8届走美杯3年级初赛第8题)2010年是虎年,请把1~11这11个数不重复的填入虎额上的“王”字中,使三行,一列的和都等于18
考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空
关键词】走美杯,3年级,初赛
解析】三个答案均可
三个交叉点数的和是:
12L114186,只能是6123。
剩下通过整数分拆即可得到如图的三种实质不同的答案
答案】
解析】答案不唯一。
例如:
答案】
例10】在棋盘中,如果两个方格有公共点,就称为相邻的。
右图中A有3个相邻的方格,而B有8个相
邻的方格。
图中每一个奇数表示与它相邻的方格中,偶数的个数(如3表示相邻的方格中有3个偶数),每个偶数表示与它相邻的方格中,奇数的个数(如4表示相邻的方格中有4个奇数)。
请在下面的4×4的棋盘中填数(至少有一个奇数),满足上面的要求。
答案】答案不唯一
例11】在右图所示的55方格表的空白处填入适当的自然数,使得每行、每列、每条对角线上的数的和都是30。
要求:
填入的数只有两种不同的大小,且一种是另一种的2倍。
6
1
7
5
1
6
14
5
13
考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空关键词】走美杯,3年级,决赛,第12题,12分解析】提示:
设填入的较小的数为a,则较大的数为2a。
第一行要填的两数之和为16,最后一列要填的两数之和为8,由此知第一行填入了两个较大的数,第一列填入了两个较小的数。
较大的数为16÷2=8,较小的数为8÷24。
得到下图。
8
6
8
1
7
5
1
6
4
14
5
13
4
其余数容易填入。
8
6
8
1
7
5
8
8
8
1
8
8
6
4
4
4
4
4
4
14
5
4
4
13
4
答案】
8
6
8
1
7
5
8
8
8
1
8
8
6
4
4
4
4
4
4
14
5
4
4
13
4
4个数的
例12】请在右图所示4×4的正方形的每个格子中填入l或2或3,使得每个2×2的正方形中所填和各不相同。
考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空
关键词】走美杯,4年级,决赛,第10题,12分解析】
答案】答案不唯一
例13】请在8×8表格的每个格子中填人1或2或3,使得每行、每列所填数的和各不相同
考点】数阵图与数论关键词】走美杯,决赛,解析】答案不唯一
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
3
3
1
1
1
1
1
3
3
3
1
1
1
2
3
3
3
3
1
1
2
3
3
3
3
3
1
2
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
答案】
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
3
3
1
1
1
1
1
3
3
3
1
1
1
2
3
3
3
3
1
1
2
3
3
3
3
3
1
2
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
例14】在8×8表格的每格中各填入一个数,使得任何一个5×5正方形中25个数的平均数都大于3,而整
个8×8表格中64个数的平均数都小于2.
考点】【难度】星【题型】填空
关键词】走美杯,5年级,决赛,第12题,15分
解析】如图所示,根据题意,在任何一个任何一个5×5正方形中的总和应该大于75,而整个的数之和要小
于128,其中粗线格部分的在所有的5×5的正方形里都存在,我们要让它尽可能的大,同时让外边
的尽可能的小,则外面的60个方格最小和为60,中间四个方格,应该小于68。
在每一个5×5的正方形内除去这4个,所有之和为21,则中间四个数之和应该大于54,即只要中间四个数的和在54到68之间即可。
如14+14+14+14.其他方格里均填写1.
例15】将最小的10个合数填到图中所示表格的10个空格中,要求满足以下条件:
(1)填入的数能被它所在列的第一个数整除
(2)最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。
那么,最后一行中5个数的和最小是
考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空
解析】最小的10个合数分别是4,6,8,9,10,12,14,15,16,18.这10个合数当中10和15一定是在5的下面,其中15在最后一行;4、8、14、16一定是在2和4下面,其中14一定在2的下面;剩下的6、9、12、18在3或6下面,其中9一定在3的下面,对2和4所在的列和3和6所在的列分别讨论.4、8、14、16,这四个数中最大的数16一定在最后一行,最小的数4一定在第二行,所以2和4所在的列中最后一行的数的和最小是16824,当14、16在2下面,4和8在4下
面时成立;6、9、12、18,这四个数中最大的数18一定在最后一行,最小的数6一定在第二行,所以3和6所在的列中最后一行的数的和最小是18927,当12和18在6下面,6和9在3下面时
成立.所以最后一行的5个数的和最小是24152766。
答案】24152766
例16】老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号:
1,2,⋯⋯,31.如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数,则称这两位同学是“好朋友”.从这31位同学中至少需要选出人,才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”.
考点】数阵图与数论【难度】6星【题型】填空关键词】迎春杯,高年级,决赛,15题
k
2时满足条件的
a,b
有
3,6;
k
3时满足条件的
a,b
有
4,12;
k
4时满足条件的
a,b
有
5,20、
6,12;
k
5时满足条件的
a,b
有
6,30;
k
6时满足条件的
a,b
有
8,24、
5,20、5,20;
k
8时满足条件的
a,b
有
12,24;
k
10时满足条件的
a,b
有
15,30;
k
12时满足条件的
a,b
有
20,30、
21,28;
则全部同学相互之间的关系网如图(其余311516名学生未列):
关系网图可分为不关联的3部分,其中包含11个人的部分最多可以选出6名互不是“好朋友”的同学,包含2个人的两个部分各可选出1人,以保证互不是“好朋友”,加上未列出的16人,所以31人中最多可以选出1661124人互不是“好朋友”,此时只要再选出一人,即可保证选出的人当中有两位同学是“好朋友”,所以至少应该选出25人.
小结:
本题容易忽略掉21和28这一对“好朋友”.
答案】25人