a小学数学奥赛5133数阵图三教师版.docx

1、a小学数学奥赛5133数阵图三教师版1.了解数阵图的种类2.学会一些解决数阵图的解题方法3.能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图 .2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图 .数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图 .3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点 （或方格 ）和关键点 （或方格 ）；第二步： 在数阵图的少数关键点 （一般是交叉点 ）上设置未知数， 计算这些关键点与相关点的数量关系

2、， 得到关 键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用例题精讲数阵图与数论例 1】 把 0 9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 8 题解 析 】设顶点分别为 A、B、C、D、E，有 45+A+B+C+D+E=55，所以 A+B+C+D+E=10，所以 A、B、C、D、 E 分别只能是 0-4 中的一个数字 .则除之外的另外 5 个数（即边上的）为 45-10=35. 设所形成的等差数 列的首项为 a1，公差为 d.利用求和公式 5

3、（ a1a1+4d）2=55， 得 a1+2d=11，故大于等于 0+1+5=6 ， 且为奇数，只能取 7、9或 11，而对应的公差 d分别为 2、1和 0.经试验都能填出来所以共有 3中情 况，公差分别为 2、1、 0.答案】 2 种可能例 2】 将1 9填入下图的 中，使得任意两个相邻的数之和都不是 3，5， 7的倍数解析】根据题意可知 1的两边只能是 3与7；2的两边只能是 6与9 ；3的两边只能是 1、5或 8；4的两边只 能是 7与 9可以先将 3 17-写出来，接下来 7的后面只能是 4， 4的后面只能是 9，9 的后面只 能是 2， 2的后面只能是 6，可得： 3174926-，

4、还剩下 5和 8两个数由于 6 8 14是 7 的倍数，所以接下来应该是 5，这样可得： 317 4926583检验可知这样的填法 符合题意答案】 317492 6583例 3】 在下面 8个圆圈中分别填数字 l，2，3，4，5，6，7，8（1已填出）从 1开始顺时针走 1步进入下 一个圆圈，这个圆圈中若填 n（n 8。） 则从这个圆 圈开始顺时针走 n 步进入另一个圆圈依此下 去，走 7 次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写 8请给出两种填法考点】数阵图与数论 【难度】 4 星 【题型】填空关键词】走美杯， 5 年级，决赛，第 12 题， 15分解析】 按顺时针方向： 1,2，

5、5,3，8，7,4，6或 1,5,2，4，8，6，7,3或1,6,2,3，8，5，7，4或 1,6，4，2，8， 7，5，3 （答对任一种给 6分，总得分不超过 12）由于无论如何填 8 都是最后一个填写，而填之前，已 经走过了 28步，因为 288=3余4，即 8永远只能在最底下的圆圈里。顺推：试算，从 1到8顺序 填写发现可以，此时从 1 顺时针为 1、2、5、3、8、7、4、6；逆推： 8 前面的一个填有 2、 3、 5、6、 7共 5种可能。假设为 2，如上图，再往前一个数有 3、4、5、7共4种可能，设为 3，再前推一个数可能是 4或 6，设为 4， 依次类并排除错误的选择，可得 1

6、、5、2、 4、 8、6、7、3。答案】 1、 5、2、 4、 8、6、 7、 3。例 4】 在圆的 5条直径的两端分别写着 110（如图） 。现在请你调整一部分数的位置， 但保留 1、10、5、6 不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上） 。关键词】走美杯，五年级，初赛，第 4 题解析】 共 6 种答案】考点】数阵图与数论 【难度】 4 星 【题型】填空 关键词】希望杯，六年级，二试，第 18 题，10 分解析】 图中共有 4 个不同的数，每个数除以 3 的余数只可能有 0、1、2 三种，根据抽屉原理可知，这 4个 数中必然至少存在一对同余的数，那么这两个

7、数的差必然为 3 的倍数，故不存在这样的填法。答案】不存在这样的填法例 7】 如图 ABC 被分成四个小三角形，请在每个小三角形里各填入一个数，满足下面两个要求： （1） 任何两个有公共边的三角形里的数都互为倒数 （如：2和 3 是互为倒数 ）；（2）四个小三角形里的数字的32 乘积等于 225。 则中问小三角形里的数是考点】数阵图与数论 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】希望杯，六年级，初赛，第 3题， 6分解析】 四 个小三角形共三对相邻三角形，这三对的积都是 1，所以将这三对数乘起来，得到的积还是 1,但其中中间的数被乘了 3 次,如果只乘 1 次那么积为 225，所以中间的数是

8、1 .151答案】 115例 8】 （2010年第 8届走美杯 3年级初赛第 8题） 2010年是虎年，请把 111这11个数不重复的填入虎 额上的 “王 ”字中，使三行，一列的和都等于 18考点】复合型数阵图 【难度】 5 星 【题型】填空关键词】走美杯， 3 年级，初赛解析】 三 个答案均可三个交叉点数的和是： 1 2 L 11 4 18 6 ，只能是 6 1 2 3 。剩下通过整数分拆即可得到如图 的三种实质不同的答案答案】解析】 答 案不唯一。例如：答案】例 10 】 在棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为相邻的。右图中 A 有 3 个相邻的方格，而 B 有 8 个相邻的方格。图中每一

9、个奇数表示与它相邻的方格中，偶数的个数（如 3 表示相邻的方格中有 3 个 偶数），每个偶数表示与它相邻的方格中，奇数的个数（如 4 表示相邻的方格中有 4 个奇数）。请 在下面的 44 的棋盘中填数（至少有一个奇数） ，满足上面的要求。答案】答案不唯一例 11 】 在右图所示的 5 5 方格表的空白处填入适当的自然数，使得每行、每列、每条对角线上的数的和 都是 30。要求：填入的数只有两种不同的大小，且一种是另一种的 2 倍。61751614513考点】复合型数阵图 【难度】 5 星 【题型】填空 关键词】走美杯， 3 年级，决赛，第 12 题， 12分 解析】 提 示：设填入的较小的数为

10、a，则较大的数为 2a。第一行要填的两数之和为 16，最后一列要填的两 数之和为 8，由此知第一行填入了两个较大的数， 第一列填入了两个较小的数。 较大的数为 16 2=8， 较小的数为 8 2 4。得到下图。868175164145134其余数容易填入。868175888188644444414544134答案】8681758881886444444145441344 个数的例 12 】 请在右图所示 44 的正方形的每个格子中填入 l 或 2 或 3，使得每个 22 的正方形中所填 和各不相同。考点】数阵图与数论 【难度】 4 星 【题型】填空关键词】走美杯， 4 年级，决赛，第 10 题

11、， 12分 解析】答案】答案不唯一例 13】 请在 88 表格的每个格子中填人 1 或 2 或 3 ，使得每行、每列所填数的和各不相同考点】数阵图与数论 关键词】走美杯，决赛， 解析】 答案不唯一1111111111111113111111331111133311123333112333331233333323333333答案】1111111111111113111111331111133311123333112333331233333323333333例 14 】 在 88 表格的每格中各填入一个数，使得任何一个 55 正方形中 25 个数的平均数都大于 3，而整个 88 表格中 64 个数

12、的平均数都小于 2 考点】 【难度】星 【题型】填空关键词】走美杯， 5 年级， 决赛， 第 12 题， 15 分解析】 如图所示，根据题意，在任何一个任何一个 55 正方形中的总和应该大于 75，而整个的数之和要小于 128 ，其中粗线格部分的在所有的 55 的正方形里都存在，我们要让它尽可能的大，同时让外边的尽可能的小，则外面的 60 个方格最小和为 60，中间四个方格，应该小于 68。在每一个 55 的正 方形内除去这 4 个，所有之和为 21，则中间四个数之和应该大于 54 ，即只要中间四个数的和在 54 到 68 之间即可。如 14+14+14+14. 其他方格里均填写 1.例 15

13、】 将最小的 10个合数填到图中所示表格的 10 个空格中，要求满足以下条件： （1）填入的数能被它所在列的第一个数整除 （2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。那么，最后一行中 5 个数的和最小是考点】数阵图与数论 【难度】 4 星 【题型】填空解析】最小的 10个合数分别是 4， 6， 8， 9 ， 10， 12 ， 14， 15 ， 16， 18 这 10个合数当中 10和15一 定是在 5的下面，其中 15在最后一行； 4、8、14、16一定是在 2和 4下面，其中 14一定在 2的下 面；剩下的 6、9、12、18在3或 6下面，其中 9一定在 3的下面，对 2和4所在的列和

14、 3和6所在 的列分别讨论 4、 8、 14、 16，这四个数中最大的数 16一定在最后一行，最小的数 4 一定在第二 行，所以 2和 4所在的列中最后一行的数的和最小是 16 8 24 ，当14、 16在2下面， 4和8在4下面时成立； 6、 9 、 12 、 18，这四个数中最大的数 18一定在最后一行，最小的数 6一定在第二行， 所以 3和 6所在的列中最后一行的数的和最小是 18 9 27，当 12和18在6下面， 6和 9在 3下面时成立所以最后一行的 5 个数的和最小是 24 15 27 66。答案】 24 15 27 66例 16】 老师给前来参加 “迎春晚会 ”的 31位同学发

15、放编号： 1， 2， ，31如果有两位同学的编号的乘 积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是 “好朋友 ”从这 31 位同学中至少需要选出 人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是 “好朋友 ”考点】数阵图与数论 【难度】 6 星 【题型】填空 关键词】迎春杯，高年级，决赛， 15 题k2时满足条件的a，b有3，6 ；k3时满足条件的a，b有4，12 ；k4时满足条件的a，b有5，20 、6，12 ；k5时满足条件的a，b有6，30 ；k6时满足条件的a，b有8，24 、5，20 、 5，20 ；k8时满足条件的a，b有12，24 ；k10时满足条件的a，b有15，30 ；k12时满足条件的a，b有20，30 、21，28 ；则全部同学相互之间的关系网如图 （其余 31 15 16 名学生未列 ）：关系网图可分为不关联的 3部分，其中包含 11个人的部分最多可以选出 6名互不是 “好朋友 ”的同学， 包含 2个人的两个部分各可选出 1人，以保证互不是 “好朋友 ”，加上未列出的 16 人，所以 31人中最 多可以选出 16 6 1 1 24人互不是 “好朋友 ”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两 位同学是 “好朋友 ”，所以至少应该选出 25人小结：本题容易忽略掉 21 和 28 这一对 “好朋友 ”答案】 25 人