X2SInXe
x2-U31
y=-1=,⑤y=χ+—中，最小值为2的函数的序号是.
y∣X2+2X
17・己知@4BC的三个内角A.β,C所对的边分别为QbC,ZA是锐角，且
>[^b=2α・sinB・
（1）求ZA的度数；
（2）若b'+c'=89,^ABC的面积为10√3，求的值.
7
18.已知等比数列｛匕｝的前〃项和为s”，S3=-,S6=-.
22
（1）求数列«/”｝的通项公式d”；
（2）令⅛=∕7-61+log2d,t,求数列｛$｝的前〃项和：
19.已知函数f（x）≈x2-2x-3
（1）解不等式/（υ≥θ:
（2）若对一切x>l,不等式/（x）≥（7H+2）x-λπ-15恒成立，求实数加的取值范围.
20.己知数列和｛如｝中，数列｛务｝的前M项和记为Szr若点SSJ在函数y=—/+
4%的图像上，点（nfbn）在函数y=2”的图彖上.
（I）求数列｛αzι｝的通项公式;
（II）求数列｛αzι•%｝的前Ti项和记为心.
21.临川一中实验学校坐落在抚州火车站附近，在校区东边（如图），有一直径为8米
的半圆形空地，现计划移植一古树，但需要有辅助光照•半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足古树生长的需要，该光源照射范围是ZECF=-,点E,F在直径上，且
6
ZABC=-.
6
（1）若CE=伍,求AE的长：
（2）设ZACE=a,求该空地种植古树的最大面积.
22.已知数列％和化满足2∙6∕3...^=（√2）fcπ（∕7∈TV+）.若％为等比数列，且
OJ=2，b、—6+k
（1）求d”和b”；
11
（2）设ς,=-记数列q的前"项和为s”
1求SH:
2求正整数k,使得对任意H∈N+均有Sk≥Sy
O®O⅛OWO-EO
※※阚※※他※※壬※※報※※⅛※※躱※※⅛※※M※※1÷※※B※※
O盅O⅛O煤O亠§O
参考答案
1.D
【解析】
【分析】
将分式不等式等价转化，用数轴标根法求解不等式解集即可.
【详解】
不等式V（AJb2）>O等价于x（x+2）（x-3）>O
方程x（x+2）（x-3）=O的三个实数根分别为-2,0,3,
故不等式心兰2>0的解集为xe（—2,0）u（3,+s）.
故选：
P.
【点睛】
本题考查分式不等式的求解，涉及高次不等式的求解，注意数轴标根法的使用，属综合基础题.
2.A
【解析】
【分析】
将an+2+2all,l=15alι转化为关于公比的方程，求得公比，再用等比数列前〃项和的公式即
可求得结果.
【详解】
a>,+2+2%=15a”等价于anq2+2anq=15an
因为an>0,故可得q?
+2q—15=0,解得q=—5（舍），q=3；故由公式可得56=上兰=364.
61-3
故选：
A.
【点睛】
本题考查由基本量求解等比数列的前"项和，属基础题.
3.D
【解析】
【分析】
将方程整理为一般式，即可根据斜率以及）'轴上的截距判断直线经过的象限.
【详解】
CIX^by=C于y=_*x+；,
bb
根据题意-故直线经过第二.四彖限；
b
又因为7<0,故直线经过第二、三、四象限・
b
故选：
P.
【点睛】
本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.
4.D
【解析】
【分析】
根据不等式的解集，即为不等式对应方程的两个根，由韦达定理即可求得.
【详解】
解得c=_6,d=_l.
故选：
P
【点睛】
本题考查由二次不等式的解集求参数的值，涉及韦达定理，属基础题.
5.A
【解析】
【分析】
由韦达定理求得a5cι9,再利用等比数列的下标和性质，即可求得Q7.
【详解】
因为05，為为方程疋+2019x+9=0的二根，
故可得^5a9=9,+«9=-2019,故a5<0√∕9<0
根据等比数列的卞标和性质a5a9=（a1）2=9,解得a7=±3.
又因为a1=a5q2,a5<0,故可得a7<0,故a1=-3.
故选：
A.
【点睛】
本题考查等比数列的下标和性质，注意对结果正负的取舍，属中档题.
6.C
【解析】
【分析】
!
的最小值即可.b
根据直线过点（1,2）,即可得到α,b的等式，再利用均值不等式求得丄+
a
【详解】
因为直线2αx+by-2=0（α>O上>0）过点（1,2）,
故可得a+b=l9因为a>O,b>O
当且仅当一=γ~,N+b=1时，即Cl=b=—时取得最小值.ab2
故选：
C.
【点睛】
本题考查利用均值不等式求和的最小值，属基础题.
7.A
【解析】
【分析】
由tanJ+tan3+=tan月tanS,推导出C=60°,由ShIBCoSB=至~,推导出A=60
或90°,从而得到△磁的形状.
【详解】
即tanJ÷tan5=—JJ（I-tanJtan5）>
λ1-tanAtanB=tan（^）"艮又月与砌为三角形的内角,
ΛA+B=120o,即C=6（F,
TSIlIBCOSB=——，∙'∙sin2B=
.∖2B=6Q0或120°,则A二90°或60°・
由题意知4工90。
ΛAABC等边三角形.
故选A.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及
二倍角正弦公式的合理运用.
&D
【解析】
【分析】
采用列举的方式，总结出数列的周期，再根据数列的周期性求和即可.
【详解】
对数列an+2=an^-an,
容易知①=2,込=3,偽=l,d=一2,。
5=一3,。
6=一1
α7=2,QS=3,心=1,…，
故可总结出数列｛%｝是以6为周期的周期数列；
设该数列一个周期内的和为S,
则∙^2oi9=336×S+al+a2+a3=6.
故选：
P.
【点睛】
本题考查由递推公式求得数列的周期，从而利用数列的周期性计算前〃项和，属基础题.
9.C
【解析】
【分析】
据余弦定理可得b2=a2+c2-IaccosB>代入题中数据化简得夕一20。
+39=0,由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得ΔABC有两个解.
【详解】
解：
•••在AABC中，b=19,c=20,B=603,
•••由余弦定理b2=a2+c2-IaCCQSB，得：
361=400+夕一2xαx20xcos6（Γ，
得：
f/2-20«+39=O-（*）
∖∙δ=202-4×1×39=244>0,且两根之和、两根之积都为正数，
•••方程（*）有两个不相等的正实数根，即有两个边"满足题中的条件.
由此可得满足条件的ΛABC有两个解.
故选：
C.
【点睛】
本题主要考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于基础题.
10.A
【解析】
分析：
先利用三角形的面积公式求得C的值，进而利用余弦定理求得α,再利用正弦定理求解即可.
详解：
由题意，在AABC中，
利用三角形的面积公式可得SSABC=^bCSmA=^×l×c×Sln60o=√3,
解得c=4,
又由余弦定理得d'=/?
2+c2-2Z?
CCOSA=I+16-2×Ix4×丄=13,解得∏=J13,
2N
a-2b+c_a_√13_2√39
由正弦定理f'lsmA-2SInB+smCSmAyf33故选A∙
T
点睛：
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
11.A
【解析】
【分析】
首先由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得tanA=2,UuM=3,然后利用两角和的正切公式可求出ta∩（A+β）=-l,从而求出ZC,再结合题意确定£、B
的范I韦I,从而确定C的形状.
【详解】
解：
由题意可得,
∖λO/.A+B=-
・・・ZC=-
又•••taιιA>O,tai出>0,0.∙∙0故选A.
【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，考查计算能力及分析
能力，属于中档题・
12・B
【解析】
【分析】先根据暫与S〃之间的关系，求得匕和化，再用裂项求和求得7；,再求得7；的最小值即可・
【详解】
对数列｛a”｝,因为6S”=a：
+3a”，令川=1,可得勺=3
故当（∕?
≥2）时,6S”T=a;_I+3an,l
两式相减后可得（∏r-1）（¾+flf,1）-3（a+a-1）=0
因为Qji>°,故可得an~an-∖=3
故｛□”｝是首项为3,公差为3的等差数列，故匕=3几
容易知当X=I时，7；取得最小值7；=右.
故要满足题意，只需即可.
故选：
3
【点睛】本题考查利用色与二之间的关系求解通项公式，以及用裂项求和求数列的前〃项和，属综合中档题.
13.返
2
【解析】
【分析】
2122
由面积公式以及余弦定理，对S='Y进行转化，即可求得CO$C・
4
【详解】
根据面积公式S=^abSinC,以及α'+b2-c2=IabCOSC,
2
可得2absinC=IabcosC,解得IanC=1・
由同角三角函数关系，因为珂。
分故可得SC故答案为：
返.
2
【点睛】本题考查面积公式和余弦定理的使用，属综合基础题.
1
14.一_
3
【解析】
因为过点（1,-1）,所以a—3m+2α=0,得,n=a，
所以斜率k=-—=一丄.
3/773
15・2.6∙
【解析】解：
设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{atι},其π1=3,公比为丄，其前〃项和为人.莞（植物名）的长度组成等比数列{bι},其bl=l,公比为2,其前“项和为.
则人=
_2"-1
=9
I―2-1
L~2
令Λ=Bn,
化为：
2”+仝=7,
2"
解得2"=6或2”=1（舍去）.
即：
“=暨=i+⅛1q2.6.
Ig2⅛2
所需的时间约为2.6日.
16.③⑤
【解析】
【分析】
利用均值不等式结合函数图像，对选项进行逐一判断即可.
【详解】
对①：
函数y=χ+丄，当XVo时，y<0,故①错误；
X
C///Y2（5、
对②：
当XW（Os）,“加W（（M）,故由对勾函数的单调性可知y=-^-+r-∈-,+co,LSlRXyZ丿
故②错误：
_4
对③：
因为ex>O，故y=eλ+--2>4-2=2,
e
当且仅当X=In2时取得最小值，故③正确；
故），=/+,根据对勾函数的单调性可知y∈[^E,+s）,④错误;
对⑤：
函数y=χ+-为偶函数，
又当X>O时，y=x+丄≥2,
X
当且仅当X=I时取得最小值；
故函数y=χ+丄的最小值为2,当χ=±ι时，取得最小值，故⑤正确.故答案为：
③⑤.
【点睛】
本题考查均值不等式的使用，以及对勾函数的单调性，属中档题.
17.
（1）60。
；
（2）7.
【解析】
【分析】
（!
）利用正弦定理将边化角，整理化简即可求得角4：
（2）由面积公式求得be,结合余弦定理，即可求得α.
【详解】
（1）JJb=2a∙SinB，利用正弦定理可得屯SiHB=2SinA∙SinB又因为SmB≠0,故可得SmA=邑又因为ZA是锐角
2
故可得4=60。
.
（2）由S=^bCSinA=10λ∕3,结合4=60°,可得be=40
又因为b2+c2=89»
由余弦定理可得α=√Z?
2+c2-TbccosA?
=7•
故a=7.
【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，以及面积公式，余弦定理的简单应用，属综合基础题•
18.（l）αn=2n~2；
（2）TlI=Ir-62n.
【解析】
【分析】
（1）利用基本量，根据已知条件，列出方程，求出数列的首项和公比即可；
（2）由等差数列的前〃项和公式即可求得.
【详解】
（1）设等比数列｛%｝的公比为9,由S3=-,S6=-
2
可得©（F）_74（F）（IF）（I+门_63l-q2，l-ql-q2
故g'=8,解得q=2,代入得al=i.
故an=alq',~i=2n~2.
（2）由（X）中所求，可得⅛=2/7-63,
因为⅛+1—⅛=2（〃+1）—63—2〃+63=2
故仇是首项为-GL,公差为2的等差数列，
故TIl=-6l×n+H=n2-62〃.
即Tll=Ir-62n.
【点睛】
本题考查由基本量计算等比数列的通项公式，以及用公式法求解等差数列的前〃项和，属中
档题.
19.
（1）（-∞,-l]u[3,+oo）;
（2）（一0M]・
【解析】
【分析】
（!
）分解因式，即可求得不等式的解集;
（2）将恒成立问题转化为函数最值的问题，构造分式函数求最值即可.
【详解】
（丄）∕W≥0等价于√-2x-3≥0,
故可得（x-3）（x+l）≥0,解得x∈（-oo,-l]u[3,+oo）故不等式的解集为：
（-oo-l]^[3,+∞）.
（2）不等式f（x）^（ιn+2）x-m-15恒成立
等价于x2-4x+12≥m（x-l）,因为χ>l
y^—4x+12
故也等价于2—11±A±≥加恒成立.
x-l
x-1
令ga）=r—4：
+12=（_l）；2（「-l）+9=（_］）+2_2227?
-2=4
9
当且仅当（X-I）=——，即x=4时，取得最小值.x-1
故要满足题意，只需7W≤4,即加w（-s,4].
【点睛】本题考查二次不等式的求解，恒成立问题，分离参数法，属综合中档题.
20.（I）αλl=-2τι+5；（II）Tn=（-2n+7）2n+1÷2.
【解析】
【分析】
（I）先由点（Tl,Sn）在函数y=-X2+4x的图像上,得到S”，再由On=Sn-ST即可求出结
果；
（II）先由题意求出％,再由错位相减法求数列的和即可.
【详解】
（I）由己知得Sn=-n2+4n,
因为当≥2时，an=sn-Sn.1=-2n+5；
又当？
ι=l时，CII=SI=3,所以an=-2n+5；
（II）由己知得⅛l=2nf所以On■bn=（-2n+5）■2n,
所以7^=3×21+l×22+（-1）×23+…+（-2n+5）×2n,
2Tn=3×22+l×23+（-1）×24+…+（-2n+5）×2n+1,
两式相减可得
-Tn=6-2×22-2×23-2×242×2n-（-2n+5）X2n+1,
整理得&=（-2n+7）2n+1+2.
【点睛】
本题主要考查等差数列与等差数列，熟记数列的通项公式以及错位相减法求前Ti项和即可,
属于常考题型.
21.
（1）AE=1或AE=3；
（2）4√Γ
【解析】
【分析】
（1）在^ACE中，由余弦定理即可求得AE的长；
（2）在^ACF和❷ACE中，由正弦定理用α表示出CF和CE,再利用三角函数的最值求解面积的最人值.
【详解】
（Z）在直角三角形ABC中，因为ZABC=^f直径AB=S
6
故可得AC=-AB=4.ZCAE=-・
23
4C24-4F2-CF2
在^ACE中，由余弦定理可得一=CoSZCAE・
2AC×AE
代入可得AE2-4AE+3=0，解得AE=1,AE=3.
故AE=1或AE=3.
（2）根据题意ZACE=QE0,彳J
ZAFC=π-ZA-ZACF=--a
2
在^ACF中，由正弦定理得：
苓=・A‘解得CF=亜
SInASInACrACOSct
在❷ACE中，由正弦定理得：
塔=笃，解得CE=
SinASinZAEC
故三角形（7£尸的面积为：
112I?
S=-CE・CF・SinAECF====——
2Sinla+^COSla+更2SIn（2α÷∣j+√3
故可得SIn2σ+yj∈[θ,l]
因为αw0,γ
故当a=2时，S取得最大值，最大值为4若.
该空地种植占树的最人面积为4JT
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理解三角形,涉及面积的最人值,倍角公式的逆用，辅助角公式，属综合性中档题.
22.
（1）d"=2"（"∈N*）.仇="（卄l）（"∈Nj.
（2）（ι）Sn=（n∈N*）.（Il^=4.
〃+12"
【解析】
【详解】
解：
（1）由题意Clγ'CL）∙Q^∙∙∙dIt=（J^）'（JJ∈7V+）.,b$—5=6,知a3=（（JT）"%）8.设数
a
列仙｝的公比为q,又Fhq=2,得q2=—=4,q=2（q=-2舍去），所以数列｛α讣的通aι
项为心=2"S∈N）
_«（;Hl）
所以，qqq…a”=（Qr-=2"（”巴
故数列｛bn｝的通项为^=«（n+1）（«∈N*）.
而n（n+l）（11+2）（11+1）
2n
2口+1
1
<11]
2n
c∣>0,
当n$5时,
（ii）因为C1=O,C2>0,C3>0,
1
Cn=
11
⑵⑴由⑴-ξ
（5）.所以Sn=AT-I（心*）.
n（n+l）2n
n
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