平面向量综合讲义.docx

1、平面向量综合讲义平面向量综合讲义前言【高考命题规律】年份题号题型考查内容思想方法分值2011 年理 10选择题向量积与三角函数、不等式模平方5 分文 13填空题单位向量，向量垂直方程思想5 分2012 年理 13填空题向量模长，夹角模平方5 分文 15填空题向量模长，夹角模平方5 分2013 年理 13填空题向量垂直方程思想5 分文 13填空题向量垂直方程思想5 分2014 年理 15填空题三点共线数形结合思想5 分文 6选择题平面向量基本定理数形结合思想5 分2015 年理 7选择题平面向量基本定理数形结合思想5 分文 2选择题向量加减法数形结合思想5 分2016 年理 13填空题模运算模平

2、方5 分文 13填空题垂直方程思想5 分2017 年理 13填空题模运算，平方模平方5 分文 13填空题垂直方程思想5 分全国卷向量主要以客观题形式出现，属于基础题，解决此类问题一要准确记忆公式， 二要准确运算。主要考察内容为向量的向量积运算以及坐标运算，涉及到模长问题牢记平方（后开方）的思路，便能直捣黄龙，一举破题。另外，虽然这几年全国卷平面向量不涉及 到较难知识以及能力考查，但是备考方面还是应当适当提高训练训练难度，如建系解决棘手数量积问题等，至于等和线、奔驰定理、极化恒等式等进阶知识则因人因地因时制宜。【基础知识】一、向量的有关概念1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量

3、的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2、向量的表示方法:（1）字母表示法:如 a, b, c, 等.（2）几何表示法:用一条有向线段表示向量.如 AB , CD 等.（3）坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O 为在坐标原点,终点 A 坐标为(x, y),则(x, y)称为OA的坐标,记为OA= (x, y).注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3、相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量 a与b 相等,记为 a = b .注:向量不能比较大小4、零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5

4、、单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6、共线（平行）向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到 同一直线上.规定: 0 与任一向量共线.7、相反向量: 长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算1、三角形法则与平行四边形法则OA + OB = OC ， OB - OA = AB 注 ： a - b a + b a + b2、数乘运算（1）规定：实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a（2）平面向量共线定理：向量 a(a 0) 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使b = a .3、平面向量数量积

5、（1）a b = a b cos （2）a 在b 方向上的投影为： a cos 2a 2 2 （3）a = a a =向量夹角的确定：向量 a, b 的夹角指的是将a, b 的起点重合所成的角，0,4、平面向量基本定理如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量 a ，有且只有一对实数1 ,2 ，使 a = 1 e1 + 2 e2（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量1 = 1（2）唯一性：若 a = 1e1 + 2 e2 且 a = 1e1 + 2 e2 ，则 = 5、平面向量的坐标运算（1）设 a = (x1, y1 ),b = (x2 , y2

6、) ，则： 2 2a + b = (x1 + x2 , y1 + y2 )a = (x1,y1 )a - b = (x1 - x2 , y1 - y2 )a / /b a = b x1y2 - x2 y1 = 0a b a b = 0 x x+y y = 0cos=a b =x1x2 + y1 y2x2 + y2 x2 + y21 1 2 21 2 1 2 a b（2）设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 )，则：AB = (x-x , y - y ) (x - x )2 + ( y - y )22 12 1AB =2 1 2 1在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等

7、边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。常见的可考虑建系的图形：（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（ 30 ,45 , 60 ,120 等）6、模长（1）有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题（2）利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长7、线段定比分点（1）P1P2

8、 定比分点坐标公式:设 P1 (x1 , y1 ) 、 P2 (x2 , y2 ) 、 P (x , y ) ， P1P = PP2 x =则： x1 + x21 + x =( -1),特殊地，当= 1 时得中点坐标公式： x1 + x22 y + y y + y y = 1 2 y = 1 2 1 + 2另外，注意一下定比分点的向量公式：O 为平面内任意一点， PP = PP ，则 = OP1 + OP2 ( -1).1 2 OP1+ （2）三角形重心公式及推导（见课本例 2）：三角形重心公式： ( x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 )3 38、点的平移公式平移前的点为

9、 P(x, y) （原坐标），平移后的对应点为 P(x, y) （新坐标），平移向量为 y = y + k.PP = (h, k ) ， 则 x = x + h，从而函数 y =f (x) 的图像按向量 a = (h, k ) 平移后的图像的解析式为 y - k = f (x - h).【近七年全国卷真题】 （2017 理 13）已知向量 a, b 的夹角为60 ， a = 2, b = 1则 a + 2b = （2017 文 13）已知向量 a = (-1, 2),b = (m,1) ，若向量a + b 与 a 垂直，则 m = 2（2016 理 13）设向量 a = (m,1),b = (

10、1, 2) 且 a + b 2 2= a + b，则 m = （2016 文 13）设向量 a = (x, x +1),b = (1, 2) ，且 a b ，则 x = （2015 理 7）设 D 为ABC 所在平面内一点 BC = 3CD ，则（ ） （A）AD = -1 AB +4 AC （B）AD =1 AB -4 AC3 3 3 3 （C）AD =4 AB +1 AC （D）AD =4 AB -1 AC3 3 3 3（2015 文 2）已知点 A(0,1), B(3, 2) ，向量 AC = (-4, -3) ，则向量 BC = ( )（A） (-7, -4)（B） (7, 4) （C

11、） (-1, 4)（D） (1, 4)AO（2014 理 15）已知 A, B, C 是圆O 上的三点，若 = 12 (AB + AC ) ，则 AB 与 AC 的夹角为 （2014 文 6）设 D, E, F 分别为 ABC 的三边 BC,CA, AB 的中点，则 EB + FC = （ ）（A） AD （B） 1 （C） 1 （D） BCAD BC2 2（2013 文理 13）已知两个单位向量 a, b 的夹角为60 ， c = ta + (1- t )b ，若b c = 0 ， 则t = 10（2012 文理 15，13）已知向量 a, b 夹角为 45，且| a |= 1，| 2a -

12、 b |= ，则| b |= （2011 理 10）已知 a 与b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 2 2P1 : a + b 1 0, 3 )P2 : a + b 1 (,3 P3 : a - b 1 0, 3)其中的真命题是（ ）P1 : a - b 1 ( 3 ,（A）P1 , P4（B）P1 , P3（C）P2 , P3（D）P2 , P4（2011 文 13）已知 a 与b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量 a + b 与向量k a - b 垂直，则 k = 第 1 讲 数量积基础1.1向量的概念（2018.1 茂名一模）对于向量 a, b, c 和实数，下列命题中真

13、命题是（ ）（A）若 a b = 0 ，则 a = 0 或b = 0 （B）若a = 0，则= 0 或 a = 0 2（C）若 a 2= b ，则 a = b 或 a = -b（D）若 a b = a c ，则b = c1.2平行（共线）（2017 山东文 11）已知向量 a = (2, 6), b = (-1,) ，若 a / /b 则= 1、（2017.12 广州调研）已知向量 a = (x, x - 2)， b = (3, 4)，若 a b ，则向量 a 的模为2、（2017 衡水四调）设向量 a = (-1, 2),b = (m,1) ，若向量a + 2b 与2a - b 平行，则 m =（ ）（A）- 72（B）- 12（C）32（D）523、（2017 衡水五调）已知向量 a = (-2,1),b = (-1, 3)，则（ ）（A） a / /b （B） a b（C）a (a - b )（D）a / / (a - b )4、（2017.03 广一模）已知向量 a = (1, 2)， b = (x, -1)，若 a / /(a - b) ，则 a b