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1、剩余类环上的多项式环及因式分解和可约性2014届本科毕业生毕业论文题目=剩余类环巳2上的多项式环及因式分解和可约性学 院：专业班级学生姓名：指导教师：答辩日期：大学教务处1引言 12群，环的相关理论 错误!未定义书签。2.1交换群，环的定义 错误!未定义书签。2.2多项式环 22. 3剩余类环和模为2的剩余类环的证明 32.4剩余类环上的多项式环 53 剩余类环上的因式分解及可约性 53.1模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解，可约不可约性 54结论 10附录 11参考文献 11致谢 12剩余类环5上的多项式环及因式分解和可约性摘要：给出群，交换群，环的定义，可逆元的判定；证明剩余类环Z2为

2、 环，构造剩余类环z2上的多项式环，给出剩余类环z2上的多项式环的因式分 解及判断可约性。关键字：环；剩余类环；剩余类环上的多项式环；多项式环的因式分解；多 项式环的可约性。Factorization of polynomial ring and the residue class ringZ2 decomposition and reducibilityAbstract: This paper presents group, abelian groups, rings, determination of invertible elements; prove the residue class

3、 ring ring, polynomial ring over residue class rings, given the residue class ring ring of polynomials factorization and determine the reducibilityKeywords: ring； residue class ring； polynomial ring over residue class rings； the ring of polynomials factorization； polynomial ring reducibility1引言19世纪以

4、及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群， 环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活跃的数学 学科。在1930年与1931年，荷兰数学家范徳瓦尔登先后出版了两卷本的德文专著 Moderne Algebra (近世代数)。目前，近世代数的理论，思想与方法已经浸透 到数学的许多领域，并成为整个现代数学的主要组成部分。模刃的剩余类环的问题不仅在近世代数中占有重要地位，也在解决生活实际 问题时有一定的应用，学者们就对各种环进行了深入系统的的研究，并开辟了许 多新的研究领域，取得了许多有意义的研究成果。模刃剩余类环就是其中研究比 较透切的一种特殊的环。模的剩余类

5、环为有限可换环，整环及域都提供了丰富 的例证但其性质散见于各种论著之中。然而，在高等代数里我们已经看到，全体 整数对于数的加乘做成一个环。本文我们进一步讨论整环，多项式环，模为2剩 余类环，模为2的剩余类环上的多项式环的因式分解及可约性。2群，环的相关理论2.1交换群，环的定义，可逆的判定 2.1.1 群，交换群定义4 设G是非空集合，在G上有一个代数运算，叫做乘法，对G的任 意两个元“，乃，其运算的结果称为Q与b的积，记为c = ab, (in果还满足1.结合律:a(bc) = (ab)c, u,b,c WG.2.有单位元e,使得ea = ae = a , fa G G3.对每个a eG，有

6、beG，使d b = ba = e, b称为。的一个逆元.则称G为一个群.当群G的运算满足交换律时，成G为交换群，这时也常把其运算记成加法, 并称它是一个加(法)群(注意 加群中零元相当于乘法群中的单位元，而负元 相当于乘法群中的逆元)I2o2.1.2 环的定义定义一个集合R叫做一个环假如1.R是一个加群，换句话说，R对于一个叫做加法的代数运算来说做成一 个交换群；2.对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；3.这个乘法适合结合律；a(bc) = (cib不管ci,b,c是R的哪三个元；4.两个分配律成立：a(h + c) = ab + ac(h + c)a = ba + ca不管cibc是7

7、?的哪三个元.2.2 多项式环假定R)是一个有单位元的交换环，尺是凡的子环，并且包括R)的单位 元。我们在尺)里取出一个元x来，那么aox + fljX1 +. + anxn = a0 +. + anxn (q wR)定义 一个可以写成他+4+.(.e/?,n0)形式的表达式，称为上的兀的一个多项式。叫做多项式的系数。现在我们把所有的人上的X的多项式放在一起，作为一个集体，这个集合我们用Rx来表示.我们要注意，对于m0, /(x)在尸卜中都可以 分解为不可约多项式的乘积.证 若/G)在尸卜中不可约，则结论成立。若/G)在Fx中可约，则 3/；(4.A We 尸卜归/心)九G)且0 0(/1(x

8、)5(/2(x)r此时迹有 0 罗伉) 5(/).若久(兀)，乙(兀)都不可约，则结论成立.若力(兀)或(x)都不可约，则继续分解。因为分解后的因式的次数降低，而 一次多项式不可约，所以分解必会终止。即/(x)= Pl(x)p2(x).pk(x), Vr e 1,2,., k,ptx)不可约.故结论成立.上节我们已给出模为2的剩余类环Z?上的多项式环的形式Z2 = f(X)= anX，1 + + - + 6/0 | V/1 为非负数，/a“,.a()e Z2 , Z2 = 0,1 ，模为 2。接下来我们讨论它的因式分解及可约性。1.当X的最高次方为0时，f(x)=0, f(x)=i为常数多项式

9、。它为不可约多项式 C10o2当X的最高次方为1时：f(x)二X , f(x) = X + l最高次方为一时，该多项式不可约。3.当X的最高次方为2时，共有4个多项式：(1)f(x) = x2 =x-x为可约多项式。(2) f(x) = x2 +1 = x2 1 = (x lX- +1)为可约多项式。(3)f (x) =x2 + x = x(x + 1)为可约多项式。(4)f(x) = x2 +X + 1为不可约多项式。.当X的最高次方为3时，共有8个多项式：(1)f (x) = X3 = X X X为可约多项式。(2)f (x) = x3 + 1 = X5 -1 = (x -1 )(x2 + X + 1)为可约多项式。(3)f (x) = x3 + x = x(x-1X + 1)为可约多项式(4)f(x) = x3 +X4-1为不可约多项式(5)f (x) = X3 + X2 = X x(x + 1)为可约多项式。(6)f (x)=兀+ x + 1为不可约多项式。(7)f (x) = X3 + X2 + X = + X + 1)为可约多项式。(8)f(X)二 X + + X +1 = (x + + 1X* +1)为可约多项式。为可约多项式。(1)45当X的最高次方为4时，总有16个多