中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题原卷板.docx

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中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题原卷板

第12讲运动路径长度问题

想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：

1.《隐圆模型》

2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”

3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”

4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型

此外，还需要明白的动点类型还有：

5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上

6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上

7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半

8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例

9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等

一、路径为圆弧型

解题策略：

①作出隐圆，找到圆心

②作出半径，求出定长

解题关键：

通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.

二、路径为直线型

解题策略：

①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型

②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可

解题关键：

解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点

三、路径为往返型

解题策略：

①通常为《主从联动模型》的衍生版

②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化

③找出动点运动的最远点

解题关键：

解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等

【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝

，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（　　）

A．

B．

C．

D．

【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（　　）

A．

πB．

C．

πD．2

【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是　　．

【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（  ）

A. 

B. 

C. 1                                       

D. 2

【例题5】已知：

如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．

（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：

OE平分∠BED．

（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．

（3）利用图1探究并说理：

点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．

【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是　　．

【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：

在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．

【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（　　）

A．2B．2

C．

D．5

【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

【例题10】

（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；

（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；

（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；

（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；

【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在

上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．

1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝

，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是　　．

2．已知线段AB＝8

，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为　　．

3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为　　．

4．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为　　．

5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:

ED＝1:

2．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．

6．等边三角形ABC的边长为2

，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．

（1）∠APB的度数；

（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；

（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．

7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．

8．如图，A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），P，C，M按逆时针顺序排列，动点P在线段AB上，∠C＝90°，∠CPM＝30°，请求出当P点从A运动到B点时，点M运动的路径时什么？

并求出M点运动路径长度．

9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6

，动点P从点A出发，以每秒

个单位长度的速度沿线段AD运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段D﹣O﹣C运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．

（1）当t＝1秒时，求动点P、Q之间的距离；

（2）若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；

（3）若线段PQ的中点为M，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为　　．

10．（2019秋•江岸区校级月考）如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为　　．（看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之）

11．如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．

（1）求∠B+∠D的度数．

（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．

（3）若BC＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2＝CE2+BE2，求点E运动路径的长度．

12．已知在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8．

（1）如图1，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，则FO的长是　　，∠FEO＝　　°；

（2）如图2，设点P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN，则

①求点P运动的路径长是多少？

②MN的长度是否是定值？

如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）在

（2）中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路经长．

13．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．

（1）求∠OMP的度数；

（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．

14．（2019•兴化市模拟）正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（　　）

A．2B．1C．4D．

15．（2019•武汉模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（　　）

A．

πB．

πC．

πD．π

16．如图，BC是⊙O的直径，BC＝4

，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在

上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（　　）

A．

B．

C．

D．

17．（2020•河北模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止．连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q．则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为（　　）

A．πB．

C．

D．1

18．无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则

（2m﹣n+3）2的值等于　　．

19．如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC上任意一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为　　．

20．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交