高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题31 计数原理.docx
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高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题31计数原理
专题31计数原理
【标题01】没有弄清事件的主体
【习题01】
名运动员争夺
项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）
A．
B．
C．
D．
【经典错解】由于每个同学额可以从
个冠军中选一个，所以获得冠军的可能总数为
种，所以选择
.
【详细正解】由于每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有
种．∴
种,所以选择
【习题01针对训练】
名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）
A.
B.
C.
D.
【标题02】逆用二项式定理时没有认真审题
【习题02】式子
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【经典错解】
，故选
．
【详细正解】
，故选
．
【深度剖析】
（1）经典错解错在逆用二项式定理时没有认真审题,
（2）逆用二项式定理解题时，一定要注意展开式是不是二项式定理展开式的全部，有没有遗漏的情况，如果有遗漏，就要补上这一项，再减去这一项，保持恒等,一般情况下，注意观察组合数，组合数从
开始，到
结束.（3）有时也要注意观察哪个是
哪个是
.
【习题02针对训练】已知在
的展开式中，第
项的系数与第
项的系数之比是
．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求
的值.
【标题03】排列时出现了重复计数
【习题03】将5名实习教师分配到高一年级的
个班实习，每班至少
名，最多
名，则不同的分配方案有（）
A.30种B.90种C.180种D.360种
【经典错解】由题得
所以选择
.
【详细正解】由题得
所以选择
.
【习题
03针对训练】现在有5名男生3名女生，要从中选出4名学生组成社会实践小组，其中至少要有1名女生参加，问一共
有多少种安排的方法？
【标题04】求解系数最大项时，省略掉
中的“=”，从而导致系数最大项求解不出
【习题04】已知
的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求
的值；
（2）展开式中系数有没有最大的项，如果有，请求出来，如果没有，请说明理由,
【经典错解】
（1）由题设，得
，即
，解得
或
（舍去）．
（2）设第
的系数最大，则
即
解之得不等式组无解，所以展开式系数没有最大项.
【详细正解】1）由题设，得
，即
，解得
或
（舍去）．
（2）设第
的系数最大，则
即
解得
或
．所以系数最大的项为
，
．
【习题04针对训练】已知
的展开式的二项式系数和比
的展开式的二项式系数和大
，求
的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项．
【标题05】有理项的定义没有理解清楚
【习题05】
展开式中含的有理项共有（）
A.
项B.
项
C.
项D.
项
【经典错解】由二项式定理可得展开式:
其中的有理项必须满足
非负整数集,故
可取
，即有
项，故选
.
【详细正解】由二项式定理可得展开式:
其中的有理项必须满足
故
可取
，即有
项，故选
.
【深度剖析】
（1）经典错解错在有理项的定义没有理解清楚.
（2）有理项指的是展开式中未知数的指数是整数的项，这个整数可以是正整数，也可以是负整数，也可以是零,如
也是有理项,经典错解理解成了指数必须是非负整数，导致漏解,
【习题05针对训练】已知（
－
）n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）证明：
展开式中没有常数项；
（2）求展开式中所有的有理项．
【标题06】对映射的定义理解不够透彻
【习题06】已知集合
映射
满足
则这样的映射f的个数为（）
A.
B.
C.
D.
【经典错解】因为
，所以
分别取
的某四个，选出之后，它们对应是固定的，所以这样的映射的个数为
，所以选择
.
【详细正解】因为
，所以
分别取
的某四个，选出之后，它们对应是固定的，所以这样的映射的个数为
，但是集合
中的
，还没有确定它们对应的像，它们每一个的像都有
种可能，所以共有
种，所以选择
.
【习题06针对训练】设集合
，
，则从
到
的不同映射的个数为（）
A.
B.
C.
D.
【标题07】二项式展开式某一项的系数和二项式系数没有区分开
【习题07】在
的展开式中，含
的项的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【经典错解】
，
，
，
的展开式中，每个
的系数分别是
，所以含
的项的系数是
，所以选择
.
【详细正解】
的展开式中，含
的项的系数
故选
.
【习题07针对训练】在
的展开式中，
的系数是_____（结果用数值表示）．
【标题08】事情处理的程序有问题导致重复
【习题08】选派
名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有_____种.
【经典错解】由题得
，所以不同的选派方法共有
种方法,
【详细正解】先将
人分成
组每组至少一人，即一组
人另三组个
人，共有
种不同分法，然后再将这四组分到四项活动中去共
种分法，根据分步计数原理可得此项活动的不同的选派方法共有
种,
【深度剖析】
（1）经典错解错在由于事情处理的程序有问题导致重复,
（2）经典错解是先从
名学生里选
名学生排列，保证每项活动都有一个人，共有
种方法，最后把剩下的一名学生给
项活动的任意一项，有
种方法,这样安排出现重复情况，如第一步
项活动分配的学生是
，第二步，假设把最后一名学生
给了第一项活动，即最后的安排是
，如果第一步
项活动分配的学生是
.第二步，假设把最后一名学生
给了第一项活动，即最后的安排是
.显然这两种是一种情况，是重复情况,（3）对于这种含有“至少”的排列组合题，一般用分类讨论的方法和间接法,
【习题08针对训练】将
名大学生分配到
个乡镇去当村官，每
个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
种.
【标题09】审题错误
【习题09】从
名短跑运动员中选出
人参加
接力赛．试求满足下列条件的参赛
方案各有多少种？
（1）甲不能跑第一棒和第四棒；
（2）甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒
【经典错解】
（1）优先考虑特殊元素甲，让其选位置，此时务必注意甲是否参赛，因此需分两类：
第
类，甲不参赛有
种排法；第
类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有
种排法；其余
人占
个位置有
种排法，故有A
A
种方案．所以有
＋
＝
种参赛方案．
（2）先从
个运动员里选
个人和甲，乙组成一队，有
种方法,如果甲跑最后一棒，共有
种方法，如果甲不跑最后一棒，则有
种方法，所以一共有
种方法,
【详细正解】
（1）优先考虑特殊元素甲，让其选位置，此时务必注意甲是否参赛，因此需分两类：
第
类，甲不参赛有
种排法；第
类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有
种排法；其余
人占
个位置有
种排法，故有
种方案．所以有
＋
＝
种参赛方案．
（2）优先考虑特殊位置．第
类，乙跑第一棒有
＝
种排法；第
类，乙不跑第一棒有
＝
种排法．故共有
种参赛方案．
【习题09针对训练】某研究性学习小组有
名同学．
（1）这
名同学排成一排照相，则同学甲与同学乙相邻的排法有多少种？
（2）从
名同学中选
人参加班级
接力比赛，则同学丙不跑第一棒的安排方法有多少种？
【标题10】二项式展开式的二项式系数概念理解错误
【习题10】
的展开式中第
项的二项式系数是（）
A.
B.
C.
D.
【经典错解】由二项展开式的通项公式得，第
项的二项式系数为
，所以选择
.
【详细正解】由二项展开式的通项公式得，第
项的二项式系数为
.
【习题10针对训练】
的展开式中，若第
项和第
项的二项式系数相等，则
.
【标题11】对均匀分组没有理解透彻导致出现重复情况
【习题11】
个同学分成三组参加不同的社会实践，每组两人，共有多少种不同的安排方法？
【经典错解】由题得
所以共有
种不同的安排方法,
【详细正解】由题得
所以共有
种不同的安排方法.
【深度剖析】
（1）经典错解错在对均匀分组没有理解透彻导致出现重复情况.
（2）经典错解的解题思路是先分组，再分工,从
个同学里选出两个人作为一组，有
种方法，再从剩下的
个同学里选
个人组成
一组，有
种方法，再从最后两个同学里选
个人作为一组，有
种方法，最后把这三组进行排列，相当于安排这三组参加社会实践，有
种方法,所以共有
种不同的安排方法,假设第一组是
第二组是
第三组是
.但是第一组也可能是
第二组也可能是
第三组也可能是
这三组实际上是一种情况，所以是重复的，这样的情况有
种，但是只能作为一种情况，所以分组时重复了
种，所以真正分组的方法有
种,（3）对于这种均匀分组的问题，也可以直接定向分配，减少思维量，减少运算,先从
个同学里选出两个人分配给社会实践
有
种方法；再从剩下的
个同学里选
个人分配给社会实践
有
种方法；最后从最后两个同学里选
个人分配给社会实践
有
种方法,所以共有
种方法,（4）对于解答这种题目，大家要提高警惕，只要是分配的对象的个数是一样时，要注意均匀分组，正确处理,
【习
题11
针对训练】教育部直属师范大学免费师范毕业生一般回生源所在省份中小学校任教.今年春节后，我校迎来了陕西师范大学数学系
名实习教师，若将
名实习教师分配到高一年级的
个班实习，每班至少
名，最多
名，则不同的分配方案有（）
A.60种B.90种C.120种D.180种
【标题12】审题不清误认为不能重复
【习题12】从
种不同的书中买
本送给
名同学，每人各
本，则不同的送法有种（用数字作答）．
【经典错解】由题得
所以不同的送法有
种.
【详细正解】由题得
所以不同的送法有
种.
【习题12针对训练】将标号为
的
张卡片放入
个不同的信封中，若每个信封放
张，其中标号为
的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）
A．12种B．18种C．36种D．54种
【标题13】审题粗心没有看到“无重复数字”这个条件
【习题13】用
十个数字，组成无重复数字的三位数的个数为.
【经典错解】先排百位有
种方法，再排十位有
种方法，再排个位有
种方法，由乘法分步原理得共有
种方法，所以这样的三位数共有
个.
【详细正解】先求所有的三位数：
先排百位有
种方法，再排十位有
种方法，再排个位有
种方法，由乘法分步原理得共有
种方法，所以这样的三位数共有
个.再求没有重复的三位数：
先排百位有
种方法，再排十位有
种方法，再排个位有
种方法，所以没有重复的三位数共有
个，所以所求的三位数共有
个.所以填
.
【深度剖析】
（1）经典错解错在审题粗心没有看到“无重复数字”这个条件.
（2）经典错解理解为了可以重复，也可以不重复，但是实际上，题目求的是可能有重复数字的个数，所以导致列式出现错
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