平面向量综合讲义.docx
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平面向量综合讲义
平面向量综合讲义
前言
【高考命题规律】
年份
题号
题型
考查内容
思想方法
分值
2011年
理10
选择题
向量积与三角函数、不等式
模平方
5分
文13
填空题
单位向量，向量垂直
方程思想
5分
2012年
理13
填空题
向量模长，夹角
模平方
5分
文15
填空题
向量模长，夹角
模平方
5分
2013年
理13
填空题
向量垂直
方程思想
5分
文13
填空题
向量垂直
方程思想
5分
2014年
理15
填空题
三点共线
数形结合思想
5分
文6
选择题
平面向量基本定理
数形结合思想
5分
2015年
理7
选择题
平面向量基本定理
数形结合思想
5分
文2
选择题
向量加减法
数形结合思想
5分
2016年
理13
填空题
模运算
模平方
5分
文13
填空题
垂直
方程思想
5分
2017年
理13
填空题
模运算，平方
模平方
5分
文13
填空题
垂直
方程思想
5分
全国Ⅰ卷向量主要以客观题形式出现，属于基础题，解决此类问题一要准确记忆公式，二要准确运算。
主要考察内容为向量的向量积运算以及坐标运算，涉及到模长问题牢记平方
（后．开．方．）的思路，便能直捣黄龙，一举破题。
另外，虽然这几年全国Ⅰ卷平面向量不涉及到较难知识以及能力考查，但是备考方面还是应当适当提高训练训练难度，如建系解决棘手
数量积问题等，至于等和线、奔驰定理、极化恒等式等进阶知识则因人因地因时制宜。
【基础知识】
一、向量的有关概念
1、向量:
既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）.
2、向量的表示方法:
（1）字母表示法:
如a,b,c,等.
（2）几何表示法:
用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.
（3）坐标表示法:
在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为
（x,y）,则（x,y）称为OA的坐标,记为OA=（x,y）.
注:
向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3、相等向量:
长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a
与b相等,记为a=b.
注:
向量不能比较大小
4、零向量:
长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.
5、单位向量:
长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.
6、共线（平行）向量:
方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.
规定:
0与任一向量共线..
7、相反向量:
长度相等且方向相反的向量.
二、向量的运算
1、三角形法则与平行四边形法则
OA+OB=OC，OB-OA=AB
注：
a-b≤a+b≤a+b
2、数乘运算
（1）规定：
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：
λa
（2）平面向量共线定理：
向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.
3、平面向量数量积
（1）a⋅b=abcosθ
（2）a在b方向上的投影为：
acosθ
2
a
22
（3）a=a⇔a=
向量夹角的确定：
向量a,b的夹角θ指的是将a,b的起点重合所成的角，θ∈[0,π]
4、平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2
（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量
⎧λ1=μ1
（2）唯一性：
若a=λ1e1+λ2e2且a=μ1e1+μ2e2，则⎨λ=μ
5、平面向量的坐标运算
（1）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则：
⎩22
a+b=（x1+x2,y1+y2）
λa=（λx1,λy1）
a-b=（x1-x2,y1-y2）
a//b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0
a⊥b⇔a⋅b=0⇔xx
+yy=0
cosθ=
a⋅b=
x1x2+y1y2
x2+y2⋅x2+y2
1122
1212
ab
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2），则：
AB=（x
-x,y-y）
（x-x）2+（y-y）2
21
21
AB=
2121
在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。
常见的可考虑建系的图形：
（1）具备对称性质的图形：
长方形，正方形，等边三角形，圆形
（2）带有直角的图形：
直角梯形，直角三角形
（3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120等）
6、模长
（1）有关模长的不等问题：
通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题
（2）利用几何法求模长的条件：
条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长
7、线段定比分点
（1）P1P2定比分点坐标公式:
设P1（x1,y1）、P2（x2,y2）、P（x,y），P1P=λPP2
⎧x=
则：
⎪
x1+λx2
1+λ
⎧x=
（λ≠-1）,特殊地，当λ=1时得中点坐标公式：
⎪
x1+x2
2
⎨y+λy⎨y+y
⎪y=12⎪y=12
⎩⎪1+λ
⎩⎪2
另外，注意一下定比分点的向量公式：
O为平面内任意一点，PP=λPP，则=OP1+λOP2（λ≠-1）.
12OP
1+λ
（2）三角形重心公式及推导（见课本例2）：
三角形重心公式：
（x1+x2+x3,y1+y2+y3）
33
8、点的平移公式
平移前的点为P（x,y）（原坐标），平移后的对应点为P'（x',y'）（新坐标），平移向量为
⎨y'=y+k.
PP'=（h,k），则⎧x'=x+h
⎩
，从而函数y=
f（x）的图像按向量a=（h,k）平移后的图像
的解析式为y-k=f（x-h）.
【近七年全国Ⅰ卷真题】
（2017理13）已知向量a,b的夹角为60︒，a=2,b=1则a+2b=
（2017文13）已知向量a=（-1,2）,b=（m,1），若向量a+b与a垂直，则m=
2
（2016理13）设向量a=（m,1）,b=（1,2）且a+b
22
=a+b
，则m=
（2016文13）设向量a=（x,x+1）,b=（1,2），且a⊥b，则x=
（2015理7）设D为∆ABC所在平面内一点BC=3CD，则（）
（A）AD=-
1
AB+
4
AC
（B）AD=
1
AB-
4
AC
3333
（C）AD=
4
AB+
1
AC
（D）AD=
4
AB-
1
AC
3333
（2015文2）已知点A（0,1）,B（3,2），向量AC=（-4,-3），则向量BC=（）
（A）（-7,-4）
（B）（7,4）（C）（-1,4）
（D）（1,4）
AO
（2014理15）已知A,B,C是圆O上的三点，若=1
2
（AB+AC），则AB与AC的夹角
为
（2014文6）设D,E,F分别为∆ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EB+FC=（）
（A）AD（B）1（C）1（D）BC
ADBC
22
（2013文理13）已知两个单位向量a,b的夹角为60︒，c=ta+（1-t）b，若b⋅c=0，则t=
10
（2012文理15，13）已知向量a,b夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=，则|b|=
（2011理10）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
2π2π
P1:
a+b>1⇔θ∈[0,3）
P2:
a+b>1⇔θ∈（
π]
3
ππ
P3:
a-b>1⇔θ∈[0,3）
其中的真命题是（）
P1:
a-b>1⇔θ∈（3,π]
（A）P1,P4
（B）
P1,P3
（C）
P2,P3
（D）
P2,P4
（2011文13）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=
第1讲数量积基础
1.1向量的概念
（2018.1茂名一模）对于向量a,b,c和实数λ，下列命题中真命题是（）
（A）若a⋅b=0，则a=0或b=0（B）若λa=0，则λ=0或a=0
2
（C）若a
2
=b，则a=b或a=-b
（D）若a⋅b=a⋅c，则b=c
1.2平行（共线）
（2017山东文11）已知向量a=（2,6）,b=（-1,λ），若a//b则λ=
1、（2017.12广州调研）已知向量a=（x,x-2），b=（3,4），若ab，则向量a的模为
2、（2017衡水四调）设向量a=（-1,2）,b=（m,1），若向量a+2b与2a-b平行，则m=（）
（A）-7
2
（B）
-1
2
（C）
3
2
（D）
5
2
3、（2017衡水五调）已知向量a=（-2,1）,b=（-1,3），则（）
（A）a//b（B）a⊥b
（C）
a⊥（a-b）
（D）
a//（a-b）
4、（2017.03广一模）已知向量a=（1,2），b=（x,-1），若a//（a-b），则a⋅b
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