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直线的投影讲义MicrosoftWord文档
建筑制图基础03
2011-04-1211:
42
第三讲 第三章 点、直线和平面的投影
（二）
本讲的学习目标：
掌握各种位置直线的投影特性和作图方法。
学习重点：
直角三角形法求一般位置直线与投影面的倾角及线段实长的方法；用定比的方法确定直线上点投影；两直线相互垂直，其中一条直线平行于投影面时的投影特性和作图方法。
3.2 直线的投影
3.2.1 直线投影图的作法
首先作出直线上两端点在三个投影面上的各个投影，然后分别连接这两个端点的同面投影即为该直线的投影，如图3-12所示。
图3-12 作直线的三面正投影图（投影面的倾斜线）
3.2.2 各种位置直线的投影特性
空间直线按其相对于三个投影面的不同位置关系可分为三种：
投影面平行线、投影面垂直线和投影面倾斜线。
前两种称为特殊位置直线，后一种称为一般位置直线。
3.2.2.1 投影面平行线
1．定义：
指平行于一个投影面，而倾斜于另外两个投影面的直线。
2．分类及投影图：
投影面平行线可分为：
正平线、水平线、侧平线。
这三种平行线的投影图如表3-1所示。
3．投影特性：
（1）直线在所平行的投影面上的投影反映实长，此投影与投影轴的夹角反映直线与另两个投影面的夹角实形；
（2）直线在另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，但不反映实长。
4．平行线空间位置的判别：
一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行哪个面。
【例3-6】已知直线AB的水平投影ab，并知AB对H面的倾角为30°，A点距水平投影面H为5mm，A点在B点的左下方，求AB的正面投影a′b′（图3-13a）。
作图：
（a）已知条件 （b）过a作OX轴的垂直线 （c）过a′作与OX轴成
aax，在aax的延长线上 30°的直线，与过b作
截取a′ax=5mm OX轴垂线bbx的延长
线相交，因点A在点
B的左下方，得b′。
图3-13 求正平线的一投影
3.2.2.2 投影面垂直线
1．定义：
指垂直于一个投影面，而平行于另外两个投影面的直线。
2．分类及投影图：
投影面垂直线可分为：
正垂线、铅垂线、侧垂线。
这三种垂直线的投影图如表3-2所示。
3．投影特性：
（1）直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点；
（2）直线在另两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长。
4．垂直线空间位置的判别：
一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直哪个面。
3.2.2.3 一般位置直线
1．定义：
与三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置线。
2．投影图：
一般位置线在H、V、W三个投影面上的投影如图3-14所示。
图3-14 一般位置直线
3．投影特性：
（1）直线的三个投影均倾斜于投影轴；
（2）直线的三个投影与投影轴的夹角，均不反映直线与任何投影面的倾角，α、β和γ均为锐角；
（3）各投影的长度小于直线的实长。
4．一般位置线的判别：
三个投影三个斜，定是一般位置线。
3.2.3 一般位置直线的实长和倾角
3.2.3.1 求直线段对H面的倾角α及实长
在投影图3-15（b）中，AB的水平投影ab已知，A、B两点到H面的距离之差，可由其正面投影求得，由此即可作出直角ΔAA0B的实形。
图3-15（a） 立体图 图3-15（b） 投影图
作图方法一（见图3-15（c））
（1）求A、B两点到H面的距离
（2）以ab为直角边，a′a′1为另一直
之差：
过b′作OX轴的平行线 角边，作直角三角形：
过a作ab的
与aa′交于a′1，则a′a′1 垂线在该垂线上截取aA0=a′a′1
等于A、B两点到H面的距离 ，连接bA0，则∠A0ba即为AB对H
之差； 面的倾角α，A0b=AB（T.L）。
图3-15（c） 作图方法一
作图方法二（见图3-15（d））
（1）过b′作OX轴的平行线与aa′交
（2）在b′a′1的延长线上截取
于a′1，则a′a′1即为A、B两点 a′1B0=ab，并连接
到H距离之差； a′、B0，则∠a′1B0a′
即为AB对的H面的倾角
α，a′B0=AB（T.L）。
图3-15（d） 作图方法二
【例3-7】如图3-16（a）所示，已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a′，并知AB对H面的倾角α=30°，点B在点A之上，求AB的正面投影a′b′。
图3-16（a） 已知条件
图3-14 一般位置直线
3．投影特性：
（1）直线的三个投影均倾斜于投影轴；
（2）直线的三个投影与投影轴的夹角，均不反映直线与任何投影面的倾角，α、β和γ均为锐角；
（3）各投影的长度小于直线的实长。
4．一般位置线的判别：
三个投影三个斜，定是一般位置线。
3.2.3 一般位置直线的实长和倾角
3.2.3.1 求直线段对H面的倾角α及实长
在投影图3-15（b）中，AB的水平投影ab已知，A、B两点到H面的距离之差，可由其正面投影求得，由此即可作出直角ΔAA0B的实形。
图3-15（a） 立体图 图3-15（b） 投影图
作图方法一（见图3-15（c））
（1）求A、B两点到H面的距离
（2）以ab为直角边，a′a′1为另一直
之差：
过b′作OX轴的平行线 角边，作直角三角形：
过a作ab的
与aa′交于a′1，则a′a′1 垂线在该垂线上截取aA0=a′a′1
等于A、B两点到H面的距离 ，连接bA0，则∠A0ba即为AB对H
之差； 面的倾角α，A0b=AB（T.L）。
图3-15（c） 作图方法一
作图方法二（见图3-15（d））
（1）过b′作OX轴的平行线与aa′交
（2）在b′a′1的延长线上截取
于a′1，则a′a′1即为A、B两点 a′1B0=ab，并连接
到H距离之差； a′、B0，则∠a′1B0a′
即为AB对的H面的倾角
α，a′B0=AB（T.L）。
图3-15（d） 作图方法二
【例3-7】如图3-16（a）所示，已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a′，并知AB对H面的倾角α=30°，点B在点A之上，求AB的正面投影a′b′。
图3-16（a） 已知条件
作图方法一（见图3-16（b））
（1）以ab为一直角边，作
（2）过b作OX轴的垂线， （3）连接a′、b′，
一锐角为30°的直角ΔB0ba， 过a′作OX轴的平行线， 即得AB直线
则B0b等于A、B两点到H 两者交于b′1，然后从 的正面投影
面的距离之差ZB–ZA。
b′1沿OX轴的垂线向上 a′b′。
截取b′1b′=ZB–ZA
（因为B点在A点之上），
即得b′。
图3-16（b） 求直线正面投影的作图方法一
作图方法二（见图3-16（c）
（1）过b作OX轴的垂直线bb′1，过
（2）过A0作30o的斜线与bb′1的延
a′作OX轴的平行线，两线交于b′1， 长线相交，此交点即为b′，连
在a′b′1的延长线上截取b′1A0=ab； 接a′b′。
图3-16（c） 求直线正面投影的作图方法二
3.2.4 直线上的点
点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投影规律，如图3-17中的C点。
若直线上的点分线段成比例，则该点的各投影也相应分线段的同面投影成相同的比例。
在图3-17中，C点把直线AB分为AC、CB两段，则有：
AC∶CB＝a′c′∶c′b′＝ac∶cb＝a″c″∶c″b″
图3-17 直线上的点
【例3-8】如图3-18（a）所示，在直线AB上找一点K，使AK∶KB=2∶3
作图方法
（a）已知条件 （b）过a任作一直线，并从 （c）连接b、5，再过分
a起在该直线上任取五等点 2作b5的平行线，与ab
分，得1、2、3、4、5五 相交，即得点K的水平
个分点； 投影k；由此求出k′。
图3-18 分线段为定比
【例3-9】判定图3-19（a）所示的点K，是否在侧平线AB上。
图3-19 判定点是否在直线上
作图方法一：
用定比性来判定。
见图3-19（b）。
作图方法二：
用直线上点的投影规律来判定。
见图3-19（c）。
3.2.5 两直线的相对位置
两直线在空间的相对位置分为平行、相交、交叉和垂直（相交和交叉的特例）四种情况。
3.2.5.1 两直线平行
根据正投影的平行性可知：
空间两直线相互平行，则它们的同名投影也相互平行，且同名投影的长度之比等于空间两线段的长度之比，如图3-20。
（a）立体图 （b）投影图
图3-20 两直线平行
在投影图中，若判别两直线是否平行，一般只要看它们的正面投影和水平投影是否平行就可以了。
但对于两直线均为某投影面平行线时，若无直线所平行的投影面上的投影，仅根据另两投影的平行是不能确定它们在空间是否平行的，应从直线在所平行的投影面上的投影来判定是否平行。
图3-21 判定两条投影面平行线是否平行
【例3-10】已知平行四边形ABCD的两边AB和AC的投影，见图3-22（a），试完成平行四边形ABCD的投影。
作图方法：
（a）已知条件 （b）作c′d′∥a′b′， （c）作cd∥ab，bd∥ac，d与
b′d′∥a′c′得d′。
d′应
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