最新研究生考试上海同济大学高等数学知识点归纳汇总.docx
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最新研究生考试上海同济大学高等数学知识点归纳汇总
2010研究生考试--上海同济大学高等数学知识点归纳
第一讲:
极限与连续
一.数列函数:
1.类型:
（1）数列:
*«SkipRecordIf...»;*«SkipRecordIf...»
（2）初等函数:
（3）分段函数:
*«SkipRecordIf...»;*«SkipRecordIf...»;*
（4）复合（含«SkipRecordIf...»）函数:
«SkipRecordIf...»
（5）隐式（方程）:
«SkipRecordIf...»
（6）参式（数一,二）:
«SkipRecordIf...»
（7）变限积分函数:
«SkipRecordIf...»
（8）级数和函数（数一,三）:
«SkipRecordIf...»
2.特征（几何）:
（1）单调性与有界性（判别）;（«SkipRecordIf...»单调«SkipRecordIf...»定号）
（2）奇偶性与周期性（应用）.
3.反函数与直接函数:
«SkipRecordIf...»
二.极限性质:
1.类型:
*«SkipRecordIf...»;*«SkipRecordIf...»（含«SkipRecordIf...»）;*«SkipRecordIf...»（含«SkipRecordIf...»）
2.无穷小与无穷大（注:
无穷量）:
3.未定型:
«SkipRecordIf...»
4.性质:
*有界性,*保号性,*归并性
三.常用结论:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
四.必备公式:
1.等价无穷小:
当«SkipRecordIf...»时,
«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»
2.泰勒公式:
（1）«SkipRecordIf...»;
（2）«SkipRecordIf...»;
（3）«SkipRecordIf...»;
（4）«SkipRecordIf...»;
（5）«SkipRecordIf...».
五.常规方法:
前提:
（1）准确判断«SkipRecordIf...»（其它如:
«SkipRecordIf...»）;
（2）变量代换（如:
«SkipRecordIf...»）
1.抓大弃小«SkipRecordIf...»,
2.无穷小与有界量乘积（«SkipRecordIf...»）（注:
«SkipRecordIf...»）
3.«SkipRecordIf...»处理（其它如:
«SkipRecordIf...»）
4.左右极限（包括«SkipRecordIf...»）:
（1）«SkipRecordIf...»;
（2）«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»;（3）分段函数:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
5.无穷小等价替换（因式中的无穷小）（注:
非零因子）
6.洛必达法则
（1）先”处理”,后法则（«SkipRecordIf...»最后方法）;（注意对比:
«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»）
（2）幂指型处理:
«SkipRecordIf...»（如:
«SkipRecordIf...»）
（3）含变限积分;
（4）不能用与不便用
7.泰勒公式（皮亚诺余项）:
处理和式中的无穷小
8.极限函数:
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»分段函数）
六.非常手段
1.收敛准则:
（1）«SkipRecordIf...»
（2）双边夹:
*«SkipRecordIf...»,*«SkipRecordIf...»
（3）单边挤:
«SkipRecordIf...»*«SkipRecordIf...»*«SkipRecordIf...»*«SkipRecordIf...»
2.导数定义（洛必达?
）:
«SkipRecordIf...»
3.积分和:
«SkipRecordIf...»,
4.中值定理:
«SkipRecordIf...»
5.级数和（数一三）:
（1）«SkipRecordIf...»收敛«SkipRecordIf...»,（如«SkipRecordIf...»）
（2）«SkipRecordIf...»,
（3）«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»同敛散
七.常见应用:
1.无穷小比较（等价,阶）:
*«SkipRecordIf...»
（1）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»
2.渐近线（含斜）:
（1）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»,（«SkipRecordIf...»）
3.连续性:
（1）间断点判别（个数）;
（2）分段函数连续性（附:
极限函数,«SkipRecordIf...»连续性）
八.«SkipRecordIf...»上连续函数性质
1.连通性:
«SkipRecordIf...»（注:
«SkipRecordIf...»,“平均”值:
«SkipRecordIf...»）
2.介值定理:
（附:
达布定理）
（1）零点存在定理:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»（根的个数）;
（2）«SkipRecordIf...».
第二讲:
导数及应用（一元）（含中值定理）
一.基本概念:
1.差商与导数:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（1）«SkipRecordIf...»（注:
«SkipRecordIf...»连续）«SkipRecordIf...»）
（2）左右导:
«SkipRecordIf...»;
（3）可导与连续;（在«SkipRecordIf...»处,«SkipRecordIf...»连续不可导;«SkipRecordIf...»可导）
2.微分与导数:
«SkipRecordIf...»
（1）可微«SkipRecordIf...»可导;
（2）比较«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»的大小比较（图示）;
二.求导准备:
1.基本初等函数求导公式;（注:
«SkipRecordIf...»）
2.法则:
（1）四则运算;
（2）复合法则;（3）反函数«SkipRecordIf...»
三.各类求导（方法步骤）:
1.定义导:
（1）«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»;
（2）分段函数左右导;（3）«SkipRecordIf...»
（注:
«SkipRecordIf...»,求:
«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»的连续性）
2.初等导（公式加法则）:
（1）«SkipRecordIf...»,求:
«SkipRecordIf...»（图形题）;
（2）«SkipRecordIf...»,求:
«SkipRecordIf...»（注:
«SkipRecordIf...»）
（3）«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»（待定系数）
3.隐式（«SkipRecordIf...»）导:
«SkipRecordIf...»
（1）存在定理;
（2）微分法（一阶微分的形式不变性）.
（3）对数求导法.
4.参式导（数一,二）:
«SkipRecordIf...»,求:
«SkipRecordIf...»
5.高阶导«SkipRecordIf...»公式:
«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»;
«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
注:
«SkipRecordIf...»与泰勒展式:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
四.各类应用:
1.斜率与切线（法线）;（区别:
«SkipRecordIf...»上点«SkipRecordIf...»和过点«SkipRecordIf...»的切线）
2.物理:
（相对）变化率«SkipRecordIf...»速度;
3.曲率（数一二）:
«SkipRecordIf...»（曲率半径,曲率中心,曲率圆）
4.边际与弹性（数三）:
（附:
需求,收益,成本,利润）
五.单调性与极值（必求导）
1.判别（驻点«SkipRecordIf...»）:
（1）«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»;
（2）分段函数的单调性
（3）«SkipRecordIf...»零点唯一;«SkipRecordIf...»驻点唯一（必为极值,最值）.
2.极值点:
（1）表格（«SkipRecordIf...»变号）;（由«SkipRecordIf...»的特点）
（2）二阶导（«SkipRecordIf...»）
注
（1）«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»的匹配（«SkipRecordIf...»图形中包含的信息）;
（2）实例:
由«SkipRecordIf...»确定点“«SkipRecordIf...»”的特点.
（3）闭域上最值（应用例:
与定积分几何应用相结合,求最优）
3.不等式证明（«SkipRecordIf...»）
（1）区别:
*单变量与双变量?
*«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»?
（2）类型:
*«SkipRecordIf...»;*«SkipRecordIf...»
*«SkipRecordIf...»;*«SkipRecordIf...»
（3）注意:
单调性«SkipRecordIf...»端点值«SkipRecordIf...»极值«SkipRecordIf...»凹凸性.（如:
«SkipRecordIf...»）
4.函数的零点个数:
单调«SkipRecordIf...»介值
六.凹凸与拐点（必求导!
）:
1.«SkipRecordIf...»表格;（«SkipRecordIf...»）
2.应用:
（1）泰勒估计;
（2）«SkipRecordIf...»单调;（3）凹凸.
七.罗尔定理与辅助函数:
（注:
最值点必为驻点）
1.结论:
«SkipRecordIf...»
2.辅助函数构造实例:
（1）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...»
（4）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;
3.«SkipRecordIf...»有«SkipRecordIf...»个零点«SkipRecordIf...»有«SkipRecordIf...»个零点
4.特例:
证明«SkipRecordIf...»的常规方法:
令«SkipRecordIf...»有«SkipRecordIf...»个零点（«SkipRecordIf...»待定）
5.注:
含«SkipRecordIf...»时,分家!
（柯西定理）
6.附（达布定理）:
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»可导,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,使:
«SkipRecordIf...»
八.拉格朗日中值定理
1.结论:
«SkipRecordIf...»;（«SkipRecordIf...»）
2.估计:
«SkipRecordIf...»
九.泰勒公式（连接«SkipRecordIf...»之间的桥梁）
1.结论:
«SkipRecordIf...»;
2.应用:
在已知«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»值时进行积分估计
十.积分中值定理（附:
广义）:
[注:
有定积分（不含变限）条件时使用]
第三讲:
一元积分学
一.基本概念:
1.原函数«SkipRecordIf...»:
（1）«SkipRecordIf...»;
（2）«SkipRecordIf...»;（3）«SkipRecordIf...»
注
（1）«SkipRecordIf...»（连续不一定可导）;
（2）«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»连续）
2.不定积分性质:
（1）«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»
二.不定积分常规方法
1.熟悉基本积分公式
2.基本方法:
拆（线性性）
«SkipRecordIf...»
3.凑微法（基础）:
要求巧,简,活（«SkipRecordIf...»）
如:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
4.变量代换:
（1）常用（三角代换,根式代换,倒代换）:
«SkipRecordIf...»
（2）作用与引伸（化简）:
«SkipRecordIf...»
5.分部积分（巧用）:
（1）含需求导的被积函数（如«SkipRecordIf...»）;
（2）“反对幂三指”:
«SkipRecordIf...»
（3）特别:
«SkipRecordIf...»（*已知«SkipRecordIf...»的原函数为«SkipRecordIf...»;*已知«SkipRecordIf...»）
6.特例:
（1）«SkipRecordIf...»;
（2）«SkipRecordIf...»快速法;（3）«SkipRecordIf...»
三.定积分:
1.概念性质:
（1）积分和式（可积的必要条件:
有界,充分条件:
连续）
（2）几何意义（面积,对称性,周期性,积分中值）
*«SkipRecordIf...»;*«SkipRecordIf...»
（3）附:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»）
（4）定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重
2:
变限积分«SkipRecordIf...»的处理（重点）
（1）«SkipRecordIf...»可积«SkipRecordIf...»连续,«SkipRecordIf...»连续«SkipRecordIf...»可导
（2）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»
（3）由函数«SkipRecordIf...»参与的求导,极限,极值,积分（方程）问题
3.«SkipRecordIf...»公式:
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上必须连续!
）
注:
（1）分段积分,对称性（奇偶）,周期性
（2）有理式,三角式,根式
（3）含«SkipRecordIf...»的方程.
4.变量代换:
«SkipRecordIf...»
（1）«SkipRecordIf...»,
（2）«SkipRecordIf...»（如:
«SkipRecordIf...»）
（3）«SkipRecordIf...»,
（4）«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»,
（5）«SkipRecordIf...»,
5.分部积分
（1）准备时“凑常数”
（2）已知«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时,求«SkipRecordIf...»
6.附:
三角函数系的正交性:
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
四.反常积分:
1.类型:
（1）«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»连续）
（2）«SkipRecordIf...»:
（«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处为无穷间断）
2.敛散;
3.计算:
积分法«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»公式«SkipRecordIf...»极限（可换元与分部）
4.特例:
（1）«SkipRecordIf...»;
（2）«SkipRecordIf...»
五.应用:
（柱体侧面积除外）
1.面积,
（1）«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»;
（3）«SkipRecordIf...»;（4）侧面积:
«SkipRecordIf...»
2.体积:
（1）«SkipRecordIf...»;
（2）«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»
3.弧长:
«SkipRecordIf...»
（1）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...»:
«SkipRecordIf...»
4.物理（数一,二）功,引力,水压力,质心,
5.平均值（中值定理）:
（1）«SkipRecordIf...»;
（2）«SkipRecordIf...»,（«SkipRecordIf...»以«SkipRecordIf...»为周期:
«SkipRecordIf...»）
第四讲:
微分方程
一.基本概念
1.常识:
通解,初值问题与特解（注:
应用题中的隐含条件）
2.变换方程:
（1）令«SkipRecordIf...»（如欧拉方程）
（2）令«SkipRecordIf...»（如伯努利方程）
3.建立方程（应用题）的能力
二.一阶方程:
1.形式:
（1）«SkipRecordIf...»;
（2）«SkipRecordIf...»;（3）«SkipRecordIf...»
2.变量分离型:
«SkipRecordIf...»
（1）解法:
«SkipRecordIf...»
（2）“偏”微分方程:
«SkipRecordIf...»;
3.一阶线性（重点）:
«SkipRecordIf...»
（1）解法（积分因子法）:
«SkipRecordIf...»
（2）变化:
«SkipRecordIf...»;
（3）推广:
伯努利（数一）«SkipRecordIf...»
4.齐次方程:
«SkipRecordIf...»
（1）解法:
«SkipRecordIf...»
（2）特例:
«SkipRecordIf...»
5.全微分方程（数一）:
«SkipRecordIf...»且«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
6.一阶差分方程（数三）:
«SkipRecordIf...»
三.二阶降阶方程
1.«SkipRecordIf...»:
«SkipRecordIf...»
2.«SkipRecordIf...»:
令«SkipRecordIf...»
3.«SkipRecordIf...»:
令«SkipRecordIf...»
四.高阶线性方程:
«SkipRecordIf...»
1.通解结构:
（1）齐次解:
«SkipRecordIf...»
（2）非齐次特解:
«SkipRecordIf..
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