中考数学常考易错点 47 圆.docx

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中考数学常考易错点47圆

2019-2020年中考数学常考易错点4.7圆

易错清单

1.考虑问题不全面,缺乏分类讨论而导致错误.

【例1】　已知:

☉O的直径为14cm,弦AB=10cm,点P为AB上一点,OP=5cm,则AP的长为　　　　cm. 

【解析】　学生画图造成思维定势,画出了一种,因此答案就写一种.没有真正理解“点P为AB上一点,OP=5cm”的含义,即点P是以O为圆心,5cm为半径的弧与AB的交点,这样的点P有两个.

【答案】　4或6

【误区纠错】　学生在画图的时候,没有分类的意识,这里的点P是靠近点A还是点B不清楚,因此需要分类.

2.切线的判定

【例2】　（2014·山东临沂）如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的☉O与底边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.

（1）证明:

DE为☉O的切线;

（2）连接OE,若BC=4,求△OEC的面积.

【解析】　

（1）首先连接OD,CD,由以BC为直径的☉O,可得CD⊥AB,又由等腰三角形ABC的底角为30°,可得AD=BD,即可证得OD∥AC,继而可证得结论;

（2）首先根据三角函数的性质,求得BD,DE,AE的长,然后求得△BOD,△ODE,△ADE以及△ABC的面积,继而求得答案.

【解答】　

（1）连接OD,CD,

∵　BC为☉O直径,

∴　∠BCD=90°.

即　CD⊥AB,

∵　△ABC是等腰三角形,

∴　AD=BD.

∵　OB=OC,

∴　OD是△ABC的中位线.

∴　OD∥AC.

∵　DE⊥AC,

∴　OD⊥DE.

∵　点D在☉O上,

∴　DE为☉O的切线.

【误区纠错】　此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

3.圆和圆的位置关系.

【例3】　（2014·江苏徐州）如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm,若圆P与这两个圆都相切,则圆P的半径为　　　　cm. 

【解析】　如解答图所示,符合条件的圆P有两种情形,需要分类讨论.

【答案】　由题意,圆P与这两个圆都相切若圆P与两圆均外切,如图

（1）所示,此时圆P的半径

若圆P与两圆均内切,如图

（2）所示,此时圆P的半径

（1）

（2）

综上所述,圆P的半径为1cm或2cm.

故答案为1或2.

【误区纠错】　本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是确定如何与两圆都相切,要注意分类讨论.

名师点拨

1.熟练掌握圆的有关性质,掌握求线段、角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化.

2.理解直线和圆的三种位置关系,掌握切线的性质和判定,会根据条件解决圆中的动态问题.

3.掌握由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来判定两圆的位置关系,对中考试题中出现的阅读理解题、探索题,要灵活运用圆的有关性质,进行合理推理与计算.

提分策略

1.利用垂径定理进行证明或计算.

通常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形求解.由于圆中一条弦对应的弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况,所以利用垂径定理计算时,不要漏解.

【例1】　（2014·湖南张家界）如图,AB,CD是半径为5的☉O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为　　　　. 

【答案】　7

2.圆心角、弧、弦之间的关系的应用.

圆心角、弧、弦之间的关系要巧记.同圆或等圆中,有些关系要搞清:

等弧对的弦相等,圆心角相等,等弦所对圆心角相等,反之亦成立.

【例2】　如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.

（1）求证:

BD=CD;

（2）请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?

并说明理由.

【解析】　

（1）根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明;

（2）利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB=DE=DC.

【答案】　

（1）∵　AD为直径,AD⊥BC,

∴　BD=CD.

（2）B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.理由如下:

由

（1）知:

BD=CD,

∴　∠BAD=∠CBD.

∵　∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE,

∴　∠DBE=∠DEB.

∴　DB=DE.

由

（1）知:

BD=CD,

∴　DB=DE=DC.

∴　B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.

3.切线的判定与性质的应用.

【例3】　（2014·甘肃白银）如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆☉O交AC于点D,点E为BC的中点,连接DE.

（1）求证:

DE是半圆☉O的切线.

（2）若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.

【解析】　

（1）连接OD,OE,由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形,再由E为斜边BC的中点,得到DE=BE=DC,再由OB=OD,OE为公共边,利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等,由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直,即可得证.

（2）在直角三角形ABC中,由∠BAC=30°,得到BC为AC的一半,根据BC=2DE求出BC的长,确定出AC的长,再由∠C=60°,DE=EC得到三角形EDC为等边三角形,可得出DC的长,由AC-CD即可求出AD的长.

【答案】　

（1）连接OD,OE,

∵　AB为圆O的直径,

∴　∠ADB=∠BDC=90°.

在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,

∴　DE=BE.

在△OBE和△ODE中,

∴　△OBE≌△ODE（SSS）.

∴　∠ODE=∠ABC=90°.

则DE为圆O的切线.

4.圆和圆的位置关系的判别.

【例4】　（2014·四川泸州）如图,☉O1,☉O2的圆心O1,O2都在直线l上,且半径分别为2cm,3cm,O1O2=8cm.若☉O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（☉O2保持静止）,则在7s时刻☉O1与☉O2的位置关系是（　　）.

A.外切B.相交

C.内含D.内切

【解析】　本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是根据圆的移动速度确定两圆的圆心距,然后根据圆心距和两圆的半径确定答案.

【答案】　∵　O1O2=8cm,☉O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动,7s后停止运动,

∴　7s后两圆的圆心距为1cm,

此时两圆的半径的差为3-2=1cm,

∴　此时内切.

故选D.

5.圆中涉及弧长、扇形面积等计算问题.

求不规则图形的面积,常转化为易解决问题的基本图形,然后求出各图形的面积,通过面积的和差求出结果.

【例5】　（2014·四川内江）通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习,我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图

（1））.在图

（2）中,有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线,半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位,则动圆C自身转动的周数为　　　　. 

（1）

（2）

【解析】　它从A位置开始,滚过与它相同的其他2014个圆的上部,到达最后位置.则该圆共滚过了2014段弧长,其中有2段是半径为2r,圆心角为120度,2012段是半径为2r,圆心角为60度的弧长,所以可求得.

又因为是来回所以总路程为1314π×2=2628π.

所以动圆C自身转动的周数为2628πr÷2πr=1314.

【答案】　1314

【例6】　（2014·山东潍坊）如图,两个半径均为的☉O1与☉O2相交于A,B两点,且每个圆都经过另一个圆的圆心,则图中阴影部分的面积为　　　　.（结果保留π） 

【解析】　连接O1O2,由题意知,四边形AO1BO2B是菱形,且△AO1O2,△BO1O2都是等边三角形,四边形O1AO2B的面积等于两个等边三角形的面积,

【答案】

专项训练

一、选择题

1.（2014·甘肃天水模拟）如图所示,AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,点C在☉O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,则BC的长为（　　）.

（第1题）

（第2题）

2.（2014·山东东营模拟）如图,▱ABCD的顶点A,B,D在☉O上,顶点C在☉O的直径BE上,∠ADC=54°,连接AE,则∠AEB的度数为（　　）.

A.36°B.46°

C.27°D.63°

3.（2014·贵州遵义二模）如图,在等边三角形ABC中,AB,AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,如果MN=1,那么△ABC的面积为（　　）.

（第3题）

（第5题）

4.（2013·浙江湖州中考模拟试卷）AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,DC切☉O于点C,若∠A=25°,则∠D等于（　　）.

A.20°B.30°

C.40°D.50°

5.（2013·安徽淮南市洞山中学第四次质量检测）如图,AB是☉O的直径,C,D为圆上两点,∠AOC=130°,则∠D等于（　　）.

A.25°B.30°

C.35°D.50°

二、填空题

6.（2014·北京平谷区模拟）如图,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的度数为　　　　. 

（第6题）

（第7题）

7.（2014·广西玉林一模）如图,在▱ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是　　　　.（结果保留π） 

8.（2013·江苏东台实中模拟）已知☉O的半径为6cm,弦AB的长为6cm,则弦AB所对的圆周角的度数是　　　　. 

（第9题）

9.（2013·吉林长春模拟）如图,☉P与x轴切于点O,点P的坐标为（0,1）,点A在☉P上,并且在第一象限,∠APO=120°.☉P沿x轴正方向滚动,当点A第一次落在x轴上时,点A的横坐标为　　　　.（结果保留π） 

三、解答题

10.（2014·安徽安庆正月21校联考）如图,△ABC内接于☉O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交☉O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD.

（1）求证:

∠DAC=∠DBA;

（2）求证:

P是线段AF的中点;

（3）若☉O的半径为5,

求tan∠ABF的值.

（第10题）

11.（2013·吉林镇赉县一模）如图,A,B,C是半径为2的圆O上的三个点,其中点A是弧BC的中点,连接AB,AC,点D,E分别在弦AB,AC上,且满足AD=CE.

（1）求证:

OD=OE;

（2）连接BC,当

时,求∠DOE的度数.

（第11题）

参考答案与解析

1.A　[解析]∵　△ABC∽△DOA,

2.A　[解析]∠B=∠ADC=54°,

∴　∠AEB=90°-∠B=36°.

3.B　[解析]根据垂径定理知M,N分别是AB,AC的中点,由三角形中位线定理得出BC=2MN=2,

4.C　[解析]∠COD=∠A+∠ACO=25°+25°=50°,

∴　∠D=90°-∠COD=40°.

8.30°或150°　[解析]弦AB所对的圆周角有二种,这二种角互补.

9.π　[解析]过点A作y轴的垂线,解所得直角三角形即可.

10.

（1）∵　BD平分∠CBA,

∴　∠CBD=∠DBA.

∵　∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,

∴　∠DAC=∠CBD.

∴　∠DAC=∠DBA.

（2）∵　AB为直径,

∴　∠ADB=90°.

又　DE⊥AB于点E,

∴　∠DEB=90°.

∴　∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°.

∴　∠ADE=∠ABD=∠DAP.

∴　PD=PA.

又　∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°,且∠ADE=∠DAC,

∴　∠PDF=∠PFD.

∴　PD=PF.

∴　PA=PF,即P是线段AF的中点.

（3）∵　∠DAF=∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°,

∴　△FDA∽△ADB.

11.

（1）连接OA.∵　点A是弧BC的中点,

∴　∠AOB=∠AOC.

∵　OA=OB=OC,

∴　∠ABO=∠BAO=∠OAC=∠ACO.

∵　AD=CE,AO=CO,∠OAB=∠OCA,

∴　△ADO≌△CEO.

∴　OD=OE.

∴　BF=OF.

∴　∠AOB=45°.

∵　△AOD≌△COE,

∴　∠AOD=∠COE.

∴　∠BOD=∠AOE.

∴　∠DOE=∠AOB=45°.

2019-2020年中考数学常考易错点4.8解直角三角形

易错清单

1.涉及锐角三角函数的概念时,是否明确“对边”“邻边”“斜边”都是在“直角三角形”中.

【例1】　（2014·广东广州）如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tanA等于（　　）.

【解析】

【答案】　D

【误区纠错】　本题容易出错的是

而错选C.

2.实际问题中对坡角、俯角、仰角与方位角等找不准无法准确理解题意易出错.

【例2】　（2014·广东深圳）小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米,此时小明看山顶的角度为60°,求山高（　　）.

【解析】　

即tanα（α为坡角）的值.坡度为5∶12,则tanα=

通过构造两个直角三角形△ABE与△BDF,分别求解可得DF与EB的值,再利用图形关系,进而可求出答案.

【答案】　∵　BE∶AE=5∶12,

∴　BE∶AE∶AB=5∶12∶13.

∵　AB=1300米,

∴　AE=1200米,BE=500米.

设EC=x米,

∵　∠DBF=60°,

【误区纠错】　

解决实际问题时,常因对名词术语如俯角、仰角、方位角、坡角等概念了解不清导致错误.

名师点拨

掌握锐角三角函数的概念,会熟练运用特殊角的三角函数值.

提分策略

1.求锐角三角函数值的问题.

解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形,确定直角三角形的边长,依据三角函数的定义进行求解.

【例1】　如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（　　）.

【解析】　利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答.如图,连接CO.

根据网格的特点,CO⊥AB.

在Rt△AOC中,

【答案】　B

2.特殊锐角的三角函数值的应用.

【例2】　在△ABC中,若∠A,∠B满足

则∠C=　　　　. 

【解析】　

得∠A=60°,∠B=45°,

则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.

【答案】　75°.

3.解直角三角形的问题.

作三角形的高,将非直角三角形转化为直角三角形,是解直角三角形常用的方法.

【例3】　（2014·四川遂宁）如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:

（1）

（2）

（3）

（4）

sin2A1+sin2B1=　　　　;sin2A2+sin2B2=　　　　;sin2A3+sin2B3=　　　　. 

（1）观察上述等式,猜想:

在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B=　　　　; 

（2）如图（4）,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.

（3）已知:

∠A+∠B=90°,且sinA=

求sinB.

【解析】　

（1）由前面的结论,即可猜想出:

在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B=1.

（2）在Rt△ABC中,∠C=90°.利用锐角三角函数的定义得出sinA=,sinB=,则sin2A+sin2B=

再根据勾股定理得到a2+b2=c2,从而证明sin2A+sin2B=1.

（3）利用关系式sin2A+sin2B=1,结合已知条件sinA=,进行求解.

【答案】　

（1）1

4.利用解直角三角形解决实际问题.

【例4】　（2014·甘肃白银）为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具、图

（1）所示的是一辆自行车的实物图.图

（2）是这辆自行车的部分几何示意图,其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20cm.点A,C,E在同一条直线上,且∠CAB=75°.（参考数据:

sin75°=0.966,cos75°=0.259,tan75°=3.732）

（1）

（2）

（1）求车架档AD的长;

（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）.

【解析】　

（1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可.

（2）过点E作EF⊥AB,在Rt△EFA中,利用三角函数求EF=AEsin75°,即可得到答案.

【答案】　

（1）∵　在Rt△ACD中,AC=45cm,DC=60cm,

∴　车架档AD的长是75cm.

（2）过点E作EF⊥AB,垂足为F,

∵　AE=AC+CE=（45+20）cm,

∴　EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63（cm）,

∴　车座点E到车架档AB的距离约是63cm.

【例5】　（2014·四川内江）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视,迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻.如图,在一次空中搜寻中,水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的点F处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）.为了便于观察,飞机继续向前飞行了800米到达B点,此时测得点F在点B俯角为45°的方向上,请你计算当飞机飞临点F的正上方点C时（点A,B,C在同一直线上）,竖直高度CF约为多少米?

（结果保留整数,参考数值:

≈1.7）

【解析】　此题考查了考查俯角的定义,要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.

【答案】　∵　∠BCF=90°,∠FBC=45°,

∴　BC=CF.

∵　∠CAF=30°,

解得CF=400+400≈400（1.7+1）=1080（米）.

故竖直高度CF约为1080米.

专项训练

一、选择题

1.（2014·安徽芜湖模拟）已知a=3,且（4tan45°-b）2+

=0,以a,b,c为边组成的三角形面积等于（　　）.

A.6B.7

C.8D.9

（第2题）

2.（2013·吉林镇赉县一模）如图,O为原点,点A的坐标为（3,0）,点B的坐标为（0,4）,☉D过A,B,O三点,点C为优弧AO上的一点（不与O,A两点重合）,则cosC的值为（　　）.

二、填空题

3.（2014·江苏如皋地区模拟）如图,∠ABC=60°,半径为1cm的☉O切BC于点C,若将☉O在BC上向右滚动,则当☉O滚动到与AC也相切时,圆心O移动的水平距离是　　　　cm. 

（第3题）

（第4题）

4.（2014·江苏扬州树人集团学校模拟）如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=　　　　. 

5.（2014·河南信阳三模）如图,某公园入口处原有三阶台阶,每级台阶高为20cm,深为30cm.为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现将斜坡的坡度设计为i=1∶4.5,则AC的长为　　　　cm. 

（第5题）

三、解答题

6.（2014·安徽安庆二模）如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C;另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲,乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为45m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留5min后,再从B匀速步行到C,二人同时到达.已知缆车匀速直线运动的速度为180m/min,山路AC长为2430m,且测得∠CAB=45°,∠CBA=105°.求:

（1）索道AB的长;

（2）乙的步行速度.

（第6题）

7.（2014·河南洛阳一模）如图,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站,A在B的正东方向,AB=2（单位:

km）.有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向.

（1）求点P到海岸线l的距离;

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到点C处,此时,从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.（上述两小题的结果都保留根号）

（第7题）

8.（2013·吉林中考模拟）已知,如图,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26米,在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求:

（1）坡顶A到地面PQ的距离;

（2）古塔BC的高度.（结果精确到1米）

（参考数据:

sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01）

（第8题）

参考答案与解析

1.A　[解析]由已知条件得b=4,c=5,由于a=3,所以这个三角形是直角三角形,且两条直角边分别是3,4,所以面积是6.

2.D　[解析]连接AB,利用同弧所对的圆周角相等求解.

5.210　[解析]由题意,知（20+20+20）∶（AC+30+30）=1∶4.5,解得AC=210（cm）.

（第6题）

7.

（1）如图,过点P作PD⊥AB于点D,

设PD=x,

由题意,知PBD=45°,∠PAD=30°,

∴　在Rt△BDP中,BD=PD=x.

在Rt△PDA中,AD=PD=x.

∵　AB=2,

（第7题）

8.

（1）过点A作AH⊥PQ,垂足为H.

∵　斜坡AP的坡度为1∶2.4,

设AH=5k,则PH=12k,由勾股定理,得AP=13k.

∴　13k=26.解得k=2.

∴　AH=10.

故坡顶A到地面PQ的距离为10米.

（2）延长BC交PQ于点D.

∵　BC⊥AC,AC∥PQ,

∴　BD⊥PQ.

∴　四边形AHDC是矩形,CD=AH=10,AC=DH.

∵　∠BPD=45°,

∴　PD=BD.

设BC=x,则x+10=24+DH.

∴　AC=DH=x-14.