高等数学1新大纲.docx

高等数学1新大纲.docx

《高等数学1新大纲.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学1新大纲.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高等数学1新大纲

《高等数学

（1）》教学大纲

一、课程基本信息

课程代码：

211113001

课程名称：

高等数学/AdvancedMathematics

课程性质：

必

课程类别：

学科基础课

总学时：

96学时

总学分：

6

二、课程描述

　　《高等数学》是面向我校理、工科各个专业的一门学科基础课程，它是为培养现代化建设所需要的高质量专门人才服务的，具有很强的基础性、理论性、抽象性、逻辑性，是所涉专业的学生进入大学以后学习的第一门理论性非常强的基础课程，共168个学时，第一学期96学时，第二学期72学时。

高等数学课程的教学内容主要包括一元函数微积分、多元函数微积分、空间解析几何、无穷级数、微分方程。

通过本课程的学习，不仅使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论、基本方法和基本运算技能，逐步培养和提高学生在抽象概括、逻辑推理等方面的能力，特别是培养学生综合运用所学数学知识去分析问题和解决问题的能力。

因此，高等数学课的教学不仅关系到学生在整个大学以至于研究生期间的学习水平，而且还关系到培养学生的科学思想方法和分析解决问题的能力和他们的文化素质。

三、课程目标

　　根据高等数学的学科特点，在教学过程中应注重数学思想的渗透，在对学生进行知识、能力、情感素质教育时，应根据学生的专业特点其侧重点不同，特别是数学的知识性、科学性、应用性的体现程度不同时，采用不同的数学思想。

由于数学的思维方式分为逻辑思维和形象思维，理、工科学生的逻辑思维能力较强，但形象思维方式解决问题的能力较弱，根据学生的不同学科特点，既应注重学生的认知结构和认知规律的建构，同时对理、工科学生应加强形象思维能力的培养，注重各专业之间的渗透，在教学中不断改进教学方法，精心设计每一个教学环节,积极引入先进的教学手段，推动教学方法的改革和创新。

基于以上目的，就学生学习的知识性目标、技能性目标和情感性目标等三个方面提出要求。

1．知识性目标：

通过本课程的知识教学与知识学习，使学生正确理解和掌握一元的函数、极限、连续、一元微积分学、常微分方程等方面的基本概念、基本知识和基本计算方法，逐步理解和掌握极限理论及其一元微积分的原理及其应用，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础，同时，为今后从事应用研究和技术开发及教学工作打下坚实的知识基础。

2．技能性目标：

通过本课程的教学与学习，使学生能模拟求极限、求导、求积和微分方程求解等方法并再现解题（解决问题）过程；通过学生的独立思考，能利用极限思想和一元微积分方法解决一些实际问题，从而培养良好的自学能力。

逐步形成一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，并逐步形成初步的数学建模能力。

3．情感性目标：

通过本课程的学习让学生感受到数学不是孤立的，它是来源于实践又服务于实践的；让学生领悟有限到无限、特殊到一般、离散到连续等数学思想；使学生形成良好的学习习惯和思维习惯，具备一定的数学素养；形成坚强的意志品格、严谨的思维习惯、实事求是的优良作风；逐步形成勇于探究、敢于创新的思想意识和良好的团队合作精神，从而形成辩证唯物主义世界观。

四、课程内容

第一章函数与极限（20学时）

【主要内容】

第一节映射与函数

　　集合；映射；函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数；函数关系的建立。

第二节数列的极限

　　数列极限的定义；收敛数列的性质。

第三节函数的极限

　　函数极限的定义；函数极限的性质；函数的左、右极限。

第四节无穷小与无穷大

　　无穷小与无穷大的概念及其关系；无穷小量的性质。

第五节　极限运算法则

　　极限的四则运算。

第六节极限存在准则两个重要极限

极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）；

两个重要极限（

）。

第七节无穷小的比较

　　高阶无穷小；低阶无穷小；同阶无穷小；

阶无穷小；等价无穷小的定义。

第八节函数的连续性与间断点

　　函数的连续性；函数的间断点的定义。

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性。

第十节闭区间上连续函数的性质

　　闭区间上连续函数的有界性与最大值最小值定理；零点定理与介值定理。

【目的要求】

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

6．掌握极限的性质及四则运算法则。

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

【重点与难点】

1．极限的计算及数列收敛性的判定；

2．无穷小的性质。

第二章导数与微分（12学时）

【主要内容】

第一节导数概念

导数的概念；导数的几何意义与物理意义；函数可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线。

第二节函数的求导法则

导数的四则运算；反函数的求导法则；复合函数的求导法则；基本初等函数的导数。

第三节高阶导数

高阶导数的定义及求法。

第六节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

隐函数的导数；由参数方程所确定的函数的导数；相关变化率。

第五节函数的微分

微分的概念；微分的几何意义；基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；一阶微分形式的不变性；微分在近似计算中应用。

【目的要求】

1．理解导数和微分的概念；理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

【重点与难点】

导数的计算。

第三章微分中值定理与导数的应用（16学时）

【主要内容】

第一节微分中值定理

罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。

第二节洛必达法则

洛必达（L’Hospital）法则。

第三节泰勒公式

泰勒展开式及余项。

第四节函数单调性与曲线的凹凸性

函数单调性的判别；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线。

第五节函数的极值与最大值最小值

函数的极值；函数的最大值和最小值。

第六节函数图形的描绘

描绘函数图形的步骤。

第七节曲率

弧微分；曲率的概念；曲率及其计算公式；曲率圆与曲率半径；曲率中心的计算公式。

第八节方程的近似解

二分法；切线法。

【目的要求】

1．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。

2．掌握用洛必达（L'Hospital）法则求未定式极限的方法。

3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

4．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：

在区间内，设函数

具有二阶导数，当时，函数

的图形是凹的；当时，函数

的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

5．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

【重点与难点】

1.洛必达法则求极限；

2．导数的应用。

第四章不定积分（14学时）

【主要内容】

第一节不定积分的概念与性质

原函数与不定积分的概念；基本积分表；不定积分的基本性质。

第二节换元积分法

第一类换元法；第二类换元法。

第三节分部积分法

分部积分公式。

第四节有理函数的积分

有理函数的积分，可化为有理函数的积分举例。

第五节积分表的使用

【目的要求】

1．理解原函数的概念，理解不定积分的概念。

2．掌握不定积分的基本公式、不定积分的性质；掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。

3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。

【重点与难点】

不定积分的计算。

第五章定积分（12学时）

【主要内容】

第一节定积分概念

定积分的概念和基本性质。

第二节微积分基本公式

定积分中值定理；积分上限的函数及其导数；牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式。

第三节定积分的换元法与分部积分法

定积分的换元法；定积分的分部积分法。

第四节反常积分

无穷限的反常积分；无界函数的反常积分。

【目的要求】：

1．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。

2．了解反常积分的概念，会计算反常积分。

3．了解定积分的近似计算法（矩形法、梯形法和抛物线法）。

【重点与难点】

1．积分上限的函数的导数；

2．积分中值定理；

3．定积分的计算。

第六章定积分的应用（6学时）

【主要内容】

第一节定积分的元素法

元素法的基本思想、解题步骤。

第二节定积分在几何学上的应用

平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

第三节定积分在物理学上的应用

变力沿直线所作的功、引力、压力、质心、形心等。

【目的要求】

1.理解元素法的基本思想，掌握解题步骤。

2.掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）与物理量（变力沿直线所作的功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

【重点与难点】

用积分表达、计算几何量和物理量。

第七章微分方程（16学时）

【主要内容】

第一节微分方程的基本概念

微分方程的概念；微分方程特解、通解的概念。

第二节可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程的形式及其解法；微分方程的隐式解、隐式通解的概念。

第三节齐次方程

齐次方程的形式及其解法。

第四节一阶线性微分方程

线性方程的形式及其解法。

第五节可降阶的高阶微分方程

三种可降阶的高阶微分方程的形式及其解法。

第六节高阶线性微分方程

二阶线性微分方程举例；线性微分方程的解的结构。

第七节常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的形式及其解法。

第八节常系数非齐次线性微分方程

两种二阶常系数非齐次线性微分方程的形式及其解法。

【目的要求】

1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程和伯努利（Bernoulli）方程，了解用变量代换求方程的思想。

4．会用降阶法解下列形式的微分方程：

。

5．理解线性微分方程解的性质及解的结构。

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

7．会求自由项形如

、

的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

8．会用常微分方程解决一些简单的几何和物理的应用问题。

【重点与难点】

常微分方程的解法及简单应用。

五、教学策略与方法建议

1．任课教师应全面掌握《高等数学》（上、下册）及线性代数、概率论与数理统计、数学建模等知识，根据历年来考研命题（高数1和高数2）方向，把握教学内容的重点；同时根据以往授课经验及学生已有的初等数学知识背景，把握教学重、难点。

2．根据以往的教学经验，任课教师要注意高等数学知识与初等数学知识的结合，在讲授抽象数学概念时，尽量多举例，注重启发式教学。

3．在讲授学生容易理解的概念、定理时，可采用多媒体教学手段。

对概念的物理背景与几何意义可通过图形、动画展示；另一方面，多媒体教学使得教学更为直观，对于一些较复杂的图形可以清晰表达出来，教学更具动感，增强学生的学习兴趣，保证教学效果。

4．计划每周布置一次作业，作业内容主要是教材上课后习题。

5．在教学过程中，采用导学与精讲相结合，注重引入、启发式教学，同时介绍一定的数学史知识，激发学生的学习兴趣。

6．在教学过程中，每学期适当选择恰当内容1——2个开展研究性学习，以培养学生的科学研究能力。

六、课程考核与评价

1．考核方式及形式

考核方式：

考试

考核形式：

笔试

2．综合成绩的组成及评定标准：

每学期组织期中、期末考试各一次，期中考试占学期综合成绩10%，期末成绩占60%，平时成绩占30%（平时成绩的考核主要以学生的学习态度、课后习题的完成情况和出勤率为依据）。

七、教学参考资料

1．推荐教材与参考书：

[1]同济大学数学系编．高等数学（上、下册）．第六版．北京：

高等教育出版社,2007年．“普通高等教育十一五国家级规划教材”

[2]同济大学数学系编．高等数学附册学习辅导与习题选解．第六版（上下册合订本）．北京：

高等教育出版社,2007年．

2．参考文献：

[1]彭辉、吕成军.．高等数学习题详解．天津：

天津人民出版社，2008年．

[2]吴建成.高等数学．北京：

高等教育出版社，2005年．

[3]张荫南、童裕孙、朱弘鑫．高等数学.北京：

高等教育出版社，2000年．

[4]华东师范大学数学系编著．高等数学．第一版．北京：

高等教育出版社，1982年．

[5]同济大学应用数学系编著．《微积分》．第一版．北京：

高等教育出版社，2000年．

[6]2010年至2013年各年研究生入学考试高等数学一和高等数学二考试大纲．

《高等数学

（2）》教学大纲

一、课程基本信息

课程代码：

211113002

课程名称：

高等数学/AdvancedMathematics

课程性质：

必

课程类别：

学科基础课

总学时：

72总学时

总学分：

4

二、课程描述

　　《高等数学》是面向我校理、工科各个专业的一门学科基础课程，它是为培养现代化建设所需要的高质量专门人才服务的，具有很强的基础性、理论性、抽象性、逻辑性，是所涉专业的学生进入大学以后学习的第一门理论性非常强的基础课程，共168个学时，第一学期96学时，第二学期72学时。

高等数学课程的教学内容主要包括一元函数微积分、多元函数微积分、空间解析几何、无穷级数、微分方程。

通过本课程的学习，不仅使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论、基本方法和基本运算技能，逐步培养和提高学生在抽象概括、逻辑推理等方面的能力，特别是培养学生综合运用所学数学知识去分析问题和解决问题的能力。

因此，高等数学课的教学不仅关系到学生在整个大学以至于研究生期间的学习水平，而且还关系到培养学生的科学思想方法和分析解决问题的能力和他们的文化素质。

三、课程目标

　　根据高等数学的学科特点，在教学过程中应注重数学思想的渗透，在对学生进行知识、能力、情感素质教育时，应根据学生的专业特点其侧重点不同，特别是数学的知识性、科学性、应用性的体现程度不同时，采用不同的数学思想。

由于数学的思维方式分为逻辑思维和形象思维，理、工科学生的逻辑思维能力较强，但形象思维方式解决问题的能力较弱，根据学生的不同学科特点，既应注重学生的认知结构和认知规律的建构，同时对理、工科学生应加强形象思维能力的培养，注重各专业之间的渗透，在教学中不断改进教学方法，精心设计每一个教学环节,积极引入先进的教学手段，推动教学方法的改革和创新。

基于以上目的，就学生学习的知识性目标、技能性目标和情感性目标等三个方面提出要求。

1．知识性目标：

通过本课程的知识教学与知识学习，使学生正确理解和掌握多元的函数、极限、连续、空间解析几何初步、多元微积分学、无穷级数等方面的基本概念、基本知识和基本计算方法，逐步理解和掌握多元微积分的原理及其应用，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础，同时，为今后从事应用研究和技术开发及教学工作打下坚实的知识基础。

2．技能性目标：

通过本课程的教学与学习，使学生能模拟求多元函数的极限、求偏导、求多重积分和级数展开等方法并再现解题（解决问题）过程；通过学生的独立思考，能利用多元微积分方法和级数展开解决一些实际问题，从而培养良好的自学能力。

逐步形成一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，并逐步形成初步的数学建模能力。

3．情感性目标：

通过本课程的学习让学生感受到数学不是孤立的，它是来源于实践又服务于实践的；让学生领悟有限到无限、特殊到一般、离散到连续等数学思想；使学生形成良好的学习习惯和思维习惯，具备一定的数学素养；形成坚强的意志品格、严谨的思维习惯、实事求是的优良作风；逐步形成勇于探究、敢于创新的思想意识和良好的团队合作精神，从而形成辩证唯物主义世界观。

四、课程内容

第八章空间解析几何与向量代数（14学时）

【主要内容】

第一节向量及其线性运算

向量的概念；向量的线性运算；空间直角坐标系；向量的坐标表达式及其运算；两向量的夹角；两向量垂直、平行的条件；向量的模、单位向量、方向角、方向数与方向余弦、投影。

第二节数量积向量积

向量的数量积；向量的向量积；*向量的混合积。

第三节曲面及其方程

曲面方程的概念；球面、柱面、旋转曲面、常用的二次曲面方程及其图形。

第四节空间曲线及其方程

空间曲线方程的概念；空间曲线的一般方程；空间曲线的参数方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

第五节平面及其方程

平面的点法式方程；平面的一般方程；两平面的夹角以及平行、垂直的条件；点到平面的距离。

第六节空间直线及其方程

空间直线的一般方程；空间直线的对称式方程与参数方程；直线与直线、直线与平面的夹角以及平行、垂直的条件；点到直线的距离。

【目的要求】

1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。

3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4.掌握平面方程和直线方程及其求法。

5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6．会求点到直线以及点到平面的距离。

7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。

9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

【重点与难点】

1.点到直线、平面的距离；

2．曲面的方程。

第九章多元函数微分法及其应用（18学时）

【主要内容】

第一节多元函数的基本概念

平面点集；n维空间；多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限与连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质。

第二节偏导数

多元函数的偏导数的定义及其计算法；二阶偏导数。

第三节全微分及其应用

多元函数的全微分的定义；全微分存在的必要条件和充分条件；8全微分在近似计算中的应用。

第四节多元复合函数的求导法则

多元复合函数求导的链式法则。

第五节隐函数的求导公式

多元隐函数的求导法；一个方程的情形；方程组的情形。

第六节微分法在几何上的应用

空间曲线的切线与法平面；曲面的切平面与法线。

第七节方向导数与梯度

方向导数定义、求法；梯度定义、求法；二者联系。

第八节多元函数的极值及其求法

多元函数的极值和条件极值；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

【目的要求】

1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。

5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

【重点与难点】

1．多元复合函数的一阶、二阶偏导数；

2．某些简单应用的最大值和最小值。

第十章重积分（12学时）

【主要内容】

第一节二重积分的概念与性质

二重积分的概念；二重积分的性质。

第二节二重积分的计算法

利用直角坐标计算二重积分；利用极坐标计算二重积分。

第三节三重积分

三重积分的概念；三重积分的计算。

第四节重积分的应用

曲面的面积、质心、转动惯量、引力的计算。

【目的要求】

1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3．会用重积分求一些几何量（平面图形的面积、体积、曲面的面积等）与物理量（质量、重心、转动惯量、引力、功等）。

【重点与难点】

二重积分、三重积分的计算。

第十一章曲线积分与曲面积分（16学时）

【主要内容】

第一节对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分的概念与性质；对弧长的曲线积分的计算法。

第二节对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分的概念与性质；对坐标的曲线积分的计算法；两类曲线积分之间的关系。

第三节格林公式及其应用

格林公式定理；平面曲线积分与路径无关的条件；二元函数的全微分的原函数。

第四节对面积的曲面积分

对面积的曲面积分的概念与性质；对面积的曲面积分的计算法。

第五节对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分概念与性质；对坐标的曲面积分的计算法；两类曲面积分之间的关系。

第六节高斯（Gauss）公式

高斯公式定理，*散度的概念与计算。

第七节斯托克斯（Stokes）公式

斯托克斯公式定理；*旋度的概念与计算。

【目的要求】

1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2．掌握计算两类曲线积分的方法。

3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

4．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。

5．了解散度与旋度的概念，并会计算。

【重点与难点】

1.曲面积分的计算；

2.二元函数全微分的原函数的计算。

  第十二章无穷级数（12学时）

【主要内容】

第一节常数项级数的概念和性质

常数项级数的收敛与发散的概念；收敛级数的和的概念；级数的基本性质与收敛的必要条件。

第二节常数项级数的审敛法

几何级数与交错级数及其收敛性