八下期中易错题提高题集锦附详细解答.docx

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八下期中易错题提高题集锦附详细解答

20XX年04月17日彭sir的初中数学组卷

参考答案与试题解析

2．（2014•达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）

A．

90°﹣

α

B．

90°+

α

C．

D．

360°﹣α

解：

∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，

∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，

∴∠PBC+∠PCB=

（∠ABC+∠BCD）=

（360°﹣α）=180°﹣

α，

则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣

α）=

α．

故选：

C．　

15．（2014•滕州市校级模拟）

（1）如图1，点P是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，若S△PAB=S1，S△PBC=S2，S△PCD=S3，S△PAD=S4则S1、S2、S3、S4的关系为S1=S2=S3=S4．请你说明理由；

（2）变式1：

如图2，点P是平行四边形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD．若S△PAB=S1，S△PBC=S2，S△PCD=S3，S△PAD=S4，则S1、S2、S3、S4的关系为　S1+S3=S2+S4　；

（3）变式2：

如图3，点P是四边形ABCD对角线AC、BD的交点若S△PAB=S1，S△PBC=S2，S△PCD=S3，S△PAD=S4，则S1、S2、S3、S4的关系为　S1•S3=S2•S4　．请你说明理由．

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AP=CP，

又∵△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同，

∴S△PAB=S△PBC，

即S1=S2，

同理可证S2=S3S3=S4，

∴S1=S2=S3=S4；

（2）S1+S3=S2+S4；

（3）S1•S3=S2•S4；

理由：

∵△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同，

∴

即

，

∵△PAD中AP边上的高与△PCD中CP边上的高相同，

∴

即

，

∴

，

∴S1•S3=S2•S4　

16．（2013•淄博）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，

（1）中结论还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，

∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，

∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，

∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，

∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣（180°﹣∠CDA）=90°+∠CDA，

∴∠FDG=∠EAF，

∵在△EAF和△GDF中，

，

∴△EAF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，

∴∠GFE=90°，

∴GF⊥EF，GF=EF；

（2）GF⊥EF，GF=EF成立；

理由：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，

∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，

∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，

∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，

∴∠EAF+∠CDF=45°，

∵∠CDF+∠GDF=45°，

∴∠FDG=∠EAF，

∵在△GDF和△EAF中，

，

∴△GDF≌△EAF（SAS），

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，

∴∠GFE=90°，

∴GF⊥EF，GF=EF．　

17．（2013•牡丹江）在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：

DE+DF=AC．

（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．

（3）若AC=6，DE=4，则DF=　2或10　．

解：

（1）证明：

∵DF∥AC，DE∥AB，

∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF=DE，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C

又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDB=∠B∴DF=BF∴DE+DF=AB=AC；

（2）图②中：

AC+DE=DF．图③中：

AC+DF=DE．

（3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2；当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．

故答案是：

2或10．　

18．（2013•涉县模拟）理论探究：

已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．

（1）如图1：

当点M与B重合时，S△DCM=　50　；

（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM=　50　；

（3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM=　50　；

拓展推广：

如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．

实践应用：

如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP=300m2，S四边形MBQO=400m2，S四边形NCQO=700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．

解：

（1）设点M到CD的距离等于h，则平行四边形ABCD的面积=CD•h=100，

S△DCM=

CD•h=

×100=50；

（2）与

（1）同理可得S△DCM=

×100=50；

（3）与

（1）同理可得S△DCM=

×100=50；

拓展推广：

根据

（1）的结论，S△ABE=

S▱ABCD=

a，

S△ADF=

S▱ABCD=

a，

∴阴影部分的面积=

a+

a=a；

实践应用：

设平行四边形POND的面积为x，

则

=

，

解得x=525，

根据前面信息，S△AMD=

×（525+300）=412.5，

S△MBQ=

×400=200，

S△CDQ=

×（525+700）=612.5，

∴三角形区域的面积=300+400+700+525﹣412.5﹣200﹣612.5=1925﹣1225=700m2

20．（2013春•吴兴区校级期末）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．

（1）试说明：

BF=DE；

（2）试说明：

△ABE≌△CDF；

（3）如果在▱ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠ODE=∠OBF，∵EF垂直平分BD，∴OB=OD，

在△OBF和△ODE中，

，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF=DE；

（2）∵四边新ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C，AD=BC，∵BF=DE，∴AE=CF，在△ABE和△CDF中，

，∴△ABE≌△CDF（SAS），

（3）解：

∵EF垂直平分BD，∴BF=DF，∵△ABE≌△CDF，∴DF=BE，AE=CF，

∴△DFC的周长是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15，△ABE的周长也是15，

①当P在AB上，Q在CD上，∵AB∥CD，∴∠BPO=∠DQO，∵∠POB=∠DOQ，OB=OD，∴△BPO≌△DQO，∴BP=DQ，∴m+n=BP+DF+CF+CQ=DF+CF+CQ+DQ

=DF+CF+CD=15　　　

②当P在AE上，Q在CF上，

∵AD∥BC，∴∠PEO=∠QFO，∵△EOD≌△FOB，∴OE=OF，∵∠PEO=∠QFO，∠EOP=∠FOQ，∴△PEO≌△QFO，∴PE=QF，∵AE=CF，∴CQ=AP，

m+n=AB+AP+DF+PQ=CD+CQ+DF+FQ=DF+CF+CD=15；

③当P在BE上，Q在DF上，∵AD=BC，AE=CF，∴DE=BF，∵DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF，∴∠PEO=∠FQO，

∵∠EOP=∠FOQ，OE=OF，∴△PEO≌△FQO，∴PE=FQ，

∴m+n=AB+AE+PE+DQ=CD+CF+QF+DQ=DF+CF+CD=15．

21．（2013春•宁江区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．

（1）求证：

四边形AFHD为平行四边形；

（2）若CB=CE，∠BAE=60°，∠DCE=20°，求∠CBE的度数．

证明：

（1）∵BF=BE，CG=CE，∴BC

FG，

又∵H是FG的中点，

∴FH=

FG．

∴BC

FH．

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD

BC．

∴AD

FH．

∴四边形AFHD是平行四边形．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAE=60°，

∴∠BAE=∠DCB=60°．

又∵∠DCE=20°，

∴∠ECB=∠DCB﹣∠DCE=60°﹣20°=40°．

∵CE=CB，

∴∠CBE=∠BEC=

（180°﹣∠ECB）=

（180°﹣40°）=70°．　

23．（2011•贵阳）[阅读]

在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为

．

[运用]

（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为　（2，1.5）　．

（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

解：

（1）M（

，

），即M（2，1.5）．

（2）如图所示：

根据平行四边形的对角线互相平分可得：

设D点的坐标为（x，y），

∵以点A、B、C、D构成的四边形是平行四边形，

①当AB为对角线时，

∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），

∴BC=

，∴AD=

，

∵﹣1+3﹣1=1，2+1﹣4=﹣1，

∴D点坐标为（1，﹣1），

②当BC为对角线时，

∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），

∴AC=2

，BD=2

，

D点坐标为（5，3）．

③当AC为对角线时，

∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），

∴AB=

，CD=

，

D点坐标为：

（﹣3，5），

综上所述，符合要求的点有：

D'（1，﹣1），D″（﹣3，5），D″′（5，3）．

25．（2011•广阳区一模）

（1）如果△ABC的面积是S，E是BC的中点，连接AE（图1），则△AEC的面积是　

　；

（2）在△ABC的外部作△ACD，F是AD的中点，连接CF（图2），若四边形ABCD的面积是S，则四边形AECF的面积是　

　；

（3）若任意四边形ABCD的面积是S，E、F分别是一组对边AB，CD的中点，连接AF，CE（图3），则四边形AECF的面积是　

　．

拓展与应用

（1）若八边形ABCDEFGH的面积是100，K，M，N，O，P，Q分别是AB，BC，CD，EF，FG，GH的中点，连接KH，MG，NF，OD，PC，QB（图4），则图中阴影部分的面积是　50　；

（2）四边形ABCD的面积是100，E，F分别是一组对边AB，CD上的点，且AE=

AB，CF=

CD，连接AF，CE（图5），则四边形AECF的面积是　

　．

（3）▱ABCD的面积为2，AB=a，BC=b，点E从点A出发沿AB以每秒v个单位长的速度向点B运动．点F从点B出发沿BC以每秒

个单位的速度向点C运动．E、F分别从点A，B同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．请问四边形DEBF的面积的值是否随着时间t的变化而变化？

若不变，请写出这个值　1　，并写出理由；若变化，说明是怎样变化的．

解：

（1）△AEC的面积是

S；

（2）四边形AECF的面积是

S；

（3）四边形AECF的面积是

S．

拓展与应用

（1）图中阴影部分的面积是50；

（2）四边形AECF的面积是

；

（3）这个值是1；连接BD．

∵S△BED=

S△ABD，S△BFD=

S△BCD．

∴S△BED+S△BFD=

S△ABD+

S△BCD，

∵S△ABD=S△BCD，

∴S△BED+S△BFD=S△ABD=1．　

26．（2011秋•江都市期末）如图

（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．

（1）试说明：

FG=

（AB+BC+AC）；

（2）①如图

（2），BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图（3），BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．

则在图

（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．

解：

（1）证明：

∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，

∴∠BAF=∠BMF，

∴MB=AB，

∴AF=MF，

同理可说明：

CN=AC，AG=NG

∴FG是△AMN的中位线，

∴FG=

MN=

（MB+BC+CN）=

（AB+BC+AC）

（2）解：

图

（2）中，FG=

（AB+AC﹣BC）

图（3）中，FG=

（AC+BC﹣AB）

①如图

（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，

由

（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，

∴FG=

MN=

（BM+CN﹣BC）=

（AB+AC﹣BC），

②如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由

（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，

∴FG=

MN=

（CN+BC﹣BM）=

（AC+BC﹣AB），解答正确一种即可