剩余类环上的多项式环及因式分解和可约性.docx
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剩余类环上的多项式环及因式分解和可约性
2014届本科毕业生毕业论文
题目=剩余类环巳2上的多项式环及因式分
解和可约性
学院：
专业班级
学生姓名：
指导教师：
答辩日期：
大学教务处
1引言1
2群，环的相关理论错误!
未定义书签。
2.1交换群，环的定义错误!
未定义书签。
2.2多项式环2
2.3剩余类环和模为2的剩余类环的证明3
2.4剩余类环上的多项式环5
3剩余类环上的因式分解及可约性5
3.1模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解，可约不可约性5
4结论10
附录11
参考文献11
致谢12
剩余类环5上的多项式环及因式分解和可约性
摘要：
给出群，交换群，环的定义，可逆元的判定；证明剩余类环Z2为环，构造剩余类环z2上的多项式环，给出剩余类环z2上的多项式环的因式分解及判断可约性。
关键字：
环；剩余类环；剩余类环上的多项式环；多项式环的因式分解；多项式环的可约性。
Factorizationofpolynomialringandtheresidueclassring
Z2decompositionandreducibility
Abstract:
Thispaperpresentsgroup,abeliangroups,rings,determinationofinvertibleelements;provetheresidueclassringring,polynomialringoverresidueclassrings,giventheresidueclassringringofpolynomialsfactorizationanddeterminethereducibility・
Keywords:
ring；residueclassring；polynomialringoverresidueclassrings；theringofpolynomialsfactorization；polynomialringreducibility・
1引言
19世纪以及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群，环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活跃的数学学科。
在1930年与1931年，荷兰数学家范徳瓦尔登先后出版了两卷本的德文专著ModerneAlgebra（近世代数）⑴。
目前，近世代数的理论，思想与方法已经浸透到数学的许多领域，并成为整个现代数学的主要组成部分。
模刃的剩余类环的问题不仅在近世代数中占有重要地位，也在解决生活实际问题时有一定的应用，学者们就对各种环进行了深入系统的的研究，并开辟了许多新的研究领域，取得了许多有意义的研究成果。
模刃剩余类环就是其中研究比较透切的一种特殊的环。
模的剩余类环为有限可换环，整环及域都提供了丰富的例证但其性质散见于各种论著之中。
然而，在高等代数里我们已经看到，全体整数对于数的加乘做成一个环。
本文我们进一步讨论整环，多项式环，模为2剩余类环，模为2的剩余类环上的多项式环的因式分解及可约性。
2群，环的相关理论
2.1交换群，环的定义，可逆的判定2.1.1群，交换群
定义4⑵设G是非空集合，在G上有一个代数运算，叫做乘法，对G的任意两个元“，乃，其运算的结果称为Q与b的积，记为c=ab,（in果还满足
1.结合律:
a（bc）=（ab）c,u,b,cWG.
2.有单位元e,使得ea=ae=a,\faGG
3.对每个aeG，有beG，使db=ba=e,b称为。
的一个逆元.
则称G为一个群.
当群G的运算满足交换律时，成G为交换群，这时也常把其运算记成加法,并称它是一个加（法）群（注意加群中零元相当于乘法群中的单位元，而负元相当于乘法群中的逆元）I2]o
2.1.2环的定义
定义⑶一个集合R叫做一个环•假如
1.R是一个加群，换句话说，R对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群；
2.对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；
3.这个乘法适合结合律；
a（bc）=（cib\
不管ci,b,c是R的哪三个元；
4.两个分配律成立：
a（h+c）=ab+ac
（h+c）a=ba+ca
不管cibc是7?
的哪三个元.
2.2多项式环
假定R）是一个有单位元的交换环，尺是凡的子环，并且包括R）的单位元。
我们在尺）里取出一个元x来，那么
aox°+fljX1+...+anxn=a0+...+anxn（qwR）
定义⑸一个可以写成他+4+..…（^.e/?
n>0）
形式的表达式，称为上的兀的一个多项式。
®•叫做多项式的系数。
现在我们把所有的人上的X的多项式放在一起，作为一个集体，这个集合我
们用R［x］来表示.我们要注意，对于ma（）+…+d/nx"1—c/（）+•••+ci/nxn,++...+Ox"
所以当我们只看R［兀］的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的系数都是一样的。
因此，尺［兀］的两个元相加相乘适合以下公式：
（ao+…+y"）+（bo+・.・+加"）=（°0+%）+・..+（%+b“）x"
（ao+…+e”x"'）（bo+...+b”x"）=Co+…+c,”+“x"'+"
这里Ck=aobk+axbk_x+...+%2=
+j=k
这两个式子告诉我们，对于加法和乘法来说都是闭的。
山于我们也有
_（a（）+...+a”x）=—a（）—...—cinxgR所以R卜］是一个环。
人卜］显然是&）包括R和x的最小子环。
定义⑸R［x］叫做R上的X的多项式环。
2.3剩余类环的定义和模为2的剩余类环的证明
2.3.1剩余类环的定义
本小节给出了剩余类环的定义，为证明模2的剩余类Z?
为环提供了理论基础。
给了一个环/?
和/?
的一个理想〃［附剥若我们只就加法来看，R作成一个群，“作成/?
的一个不变子群。
这样“的陪集［r/］,［Z7］,［€•］,...作成R的一个分类。
我们现在把这些类叫做模“的剩余类。
这个分类相当于R的元间的一个等价关系这个等价关系现在我们用符号“三〃（“）来表示⑼。
定理1⑼假定/?
是一个环，〃是它的一个理想，&是所有模〃的剩余类
做成的集合。
那么豆本身也是一个环，并且/?
与斤同态。
定义切臣叫做环R的模“的剩余类环。
这个环我们用R/"来表示。
2.3.2证明模2的剩余类乙是环
证明：
已知模2的剩余类山Z2={0,T}构成的一个集合.Z2对加法和乘法满足
下列运算表：
为方便记：
0=0,1=T,
㊉
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
（1）对X/a.b.ce乙
a+b=ceZ2成立
（对加法是封闭的）
⑵对X/a.b.ce乙
（a+b）+c=a+（b+c）成立（对加法满足结合律）
⑶对eZ2
d+"=0wZ2成立（存在零元）
⑷对Xfa.b.ceZ2
a+b=b+a（对加法满足交换律）
山⑴⑵⑶⑷可知Z?
对加法满足交环群.
⑸对\/a^b.ceZ2
ci-b=ceZ2（对乘法的代数运算是封闭的）
⑹对Xfa.b.ceN?
（7）对\fa.b^ceZ2
（对乘法满足两个结合律）
a{b+c）=ab+ac（b+c）a=ba+ca
山⑴⑵⑶⑷⑸⑹（7）可知Z2是环。
2.4剩余类环上的多项式环
我们已得出Z2是环而且是交换环。
定义②R为交换环,交换环
%={仏）,q,••,••Jd（）,d],…W&且只右限个^北。
}正是
7?
[H={q/"+务_1+•••+"（）I0斤为非负数，V（2/f,...67oGR},称为/?
上的多项式环。
所以可知，模为2的剩余类环Z2上的多项式环的形式为：
Z[x]={勺兀"+...+。
（）|V/1为非负数，V6f,f,...6F0GZ2},Z,={0,1}.
3剩余类环上的因式分解及可约性
3.1模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性
设/（x）eF[x],Vc€F,c^0,有c\f（x）,cf（x）\f（x）,
所以我们有以下面定义.
定义2.5.1⑷设f（x）eF[x]ycwF,c工0,我们称c与cf（x）为多项式7*（x）的平凡因式.
定义2.5.2⑷设/（x）eF[x],如果/（x）在F[x]中有非平凡因式，则称/（X）在Fk]中可约，否则称/（x）在F[x]中不可约.
定理2.4.3二X/f（x）eF[x],5°（/（x））=n>0,/（x）在尸卜]中都可以分解为不可约多项式的乘积.
证若/G）在尸卜]中不可约，则结论成立。
若/G）在F[x]中可约，则3/；（4.AWe尸卜归/心）•九G）且0<^0（/1（x））<5°（/2（x）r
此时迹有0<罗伉⑴）<5°（/⑴）.
若久（兀），乙（兀）都不可约，则结论成立.
若力（兀）或％（x）都不可约，则继续分解。
因为分解后的因式的次数降低，而一次多项式不可约，所以分解必会终止。
即
/（x）=Pl（x）p2（x）...pk（x）,Vre{1,2,...,k},pt\x）不可约.
故结论成立.
上节我们已给出模为2的剩余类环Z?
上的多项式环的形式
Z2[^]={f（X）=anX，1++-+6/0|V/1为非负数，
\/a“,...a（）eZ2},Z2={0,1}，模为2。
接下来我们讨论它的因式分解及可约性。
1.当X的最高次方为0时，f（x）=0,f（x）=i为常数多项式。
它为不可约多项
式C10]o
2•当X的最高次方为1时：
f（x）二X,f（x）=X+l最高次方为一时，
该多项式不可约。
3.当X的最高次方为2时，共有4个多项式：
（1）f（x）=x2=x-x
为可约多项式。
（2）f（x）=x2+1=x2—1=（x—lX-^+1）
为可约多项式。
（3）
f（x）=x2+x=x（x+1）
为可约多项式。
（4）
f（x）=x2+X+1
为不可约多项式。
.当X的最高次方为3时，共有8个多项式：
（1）
f（x）=X3=X•X•X
为可约多项式。
（2）
f（x）=x3+1=X5-1=（x-1）（x2+X+1）
为可约多项式。
（3）
f（x）=x3+x=x（x-1X^+1）
为可约多项式
（4）
f（x）=x3+X4-1
为不可约多项式
（5）
f（x）=X3+X2=X•x（x+1）
为可约多项式。
（6）
f（x）=兀'+x~+1
为不可约多项式。
（7）
f（x）=X3+X2+X=+X+1）
为可约多项式。
（8）
f（X）二X++X+1=（x++1X*+1）
为可约多项式。
为可约多项式。
（1）
4
5•当X的最高次方为4时，总有16个多
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