西交大计算方法上机报告.docx
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西交大计算方法上机报告
计算方法（B）实验报告
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实验一三对角方程组Txf的求解
实验目的
掌握三对角方程组Txf求解的方法。
实验内容
求三对角方程组Txf的解，其中：
4-13
-14-12
TOOO，fM-1412
-143
三、算法组织设系数矩阵为三对角矩阵
biCi
a2b2c2a3b3C3
T
OOO
anibniCni
bn
则方程组Tx
f称为三对角方程组。
设矩阵T非奇异，T可分解为T=LU,其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，记
2.将Txf压缩为四个一维数组a、bi、C、di,ai>b、G是T的三对角线性方程组的三个对角，di是右端向量。
将分解矩阵压缩为三个一维数组
li、i、ri
3.对T做Crout分解（也可以用Doolittle分解）导出追赶法的计算步骤如下:
ibi,rici
fori2:
n
liai,i1，ibairi1，
riCi,yidili%1
end
4.回代求解x
xnyn/n
forin1:
1
Xi（YiGXi1）/i
end
5•停止，输出结果。
四、MATLAB程序
MATLA程序见附件1.
五、结果及分析
实验结果为：
x（1.00001.0000L1.00001.0000）T
实验二Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解线性方程组
实验目的
掌握Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解线性方程组的方法。
实验内容
用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解电路电流方程组，使各部分电流误差
均小于103。
28i1
3i2
10
%
38i2
10i3
0
10i2
253
15i4
0
15i3
45i4
0
5i2
30is0
二、算法组织
形如Axb的方程组，用Jacobi迭代求解x，算法组织如下:
1.
将系数矩阵A分解成对角元
D、下三角部分元
E和上三角部分兀F,于是
ADEF.
2.
由Axb（DE
F）xb
Dx（EF）xb
xD1（EF）xD1b。
3.
从而构成形如x（k1）
Gx（k）
d迭代格式：
x（k1）
D1（EF）x（k）D
1b
其中
GD1（EF）
dD1b
4.选取初始向量x（0）进行迭代计算。
5.当迭代后的解满足题中的约束条件maxx（k1）X（k）时迭代停止
1in
形如Axb的方程组，用Gauss—Seidel迭代求解x，算法组织如下:
1•将系数矩阵A分解成对角元D、下三角部分元
E和上三角部分元
F,于是
ADEF.
2.
由
Axb（DEF）xb（DE）xFxb
x（DE）1Fx（D
E）1b
3.
从而构成形如x（k1）Gx（k）d迭代格式：
x（k1）（DE）1Fx（k）（D
E）1b
其中
G（DE）1F
d
（D
E）1b
4.选取初始向量x（0）进行迭代计算。
5.当迭代后的解满足题中的约束条件
max
x（k1）x（k）
时迭代停止
四、MATLAB程序
MATLA程序见附件2,其中1为Jacobi迭代，2为Gauss-Seidel迭代。
五、结果及分析
Jacobi迭代结果：
方程组的解为x（0.36070.03350.01630.00540.0055）T
迭代次数i8
Gauss—Seidel迭代结果：
方程组的解为x（0.36070.03350.01660.00550.0056）T
迭代次数i4
由以上结果可知,达到相同的计算精度，Gauss—Seidel迭代比Jacobi迭代的速度快，Gauss—Seidel迭代比Jacobi迭代次数少。
实验三多项式插值及误差计算
一、实验目的
掌握多项式插值的原理和基本方法。
二、实验内容
1
已知f（x）-2（1x1），对n5,10,20
125x
2
a.计算函数f（x）在点x1-i,（i0,1,2丄，n）处的值f（xj;
n
b.求插值数据点xi,yi（i0,1,2丄，n）的Newton插值多项式Nn（x）和三次样条插值多项式Sn（x）；
2
c.对n5,20，计算xk1k,（k1:
10,90:
99）和相应的函数值
100
ykfXk,Nn（Xk）,Sn（Xk）;
d.计算ENnmaxykNnxk，ESnmaxykSnxk，解释所得到
kk
结果。
三、算法组织
（1）本题第一冋是简单的用matlab程序可以计算，算法很简单。
（2）本题在算法上第二问中的Newton插值多项式叫仪）和三次样条插值多项式&（X）。
计算两种插值多项式的算法如下：
1.求Newton插值多项式Nn（x），算法组织如下：
Newton插值多项式的表达式如下：
Nn（x）C0C1（XX。
）Cn（xX°）（XXj（XX.1）
其中每一项的系数Ci的表达式如下:
根据上述公式，为了得到系数需计算:
1一阶差商f[x°],f[X』,,f[Xn]
2）二阶差商f[X°,X1],f[N,X2】,f[Xn1,Xn]
3）n阶差商f[X0,X1,,Xn1],f[X1,,Xn1,Xn]
4）n+1阶差商f[X0,X1,,Xn1,Xn]
2.求三次样条插值多项式，算法组织如下:
所谓三次样条插值多项式Sn（X）是一种对区间进行分段的分段函数，然后在每一段上进行分析，即它在节点Xj（ax0x1xn1xnb）分成的每个小区间
因此,
只要确定了Mi的值，就确定了整个表达式,
Mj的计算方法如下:
[Xii,Xj]上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：
令:
hii
h
ihihii
」6』iyi%y「、一‘、
di（）6f（xiXXiJ
hihiihiihi
则Mi满足如下n-i个方程：
iMii2MiiMi1d，1,2,,n1方程中有n+1个未知量，则令M0和Mn分别为零，则由上面的方程组可
得到Mi（1in1）的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式Sn（x）o
（3）第三问和第四问的算法与第二问的算法类似，不再赘述。
四、MATLABg序
MATLA程序见附件3o
五、结果及分析
第一问
当n=5时，各节点及f（x）值为：
x（0）=-1,y（0）=3.846154e-02
x
（1）=-6.000000e-01,y
（1）=1.000000e-01
x
（2）=-2.000000e-01,y
（2）=5.000000e-01
x（3）=2.000000e-01,y（3）=5.000000e-01
x⑷=6.000000e-01,y⑷=1.000000e-01
x（5）=1,y（5）=3.846154e-02
当n=10寸,各节点及f（x）值为：
x（0）=-1,y（0）=3.846154e-02x
（1）=-8.000000e-01,y
（1）=5.882353e-02x
（2）=-6.000000e-01,y
（2）=1.000000e-01x（3）=-4.000000e-01,y（3）=2.000000e-01x（4）=-2.000000e-01,y（4）=5.000000e-01x（5）=0,y（5）=1x（6）=2.000000e-01,y（6）=5.000000e-01x（7）=4.000000e-01,y（7）=2.000000e-01x（8）=6.000000e-01,y（8）=1.000000e-01x（9）=8.000000e-01,y（9）=5.882353e-02x（10）=1,y（10）=3.846154e-02当n=20寸,各节点及f（x）值为：
x（0）=-1,y（0）=3.846154e-02x
（1）=-9.000000e-01,y
（1）=4.705882e-02x
（2）=-8.000000e-01,y
（2）=5.882353e-02x（3）=-7.000000e-01,y（3）=7.547170e-02x（4）=-6.000000e-01,y（4）=1.000000e-01x（5）=-5.000000e-01,y（5）=1.379310e-01x（6）=-4.000000e-01,y（6）=2.000000e-01x（7）=-3.000000e-01,y（7）=3.076923e-01x（8）=-2.000000e-01,y（8）=5.000000e-01x（9）=-1.000000e-01,y（9）=8.000000e-01x（10）=0,y（10）=1x（11）=1.000000e-01,y（11）=8.000000e-01x（12）=2.000000e-01,y（12）=5.000000e-01x（13）=3.000000e-01,y（13）=3.076923e-01x（14）=4.000000e-01,y（14）=2.000000e-01
x（15）=5.000000e-01,y（15）=1.379310e-01
x（16）=6.000000e-01,y（16）=1.000000e-01
x（17）=7.000000e-01,y（17）=7.547170e-02
x（18）=8.000000e-01,y（18）=5.882353e-02x（19）=9.000000e-01,y（19）=4.705882e-02x（20）=1,y（20）=3.846154e-02
第二问牛顿插值算法当n=5时
Newton插值多项式的系数分别为：
c[0]=3.846154e-02
c[1]=1.538462e-01
c[2]=1.057692e+00
c[3]=-1.923077e+00
c[4]=1.201923e+00
c[5]=-5.551115e-16
当n=10时
Newton插值多项式的系数分别为：
c[0]=3.846154e-02
c[1]=1.018100e-01
c[2]=2.601810e-01
c[3]=7.918552e-01
c[4]=2.686652e+00
c[5]=-6.363122e+00
c[6]=-1.767534e+01
c[7]=8.484163e+01
c[8]=-1.679157e+02
c[9]=2.209417e+02
c[10]=-2.209417e+02
当n=20时
Newtonf插值多项式的系数分别为：
c[0]=3.846154e-02
c[1]=8.597285e-02
c[2]=1.583710e-01
c[3]=2.860070e-01
c[4]=5.335952e-01
c[5]=1.037751e+00
c[6]=2.001902e+00
c[7]=2.796775e+00
c[8]=-7.543931e+00
c[9]=-1.011991e+02
c[10]=-6.439941e+01
c[11]=2.152780e+03
c[12]=-7.267934e+03
c[13]=1.139374e+04
c[14]=-3.538429e+03
c[15]=-2.830744e+04
c[16]=8.669152e+04
c[17]=-1.592293e+05
c[18]=2.237536e+05
c[19]=-2.601786e+05
c[20]=2.601786e+05
三次样条插值算法当n=5时，取边界条件为自然样条的三次样条插值多项式的系数分别为：
4.1296
-3.8259
-3.8259
4.1296
0
当n=10寸，取边界条件为自然样条的三次样条插值多项式的系数分别为:
m=
0
0.4101
1.4820
2.4856
18.5755
-46.7878
18.5755
2.4856
1.4820
0.4101
0
当n=20寸，取边界条件为自然样条的三次样条插值多项式的系数分别为:
0
0.3615
0.4543
0.7514
1.2681
2.2177
4.3438
7.7810
15.3016
-4.3719
-57.8141
-4.3719
15.3016
7.7810
4.3438
2.2177
1.2681
0.7514
0.4543
0.36150
第三问
当n=5时，给定点xi的f（xi）,N（xi）,S（xi）,分别为：
x
（1）=-9.800000e-01,f=3.998401e-02,N=1.369250e-02,
S=3.604615e-02
x
（2）=-9.600000e-01,
S=3.371336e-02
f=4.159734e-02,
N=-6.920000e-03,
x（3）=-9.400000e-01,
S=3.154575e-02
f=4.330879e-02,
N=-2.359981e-02,
x（4）=-9.200000e-01,
S=2.962591e-02
f=4.512635e-02,
N=-3.656615e-02,
x（5）=-9.000000e-01,
S=2.803644e-02
f=4.705882e-02,
N=-4.603365e-02,
x（6）=-8.800000e-01,
S=2.685992e-02
f=4.911591e-02,
N=-5.221231e-02,
x（7）=-8.600000e-01,
S=2.617895e-02
f=5.130836e-02,
N=-5.530750e-02,
x（8）=-8.400000e-01,
S=2.607611e-02
f=5.364807e-02,
N=-5.552000e-02,
x（9）=-8.200000e-01,
S=2.663401e-02
f=5.614823e-02,
N=-5.304596e-02,
x（10）=-8.000000e-01,
S=2.793522e-02
f=5.882353e-02,
N=-4.807692e-02,
x（11）=-7.800000e-01,
S=3.006235e-02
f=6.169031e-02,
N=-4.079981e-02,
x（12）=-7.600000e-01,
S=3.309798e-02
f=6.476684e-02,
N=-3.139692e-02,
x（13）=-7.400000e-01,
S=3.712470e-02
f=6.807352e-02,
N=-2.004596e-02,
x（14）=-7.200000e-01,
S=4.222510e-02
f=7.163324e-02,
N=-6.920000e-03,
x（15）=-7.000000e-01,
S=4.848178e-02
f=7.547170e-02,
N=7.812500e-03,
x（16）=-6.800000e-01,
S=5.597733e-02
f=7.961783e-02,
N=2.398769e-02,
x（17）=-6.600000e-01,
S=6.479433e-02
f=8.410429e-02,
N=4.144635e-02,
x（18）=-6.400000e-01,
S=7.501538e-02
f=8.896797e-02,
N=6.003385e-02,
x（19）=-6.200000e-01,
S=8.672308e-02
f=9.425071e-02,
N=7.960019e-02,
x（20）=-6.000000e-01,
S=1.000000e-01
f=1.000000e-01,
N=1.000000e-01,
x（21）=-5.800000e-01,
S=1.148885e-01
f=1.062699e-01,
N=1.210925e-01,
x（22）=-5.600000e-01,
S=1.312696e-01
f=1.131222e-01,
N=1.427415e-01,
x（23）=-5.400000e-01,
S=1.489844e-01
f=1.206273e-01,
N=1.648156e-01,
x（24）=-5.200000e-01,
S=1.678737e-01
f=1.288660e-01,
N=1.871877e-01,
x（25）=-5.000000e-01,
S=1.877783e-01
f=1.379310e-01,
N=2.097356e-01,
x（26）=-4.800000e-01,
S=2.085393e-01
f=1.479290e-01,
N=2.323415e-01,
x（27）=-4.600000e-01,
S=2.299974e-01
f=1.589825e-01,
N=2.548925e-01,
x（28）=-4.400000e-01,
S=2.519935e-01
f=1.712329e-01,
N=2.772800e-01,
x（29）=-4.200000e-01,
S=2.743686e-01
f=1.848429e-01,
N=2.994002e-01,
x（30）=-4.000000e-01,
S=2.969636e-01
f=2.000000e-01,
N=3.211538e-01,
x（31）=-3.800000e-01,
S=3.196192e-01
f=2.169197e-01,
N=3.424463e-01,
x（32）=-3.600000e-01,
S=3.421765e-01
f=2.358491e-01,
N=3.631877e-01,
x（33）=-3.400000e-01,
S=3.644763e-01
f=2.570694e-01,
N=3.832925e-01,
x（34）=-3.200000e-01,
S=3.863595e-01
f=2.808989e-01,
N=4.026800e-01,
x（35）=-3.000000e-01,
f=3.076923e-01,
N=4.212740e-01,
x（36）=-2.800000e-01,
S=4.282397e-01
f=3.378378e-01,
N=4.390031e-01,
x（37）=-2.600000e-01,
S=4.479184e-01
f=3.717472e-01,
N=4.558002e-01,
x（38）=-2.400000e-01,
S=4.665441e-01
f=4.098361e-01,
N=4.716031e-01,
x（39）=-2.200000e-01,
S=4.839577e-01
f=4.524887e-01,
N=4.863540e-01,
x（40）=-2.000000e-01,
S=5.000000e-01
f=5.000000e-01,
N=5.000000e-01,
x（41）=-1.800000e-01,
S=5.145385e-01
f=5.524862e-01,
N=5.124925e-01,
x（42）=-1.600000e-01,
S=5.275466e-01
f=6.097561e-01,
N=5.237877e-01,
x（43）=-1.400000e-01,
S=5.390243e-01
f=6.711409e-01,
N=5.338463e-01,
x（44）=-1.200000e-01,
S=5.489717e-01
f=7.352941e-01,
N=5.426338e-01,
x（45）=-1.000000e-01,
S=5.573887e-01
f=8.000000e-01,
N=5.501202e-01,
x（46）=-8.000000e-02,
S=5.642753e-01
f=8.620690e-01,
N=5.562800e-01,
x（47）=-6.000000e-02,
S=5.696316e-01
f=9.174312e-01,
N=5.610925e-01,
x（48）=-4.000000e-02,
S=5.734575e-01
f=9.615385e-01,
N=5.645415e-01,
x（49）=-2.000000e-02,
f=9.900990e-01,
N=5.666156e-01,
S=5.757530e-01
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