元一次方程应用题13种经典习题.docx
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元一次方程应用题13种经典习题
考点一-----二元一次方程概念与解法
例1.已知
是二元一次方程组
的解,则2m-n=
例2.小明和小佳同时解方程组
,小明看错了m,解得
,小华看错了n,解得
,你能知道原方程组正确的解吗?
总结分析:
灵活学会“方程解”概念解题。
【巩固】已知方程组
和方程组
的解相同,求
的值。
考点二-----解决实际问题
列方程(组)解应用题的一般步骤
1、审:
有什么,求什么,干什么;
2、设:
设未知数,并注意单位;
3、找:
等量关系;
4、列:
用数学语言表达出来;
5、解:
解方程(组).
6、验:
检验方程(组)的解是否符合实际题意.
7、答:
完整写出答案(包括单位).
列方程组思想:
找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:
(1)方程两边表示的是同类量;
(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.
列二元一次方程----解决实际问题
甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?
总结升华:
根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略。
【变式】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。
二、工程问题
三个基本量的关系:
工作总量=工作时间×工作效率;
工作时间=工作总量÷工作效率;
工作效率=工作总量÷工作时间
甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量,
注:
当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”。
一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?
(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少?
总结升华:
工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用;工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?
请你说明理由.
三:
商品销售利润问题
利润问题:
利润=售价—进价,利润率=(售价—进价)÷进价×100%
有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元?
【变式】某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
求该商场购进A、B两种商品各多少件;
四、银行储蓄问题
银行利率问题:
免税利息=本金×利率×时间,
税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率
4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为%的教育储蓄,另一种是年利率为%的一年定期存款,一年后可取出元,问这两种储蓄各存了多少钱?
(利息所得税=利息金额×20%,教育储蓄没有利息所得税)
【变式】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为%.三年后同时取出共得利息元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?
五、生产中的配套问题
产品配套问题:
加工总量成比例
某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?
【变式】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做桌腿300条。
现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌?
能配多少张方桌?
六、增长率问题
增长率问题:
原量×(1+增长率)=增长后的量
原量×(1+减少率)=减少后的量
某工厂去年的利润(总产值—总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元?
(1)若条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元?
【变式2】某城市现有人口42万,估计一年后城镇人口增加%,农村人口增加%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。
七、和差倍分问题
和差倍总分问题:
较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量
“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的倍、倍,恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶?
【变式】游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍,你知道男孩与女孩各有多少人吗?
八:
数字问题
首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数。
【变式】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数?
【变式】某三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数。
九:
浓度问题
溶液×浓度=溶质
现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1,今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少?
【变式】一种35%的新农药,如稀释到%时,治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克,才能配成%的农药800千克?
十、几何问题
必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
如图,用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长和宽分别是多少?
【变式】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形,若将此矩形的长边剪掉3厘米,补到较短边上去,则得到一个正方形,求正方形的面积比矩形面积大多少?
十一、年龄问题
人与人的岁数是同时增长的
今年父亲的年龄是儿子的5倍,6年后父亲的年龄是儿子的3倍,求现在父亲和儿子的年龄各是多少?
【变式1】今年,小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现,12年之后,他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
二、优化方案问题:
某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元;经粗加工后销售,每吨利润可达4500元;经精加工后销售,每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力是:
如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工16吨;如果进行细加工,每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制,公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工方案
方案一:
将蔬菜全部进行粗加工;
方案二:
尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售;
方案三:
将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好在15天完成
你认为选择哪种方案获利最多?
为什么?
【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为:
甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元。
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案;
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元,在以上的方案中,为使获利最多,你选择哪种进货方案?