高三一轮专题复习不等关系与一元二次不等式有详细答案.docx

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高三一轮专题复习不等关系与一元二次不等式有详细答案

§7.1　不等关系与一元二次不等式

1.不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.

2.两个实数比较大小的方法

（1）作差法（a，b∈R）；

（2）作商法（a∈R，b>0）.

3.不等式的性质

（1）对称性：

a>b⇔b

（2）传递性：

a>b，b>c⇒a>c；

（3）可加性：

a>b⇔a＋c>b＋c，

a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

（4）可乘性：

a>b，c>0⇒ac>bc，

a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

（5）可乘方：

a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥1）；

（6）可开方：

a>b>0⇒>（n∈N，n≥2）.

4.“三个二次”的关系

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c

（a>0）的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根

有两相异实根x1，x2（x1

有两相等实根x1＝x2＝－

没有实数根

ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集

{x|xx2}

{x|x≠x1}

{x|x∈R}

ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集

{x|x1

∅

∅

1.判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）a>b⇔ac2>bc2.（　×　）

（2）a>b>0，c>d>0⇒>.（　√　）

（3）若ab>0，则a>b⇔<.（　√　）

（4）若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是（－∞，x1）∪（x2，＋∞），则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.（　√　）

（5）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.（　×　）

（6）不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.（　×　）

2.设a

A.>B.>

C.|a|>－bD.>

答案　B

解析　由题设得a

即>不成立.

3.已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是（　　）

A.（2,3）B.（－∞，2）∪（3，＋∞）

C.D.∪

答案　A

解析　由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为（2,3）.

4.若不存在整数x满足不等式（kx－k2－4）（x－4）<0，则实数k的取值范围是________.

答案　[1,4]

解析　可判断k＝0或k<0均不符合题意，故k>0.

于是原不等式即为k（x－）（x－4）<0⇔（x－）（x－4）<0，

依题意应有3≤≤5且k>0，∴1≤k≤4.

5.（2013·江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数.当x>0时，f（x）＝x2－4x，则不等式f（x）>x的解集用区间表示为________.

答案　（－5,0）∪（5，＋∞）

解析　由已知得f（0）＝0，当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－x2－4x，因此f（x）＝

不等式f（x）>x等价于或

解得：

x>5，或－5

题型一　不等式的性质及应用

例1　

（1）设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：

①>；②acloga（b－c）.

其中所有正确结论的序号是（　　）

A.①B.①②C.②③D.①②③

（2）（2012·四川）设a，b为正实数.现有下列命题：

①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若－＝1，则a－b<1；③若|－|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.

其中的真命题有________.（写出所有真命题的编号）

思维启迪　利用不等式的性质进行变形，比较大小时要注意题设条件.

答案　

（1）D　

（2）①④

解析　

（1）∵a>b>1，∴<.

又c<0，∴>，故结论①正确；

函数y＝xc（c<0）为减函数，又a>b，∴ac

根据对数函数的单调性，logb（a－c）>logb（b－c）>loga（b－c），故③正确.

∴正确结论的序号是①②③.

（2）①中，a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝1，a，b为正实数，

若a－b≥1，

则必有a＋b>1，不合题意，故①正确.

②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可.

如取a＝2，b＝满足上式，但a－b＝>1，故②错.

③中，a，b为正实数，所以＋>|－|＝1，

且|a－b|＝|（＋）（－）|＝|＋|>1，故③错.

④中，|a3－b3|＝|（a－b）（a2＋ab＋b2）|

＝|a－b|（a2＋ab＋b2）＝1.

若|a－b|≥1，不妨取a>b>1，则必有a2＋ab＋b2>1，不合题意，故④正确.

思维升华　判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：

①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.

（1）若a＝，b＝，c＝，则（　　）

A.a

C.c

（2）若<<0，则下列不等式：

①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④lna2>lnb2中，正确的不等式是（　　）

A.①④B.②③C.①③D.②④

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）易知a，b，c都是正数，＝＝log89>1，

所以b>a；＝＝log2532>1，所以a>c.

即c

（2）由<<0，可知b

①中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0.

故有<，即①正确；

②中，因为b－a>0.

故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；

③中，因为bb－，故③正确；

④中，因为ba2>0，

而y＝lnx在定义域（0，＋∞）上为增函数，

所以lnb2>lna2，故④错误.

由以上分析，知①③正确.

题型二　一元二次不等式的解集

例2　求下列不等式的解集：

（1）－x2＋8x－3>0；

（2）ax2－（a＋1）x＋1<0.

思维启迪　

（1）可利用求根公式得到方程－x2＋8x－3＝0的解，再求不等式的解集；

（2）含参数a，要进行分类讨论.

解　

（1）因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52>0，

所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－，x2＝4＋.

又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，

所以原不等式的解集为{x|4－

（2）若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.

若a<0，原不等式等价于（x－）（x－1）>0，解得x<或x>1.

若a>0，原不等式等价于（x－）（x－1）<0.

①当a＝1时，＝1，（x－）（x－1）<0无解；

②当a>1时，<1，解（x－）（x－1）<0得

③当01，解（x－）（x－1）<0得1

综上所述：

当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；

当a＝0时，解集为{x|x>1}；当01时，解集为{x|

思维升华　含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.

（1）若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；

（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；

（3）对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.

（1）若不等式ax2＋bx＋2>0的解为－

（2）不等式≤0的解集为________.

答案　

（1）（－2,3）　

（2）（－，1]

解析　

（1）由题意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a<0，

所以，解得.

则不等式2x2＋bx＋a<0即2x2－2x－12<0，其解集为{x|－2

（2）原不等式等价于（*）

由（*）解得－

题型三　不等式恒成立问题

例3　设函数f（x）＝mx2－mx－1.

（1）若对于一切实数x，f（x）<0恒成立，求m的取值范围；

（2）若对于x∈[1,3]，f（x）<－m＋5恒成立，求m的取值范围.

思维启迪　

（1）分m＝0和m≠0讨论，m≠0可结合图象看Δ的条件；

（2）可分离参数m，利用函数最值求m的范围.

解　

（1）要使mx2－mx－1<0恒成立，

若m＝0，显然－1<0；

若m≠0，则⇒－4

所以－4

（2）要使f（x）<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即

m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立.

有以下两种方法：

方法一　令g（x）＝m2＋m－6，x∈[1,3].

当m>0时，g（x）在[1,3]上是增函数，

所以g（x）max＝g（3）⇒7m－6<0，

所以m<，则0

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g（x）在[1,3]上是减函数，

所以g（x）max＝g

（1）⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.

综上所述：

m的取值范围是{m|m<}.

方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，

又因为m（x2－x＋1）－6<0，所以m<.

因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可.

所以，m的取值范围是.

思维升华　

（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.

（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.

　已知函数f（x）＝，若对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围.

解　因为x∈[1，＋∞）时，f（x）＝>0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立.

即当x≥1时，a>－（x2＋2x）＝g（x）恒成立.

而g（x）＝－（x2＋2x）＝－（x＋1）2＋1在[1，＋∞）上单调递减，

所以g（x）max＝g

（1）＝－3，故a>－3.

所以，实数a的取值范围是{a|a>－3}.

转化与化归思想在不等式中的应用

典例：

（10分）

（1）（2012·江苏）已知函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x的不等式f（x）

（2）已知a∈[－1,1]，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________.

思维启迪　（1