沪科版数学八年级上册提高练习153《等腰三角形》.docx

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沪科版数学八年级上册提高练习153《等腰三角形》

15.3《等腰三角形》

提高练习

第1课时《等腰三角形的性质定理及推论》

一、选择题

1．如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1=25°，则∠2的大小为（　　）

A．25°B．35°C．45°D．55°

2．某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x﹣1，则该三角形的周长为（　　）

A．11B．11或8C．11或8或5D．与x的取值有关

3．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　）

A．15°B．30°C．45°D．60°

4．如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）

A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直

5．如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（　　）

A．12B．8C．4D．3

二、填空题

6．如图，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC等于　　°．

7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为　　．

8．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是　　．

三、解答题

9．已知：

如图，△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，且DB=DC，连接AD并延长，交BC于点E．

（1）依题意补全图；

（2）求证：

AD⊥BC．

10．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．

（1）求证：

△ABE≌△CAD；

（2）请问PQ与BP有何关系？

并说明理由．

第2课时

一、选择题

1．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB=（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

2．如图：

在△ABC中，下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（　　）

A．AB=AC，∠B=∠CB．AD⊥BC，BD=CD

C．BC=AC，∠B=∠CD．AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

3．下面给出几种三角形：

（1）有两个角为60°的三角形；

（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

4．已知：

在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：

①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；

②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；

③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．

上述说法中，正确的有（　　）

A．3个B．2个C．1个D．0个

5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（　　）

A．8个B．7个C．6个D．5个

二、填空题

6．如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，则这个三角形是　　．

7．如果一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是　　三角形．

8．如图，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　　cm．

三、解答题

9．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=　　°，∠DEC=　　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　　（填“大”或“小”）；

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？

若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．

10．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．

（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（2）探究：

当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

第3课时

一、选择题

1．如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（　　）

A．3cmB．6cmC．8cmD．9cm

2．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　）

A．3.5B．4.2C．5.8D．6.5

3．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为（　　）

A．2B．4C．6D．8

4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长（　　）

A．8cmB．12cmC．15cmD．16cm

5．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（　　）

A．3B．4C．5D．6

二、填空题

6．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为　　．

7．如果一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的顶角的度数为　　．

8．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=

BC，则△ABC的顶角的度数为　　．

三、解答题

9．如图，一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发，小岛P在轮船的北偏西15°方向．轮船每小时航行15海里，11时轮船到达点B处，小岛P此时在轮船的北偏西30°方向．

（1）求此时轮船距小岛为多少海里？

（2）在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？

请说明理由．

10．已知，如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，∠B=2∠C，E是BC的中点．求证：

DE=

AB．

参考答案

第1课时

1．解：

过点C作CD∥b，

∵直线a∥b，

∴CD∥a∥b，

∴∠4=∠1=25°，

∵∠ACB=60°，

∴∠3=∠ACB﹣∠4=60°﹣25°=35°，

∴∠2=∠3=35°．

故选：

B．

2．解：

当x=3时，

此时2x﹣1=5，

∴3+3＞5，能组成三角形，

此时三角形的周长为：

3+3+5=11，

当x=2x﹣1时，

此时x=1，

∴1+1＜3，不能组成三角形，

当2x﹣1=3时，

此时x=2

∴3+2＞3，能组成三角形，

此时三角形的周长为：

3+3+2=8，

故选：

B．

3．解：

∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，

∴BD=CD，即：

AD是BC的垂直平分线，

∵点E在AD上，

∴BE=CE，

∴∠EBC=∠ECB，

∵∠EBC=45°，

∴∠ECB=45°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，

故选：

A．

4．解：

∵∠AOB=60°，OA=OB，

∴△OAB是等边三角形，

∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°

①当点C在线段OB上时，如图1，

∵△ACD是等边三角形，

∴AC=AD，∠CAD=60°，

∴∠OAC=∠BAD，

在△AOC和△ABD中，

，

∴△AOC≌△ABD，

∴∠ABD=∠AOC=60°，

∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，

∴BD∥OA，

②当点C在OB的延长线上时，如图2，

同①的方法得出OA∥BD，

∵△ACD是等边三角形，

∴AC=AD，∠CAD=60°，

∴∠OAC=∠BAD，

在△AOC和△ABD中，

，

∴△AOC≌△ABD，

∴∠ABD=∠AOC=60°，

∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，

∴BD∥OA，

故选：

A．

5．解：

延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，

则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，

四边形PGBD，EPHC是平行四边形，

∴PG=BD，PE=HC，

又△ABC是等边三角形，

又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，

∴PF=PG=BD，PD=DH，

又△ABC的周长为12，

∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=

×12=4，

故选：

C．

6．解：

∵AB=BC=BD，

∴∠ADB=90°﹣

∠ABD，∠CDB=90°﹣

∠CBD，

∴∠ADC=∠ADB+∠CDB

=90°﹣

∠ABD+90°﹣

∠CBD

=180°﹣

（∠ABD+∠CBD）

=180°﹣

×80°

=180°﹣40°

=140°．

故答案为：

140．

7．解：

①如图一，

∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠ABD=50°，

∴在直角△ABD中，∠A=90°﹣50°=40°，

∴∠C=∠ABC=

=70°；

②如图二，

∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠ABD=50°，

∴在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣50°=40°，

又∵∠BAD=∠ABC+∠C，∠ABC=∠C，

∴∠C=∠ABC=

=

=20°．　

故答案为：

70°或20°．

8．解：

∵AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=

（180°﹣∠A）=

（180°﹣50°）=65°，

∵MN垂直平分线AB，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=50°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．

故答案为：

15°．

9．解：

（1）如图所示，

（2）∵AB=AC，

∴点A在BC的垂直平分线上，

∵BE=CE，

∴点E在BC的垂直平分线上，

∴A、E都在BC的垂直平分线上，

∵延长AE交BC边于点D，

∴AD⊥BC．

10．

（1）证明：

∵△ABC为等边三角形．

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

在△BAE和△ACD中：

∴△BAE≌△ACD

（2）答：

BP=2PQ．

证明：

∵△BAE≌△ACD，

∴∠ABE=∠CAD．

∵∠BPQ为△ABP外角，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．

∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，

∴BP=2PQ．

第2课时

1．解：

连接AB，

根据题意得：

OB=OA=AB，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOB=60°．

故选：

C．

2．解：

A、AB=AC，∠B=∠C，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；

B、AD⊥BC，BD=CD，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；

C、BC=AC，∠B=∠C，能说明△ABC是等边三角形，正确；

D、AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；