八年级数学下册 第十七章 勾股定理导学案.docx

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八年级数学下册第十七章勾股定理导学案

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

（1）

学习目标：

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。

重点：

勾股定理的内容及证明。

难点：

勾股定理的证明。

学习过程：

一.预习新知（阅读教材第22至24页，并完成预习内容。

）

1正方形A、B、C的面积有什么数量关系？

2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？

归纳：

等腰直角三角形三边之间的特殊关系

B

A

C

（1）那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？

（2）组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。

（3）通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？

（4）对于更一般的情形将如何验证呢？

二.课堂展示

方法一；

如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。

S正方形＝_______________＝____________________

方法二；

已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=______________

右边S=_______________

左边和右边面积相等，

化简可得。

方法三：

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90º,

∴∠AED+∠BEC=90º.

∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于

c2.

又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,

∴AD∥BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于_________________

归纳：

勾股定理的具体内容是。

三.随堂练习

1.如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

（3）三边之间的关系：

2.完成书上P28习题1、2

四.课堂检测

1.在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a=15，c=25，则b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。

2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

五.小结与反思

17.1勾股定理

（2）

学习目标：

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。

4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。

重点：

勾股定理的应用。

难点：

实际问题向数学问题的转化。

一.预习新知（阅读教材第25至26页，并完成预习内容。

）

1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．

问题

（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？

为什么？

二.课堂展示

例：

如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①求梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

　　　　　　图2

三.随堂练习

1.书上P26练习1、2

2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

3．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是

米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平距离是米。

3题图1题图2题图

变式：

如图4．

五.小结与反思

17.1勾股定理（3）

学习目标:

1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。

2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。

3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。

重点：

利用勾股定理在数轴上表示无理数。

难点：

确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。

一.预习新知（阅读教材第26至27页，并完成预习内容。

）

1.探究：

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点吗？

2.分析：

如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示

的点。

容易知道，长为

的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。

长为

的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？

利用勾股定理，可以发现，长为

的线段是直角边为正整数_____、______的直角三角形的斜边。

3.作法：

在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线

垂直于OA，在

上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示

的点。

4.在数轴上画出表示

的点？

（尺规作图）

二.课堂展示

例1已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

例2已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

三.随堂练习

1.完成书上P29第9题

2．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

（4）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。

五．小结与反思

17.2勾股定理的逆定理

（一）

学习目标

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

重点：

掌握勾股定理的逆定理及简单应用。

难点：

勾股定理的逆定理的证明。

一.预习新知（阅读教材P31—33,完成课前预习）

1.三边长度分别为3cm、4cm、5cm的三角形与以3cm、4cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？

你是怎样得到的？

2.你能证明以6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗？

3.如图18.2-2，若△ABC的三边长

、

、

满足

，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．

4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？

（1）什么叫互为逆命题

（2）什么叫互为逆定理

（3）任何一个命题都有_____，但任何一个定理未必都有5.说出下列命题的逆命题。

这些命题的逆命题成立吗？

（1）两直线平行，内错角相等；

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

（3）全等三角形的对应角相等；

（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

二．课堂展示

例1：

判断由线段

、

、

组成的三角形是不是直角三角形：

（1）

；

（2）

．

（3）

；（4）

；

三.随堂练习

1.完成书上P33练习1、2

2.如果三条线段长a,b,c满足

，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？

为什么？

3.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？

4.思考：

我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？

一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？

四.课堂检测

1.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．

2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？

此三角形的形状为？

3.已知：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。

求证：

△ABC是直角三角形。

五.小结与反思

17.2勾股定理逆定理

（2）

学习目标：

1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。

2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。

3.在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。

4.培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。

重点：

勾股定理的逆定理

难点：

勾股定理的逆定理的应用

一.预习新知

已知：

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：

四边形ABCD的面积。

归纳：

求不规则图形的面积时，要把不规则图形

二.课堂展示

例1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

例2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

三.随堂练习

1.完成书上P33练习3

2.一个三角形三边之比为3：

4：

5，则这个三角形三边上的高值比为

A3:

4:

5B5:

4:

3C20:

15:

12D10:

8:

2

3.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式

+（b-18）2+

=0则△ABC是_______三角形。

四.课堂检测

1.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）

A．等腰三角形；B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。

2.若△ABC的三边a、b、c，满足a：

b：

c=1：

1：

，试判断△ABC的形状。

3.已知：

如图，四边形ABCD，AB=1，BC=

，CD=

，AD=3，且AB⊥BC。

求：

四边形ABCD的面积。

4.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

5.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

6.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=

，试判定△ABC的形状。

7.如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝

ＢＣ，求证：

∠ＥＦＡ＝90。

.

五.小结与反思

勾股定理复习

（1）

学习目标

1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.

2.勾股定理的应用.

3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.

重点：

掌握勾股定理及其逆定理.

难点：

理解勾股定理及其逆定理的应用.

一.复习回顾

在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：

1.勾股定理：

（1）直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：

————————————.这就是勾股定理．

（2）勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．

．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．

2.勾股定理逆定理

“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c（a2+b2=c2），先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.

3.勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）在数轴上作出表示

（n为正整数）的点．

勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：

利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．

（3）三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若

，则三角形是直角三角形；若

，则三角形是锐角三角形；若

，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．

二.课堂展示

例1：

如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

例2：

如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：

AD⊥BD．

三.随堂练习

1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）

A．7，24，25B．3

，4

，5

C．3，4，5D．4，7

，8

2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）

A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍

3.三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（）

A．6B．36C．64D．8

四.课堂检测

1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）

A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm

2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A．8cm　　B．10cm　　C．12cm　　D．14cm

3．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿

4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．

5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．

6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿

五.小结与反思

勾股定理复习

（2）

学习目标

1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．

2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．

3.熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．

重点：

掌握勾股定理以及逆定理的应用．

难点：

应用勾股定理以及逆定理．

考点一、已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为______．

2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

3．在数轴上作出表示

的点．

4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．

求①AD的长；②ΔABC的面积．

考点二、利用列方程求线段的长

1．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3、4、5

（2）5、12、13（3）8、15、17

（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有

2.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2（a>b>0）,则这个三角形是.

3.如图1，在△ABC中，AD是高，且

，求证：

△ABC为直角三角形。

考点四、灵活变通

1.在Rt△ABC中，a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=

2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7

，8

，则以斜边为边长的正方形的面积为_________

．

3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外

壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm

4.如图：

带阴影部分的半圆的面积是（

取3）

5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是

6.如图：

在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，

则该地毯的长度至少是米。

7.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，

且

．你能说明∠AFE是直角吗？

四.小结与反思

复习第一步：

：

勾股定理的有关计算

例1：

（2006年甘肃省定西市中考题）下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为．

析解：

图中阴影是一个正方形，面积正好是直角三角形一条直角边的平方，因此由勾股定理得正方形边长平方为：

172-152=64，故正方形面积为6

勾股定理解实际问题

例2．（2004年吉林省中考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：

cm）．其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．

析解：

彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF

的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，

得DE=

h=220-150=70（cm）

所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm

与展开图有关的计算

例3、（2005年青岛市中考试题）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

　析解：

正方体是由平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可以把它展开成平面图形，如图是正方体展开成平面图形的一部分，在矩形ACC’A’中，线段AC’是点A到点C’的最短距离．而在正方体中，线段AC’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点A到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度．

　　在矩形ACC’A’中，因为AC=2，CC’=1

　　所以由勾股定理得AC’=．

∴从顶点A到顶点C’的最短距离为

复习第二步：

1．易错点：

本节同学们的易错点是：

在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．

例4：

在Rt△ABC中，a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c．

错解：

因为a=6，b=10，根据勾股定理得c=

剖析：

上面解法，由于审题不仔细，忽视了∠B=90°，这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边，错把c当成了斜边．

正解：

因为a=6，b=10，根据勾股定理得，c=

温馨提示：

运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用c2=a2+b2

例5：

已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是

错解：

因为Rt△ABC的两边长分别为3和4，根据勾股定理得:

第三边长的平方是32+42=25

剖析：

此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论．

正解：

当4为直角边时，根据勾股定理第三边长的平方是25；当4为斜边时，第三边长的平方为：

42-32=7，因此第三边长的平方为：

25或7．

温馨提示：

在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论．

例6：

已知a，b，c为⊿ABC三边，a=6，b=8，b

错解：

由勾股定理得c=

剖析：

此题并没有告诉你⊿ABC为直角三角形，因此不能乱用勾股定理．

正解：

由b

温馨提示：

只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形．

2．思想方法：

本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；

例7：

如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

析解：

因两直角边AC=6cm，BC=8cm，所以由勾股定理求得AB=10cm，设CD=x，由题意知则DE=x，AE=AC=6，BE=10-6=4，BD=8-x．在Rt△BDE由勾股定理得：

42+x2=（8-x）2，解得x=3，故CD的长能求出且为3．

运用中的质疑点：

（1）使用勾股定理的前提是直角三角形；

（2）在求解问题的过程中，常列方程或方程组来求解；（3）已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论．

复习第三步：

选择题

1．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）．

A．1：

1：

B．1：

：

2C．1：

：

D．1：

4：

1

2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．

A．B．3C．D．

3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（