最新初一讲义2二元一次方程组及实际应用.docx
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最新初一讲义2二元一次方程组及实际应用
一对一辅导讲义
年级：
初一辅导科目：
数学课时数：
3
学生姓名：
教师姓名：
翟利利上课时间：
2014-
课题
二元一次方程组的解法及实际应用
教学目的
1、了解本节所要学习的主要知识内容，对学习的知识做到心中有数。
2、针对学生以往学习的优势和不足，能够有针对性地进行预习、复习
教学内容
复习二元一次方程组的解法：
（一）二元一次方程组的解法通常有两种方法，分别是：
和
（二）解下列方程组：
（1）解方程组
（2）
（3）若等式
中的x、y满足方程组
，求
mn的值。
知识点一：
列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“”转化为“”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：
（1）方程两边表示的是；
（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.
知识点二：
列方程解应用题中常用的基本等量关系
（一）行程问题：
（1）追及问题:
追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是而行。
这类问题比较直观，画线段图便于理解、分析。
其等量关系式是：
两者的行程的＝开始时两者相距的路程；路程＝×时间；速度＝；时间＝。
（2）相遇问题:
相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是而行。
这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解、分析。
这类问题的等量关系是：
双方所走的路程之＝总路程。
（3）航行问题:
①船在静水中的速度＋＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝；
③顺水速度－逆水速度＝×水速。
注意：
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
（二）工程问题：
×工作时间=工作量.
（三）商品销售利润问题：
（1）利润＝－成本（进价）；
（2）
；
（3）利润＝成本（进价）×；
（4）标价＝成本（进价）×（1＋）；
（5）实际售价＝标价×打折率；
注意：
“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）
（四）储蓄问题：
（1）基本概念
①本金：
顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息：
银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：
本金与的和叫做本息和。
④期数：
存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：
每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：
利息的税款叫做利息税。
（2）基本关系式
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）
③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息＝利息×（1－利息税率）
⑤年利率＝月利率×
⑥月利率＝×
。
注意：
免税利息=利息
（五）产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例
（六）增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：
原量×（1＋增长率）＝增长后的量；
原量×（1－减少率）＝减少后的量.
（七）和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：
较大量＝＋多余量，总量＝倍数×倍量.
（八）数字问题：
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时，奇数可表示为（或），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：
两位数=十位数字
+个位数字
（九）浓度问题：
溶液质量×浓度=.
（十）几何问题：
解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式。
（十一）年龄问题：
解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等的，两人的是永远不会变的。
（十二）优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
注意：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点；比较几种方案得出最佳方案。
知识点三：
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：
（1）审题:
弄清题意及题目中的数量关系；
（2）设未知数:
可直接设元，也可间接设元；
（3）找出题目中的关系；
（4）列出方程组:
根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；
（5）解所列的方程组，并检验解的正确性；
（6）写出答案.
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
解答步骤简记为：
问题
方程组
解答
（4）列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系；
②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；
③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；
④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；
⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；
⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
经典例题
类型一：
列二元一次方程组解决行程问题
例1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
思路点拨：
画直线型示意图理解题意：
这里有两个未知数：
（1）汽车的行程；
（2）拖拉机的行程.
有两个等量关系：
（1）相向而行：
汽车行驶
小时的路程＋拖拉机行驶
小时的路程＝千米；
（2）同向而行：
汽车行驶
小时的路程＝拖拉机行驶
小时的路程.
举一反三：
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
类型二：
列二元一次方程组解决工程问题
☆例2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
思路点拨：
本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：
若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：
若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。
设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.
举一反三：
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？
请你说明理由.
类型三：
列二元一次方程组解决商品销售利润问题
例3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？
思路点拨：
做此题的关键要知道：
利润＝进价×利润率
举一反三：
【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
【变式2】
某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
（注：
获利=售价—进价）
求该商场购进A、B两种商品各多少件？
类型四：
列二元一次方程组解决银行储蓄问题
例4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？
（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）
思路点拨：
设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：
教育储蓄
一年定期
合计
现在
x
y
一年后
举一反三：
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？
（注：
公民应缴利息所得税=利息金额×20%）
思路点拔：
扣税的情况：
本金×年利率×（1-20%）×年数=利息（利息所得税=利息金额×20%）.不扣税时：
利息=本金×年利率×年数.
【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
类型五：
列二元一次方程组解决生产中的配套问题
例5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
思路点拨：
本题的第一个相等关系比较容易得出：
衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：
别把2倍的关系写反了）.
举一反三：
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
思路点拨：
两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数，两个相等关系是：
①制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190；②制盒身个数的2倍=制盒底个数.
【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。
现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？
能配多少张方桌？
类型六：
列二元一次方程组解决增长率问题
例6．某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
思路点拨：
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
x
y
200
今年
根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。
举一反三：
【变式】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
思考：
本问题还有没有其它的设法？
【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
思路点拨：
由题意得两个等式关系，两个相等关系为：
（1）城镇人口+农村人口=42万
（2）城镇人口×（1+0.8%）+农村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%）
类型七：
列二元一次方程组解决和差倍分问题
例7．（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
思路点拨：
找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。
举一反三：
【变式1】（2011年北京门头沟区中考一模试题）“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．
【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
思路点拨：
本题关键之一是：
小孩子看游泳帽时只看到别人的，没看到自己的帽子。
关键之二是：
两个等式，列等式要看到重点语句，第一句：
每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；第二句：
每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍。
找到已知量和未知量根据这两句话列两个方程。
类型八：
列二元一次方程组解决数字问题
例8.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
思路点拨：
设较大的两位数为x，较小的两位数为y。
问题1：
在较大的两位数的右边写上较小的两位数，
所写的数可表示为：
100x＋y
问题2：
在较大数的左边写上较小的数，
所写的数可表示为：
100y＋x
举一反三：
【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？
【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
类型九：
列二元一次方程组解决浓度问题
例9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
思路点拨：
本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：
（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；
（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比。
解法一：
解法二：
举一反三：
【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需
多少？
思路点拨：
配制盐水前后有两个等量关系式解此题的关键，等量关系一：
配制盐水前后盐的含量相等；等量关系二：
配制盐水前后盐水的总重量相等。
【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？
思路点拨：
注意稀释前后溶液的质量保持不变，溶质的质量保持不变。
类型十：
列二元一次方程组解决几何问题
例10．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
思路点拨：
初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条
宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二
元一次方程组。
举一反三：
【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
思路点拨：
此题隐含两个可用的等量关系，其一长方形的周长为铁丝的长48厘米，第二个等量关系是长方形的长剪掉3厘米补到短边去，得到正方形，即是长边截掉3厘米等于短边加上3厘米。
do/does做diddone【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？
have/has有hadhad
6.含有元音字母o/i的词，将o/i变成a。
如：
sing—sang,give—gave,sit—sat,drink—drank
understand了解understoodunderstood
sweep打扫sweptswept
misunderstand误会misunderstoodmisunderstood
类型十一：
列二元一次方程组解决年龄问题
wind缠绕；上发条woundwound例11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
思路点拨：
解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁。
今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程。
undergo经受underwentundergone
broadcast播放broadcastbroadcast举一反三：
bite咬bitbitten/bit【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
思路点拨：
本题的关键是两句话，第一句：
小李的年龄是他爷爷的五分之一；第二句：
他的年龄变成爷爷的三分之一。
把未知数设出来，已知量和未知量根据这两句话列两个方程。
类型十二：
列二元一次方程组解决优化方案问题：
例12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：
如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案。
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：
尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：
将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成。
你认为选择哪种方案获利最多？
为什么？
思路点拨:
如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题.本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.
举一反三：
【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：
甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
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