图形与证明复习讲学稿答案.docx

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图形与证明复习讲学稿答案

第一章《图形与证明

（二）》

一、选择题：

1．若等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为（D）

A．50°　　B．100°　C．80°D．50°或80°

2．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=

BC，则△ABC底角的度数为（C）

A．45o　　　B．75o　C．45o或15oD．60o

3．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120º，则AB的长为（D）

A．

cm　　B．2cm　　　　C．2

cmD．4cm

4．下列四个命题：

①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（B）

A．1个　B．2个C．3个　　D．4个

5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（C）

A．4B．6C．8　D．10

6．点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90º，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于（C）

　A．75ºB．60º　　　　C．45º　　　　D．30º

7．如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（C）

A．26B．25　　C．21D．20

8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（A）

A．17B.18C.19D．20

二、填空题：

9．等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是11或13．

10．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，请补充一个条件：

答案不唯一AD∥BC或AB=CD等.，使得四边形ABCD是平行四边形．

11．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以

拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称答案不唯一：

矩形或等腰梯形等．

12．菱形ABCD中，若对角线长AC＝8cm，BD=6cm，则边长AB＝5cm，面积为24cm2．

13．如图，矩形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠DAE等于15°．

14．已知梯形的中位线长是4cm，下底长是5cm，则它的上底长是　3　cm．

15．如图，已知RtABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC．已知AC=5，OC＝6

，则另一直角边BC的长为7．

第13题

第16题

第15题

16．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N．如果AB=8，AD=12，OM=x，ON=y则y与x的关系是y=1.5x．

三、解答题

1．证明：

等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．（请画出图形，写出已知、求证，完成证明）

已知：

_____________________________________

求证：

_____________________________________

证明：

2．如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，

点P是射线GC上一点，连接FP，EP．

求证：

FP=EP．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．1311335

专题：

证明题．

分析：

根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC=∠DCG，推出∠DCG=∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP=∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DGC=∠GCB，

∵DG=DC，

∴∠DGC=∠DCG，

∴∠DCG=∠GCB，

∵∠DCG+∠DCP=180°，∠GCB+∠FCP=180°，

∴∠DCP=∠FCP，

∵在△PCF和△PCE中

，

∴△PCF≌△PCE（SAS），

∴PF=PE．

点评：

本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，主要考查学生的推理能力，题目比较好，综合性比较强．

3．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：

四边形AEFG为平行四边形．

考点：

等腰梯形的性质；平行四边形的判定．1311335

专题：

证明题．

分析：

由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出结论．

解答：

证明：

∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，

∴∠B=∠C，

∵GF=GC，

∴∠GFC=∠C，

∴∠GFC=∠B，

∴AB∥GF，

又∵AE=GF，

∴四边形AEFG是平行四边形．

点评：

本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的判定定理，根据题意得出AB∥GF是解答此题的关键．

4．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平10cm，

得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：

四边形ACFD是菱形．

考点：

菱形的判定；勾股定理；平移的性质．1311335

专题：

证明题．

分析：

根据平移的性质可得CF=AD=10cm，DF=AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论．

解答：

证明：

由平移变换的性质得：

CF=AD=10cm，DF=AC，

∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，

∴AC=

=

=10，

∴AC=DF=AD=CF=10，∴四边形ACFD是菱形．

5．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．

求证：

（1）△ADE≌△DCF；

（2）AM⊥DF．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质．1311335

专题：

证明题．

分析：

根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论．

解答：

证明：

∵ABCD是正方形，

∴OD=OC，

又∵DE=CF，

∴OD﹣DE=OC﹣CF，即OF=OE，

在RT△AOE和RT△DOF中，

，

∴△AOE≌△DOF，

∴∠OAE=∠ODF，

∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，

∴∠ODF+∠DEM=90°，

即可得AM⊥DF．

点评：

此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE=∠ODF，利用等角代换解题．

6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．

（1）求证：

梯形ABCD是等腰梯形；

（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？

请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

考点：

等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．1311335

分析：

（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；

（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．

解答：

（1）证明：

∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，

又∵EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠DEC=∠AEB，

又∵EB=EC，

∴△DEC≌△AEB，

∴AB=CD，

∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．

证明：

∵AD∥BC，BE=EC=AD，

∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．

∴AB=ED，

∵AB⊥AC，

∴AE=BE=EC，

∴四边形AECD是菱形．

过A作AG⊥BE于点G，

∵AE=BE=AB=2，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠AEB=60°，

∴AG=

，

∴S菱形AECD=EC•AG=2×

=2

点评：

此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．

7．如图，在△ABC中，A、B两点关于直线DE对称，A、C两点关于直线DF对称，DE交AB于点E，交BC于点D，DF交AC于点F．

（1）求证：

BD=CD；

（2）试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

8．如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．

（1）求证：

四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？

并说明理由．

考点：

正方形的判定；矩形的判定．1311335

分析：

（1）利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形；

（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；因为直角△AOC的斜边上的中线OD等于斜边的一半，所以矩形的邻边OD=CD，所以矩形CDOF是正方形．

解答：

（1）证明：

∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），

∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF，

∵∠AOC+∠BOC=180°，

∴2∠COD+2∠COF=180°，

∴∠COD+∠COF=90°，

∴∠DOF=90°；

∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知），

∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质），

∴∠CDO=90°，

∵CF⊥OF，

∴∠CFO=90°

∴四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；

理由如下：

∵∠AOC=90°，AD=DC，

∴OD=DC；

又由

（1）知四边形CDOF是矩形，则

四边形CDOF是正方形；

因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．

点评：

本题考查了矩形的判定与性质、正方形的判定．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，方法有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；

②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．

9．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．

（1）求证：

四边形AMDN是平行四边形；

（2）①当AM的值为　　时，四边形AMDN是矩形，说明理由；

②当AM的值为　　时，四边形AMDN是菱形，不必说明理由．

考点：

菱形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定．1311335

分析：

（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；

（2）①有

（1）可知四边形AMD是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=

AD=1时即可；

②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，

又∵点E是AD边的中点，

∴DE=AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND=MA，

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）解：

①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：

∵AM=1=

AD，

∴∠ADM=30°

∵∠DAM=60°，

∴∠AMD=90°，

∴平行四边形AMDN是矩形；

故答案为：

1；

②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：

∵AM=2，

∴AM=AD=2，

∴△AMD是等边三角形，

∴AM=DM，

∴平行四边形AMDN是菱形，

故答案为：

2．

点评：

本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．

10．已知：

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：

①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：

①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．1311335

专题：

证明题．

分析：

（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC﹣CD；

（2）与

（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD；

（3）①与

（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD﹣BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=

DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．

解答：

（1）证明：

①∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BD⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，

∵BD=BC﹣CD，

∴CF=BC﹣CD；

（2）与

（1）同理可得BD=CF，

所以，CF=BC+CD；

（3）①与

（1）同理可得，BD=CF，

所以，CF=CD﹣BC；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

则∠ABD=180°﹣45°=135°，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠FCD=∠ACF﹣∠ACB=90°，

则△FCD为直角三角形，

∵正方形ADEF中，O为DF中点，

∴OC=

DF，

∵在正方形ADEF中，OA=

AE，AE=DF，

∴OC=OA，

∴△AOC是等腰三角形．

点评：

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在

（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键．

11．如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．

（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；

（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质．1311335

专题：

几何综合题．

分析：

（1）由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAB，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AB；

（2）首先过点C作CH⊥AB于H，由DD1⊥AB，可得∠DD1A=∠CHA=90°，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAH，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，则可得AB=DD1+EE1．

（3）证明方法同

（2），易得AB=DD1﹣EE1．

解答：

（1）证明：

∵四边形CADF、CBEG是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，

∴∠DAD1+∠CAB=90°，

∵DD1⊥AB，

∴∠DD1A=∠ABC=90°，

∴∠DAD1+∠ADD1=90°，

∴∠ADD1=∠CAB，

在△ADD1和△CAB中，

，

∴△ADD1≌△CAB（AAS），

∴DD1=AB；

（2）解：

AB=DD1+EE1．

证明：

过点C作CH⊥AB于H，

∵DD1⊥AB，

∴∠DD1A=∠CHA=90°，

∴∠DAD1+∠ADD1=90°，

∵四边形CADF是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD1+∠CAH=90°，

∴∠ADD1=∠CAH，

在△ADD1和△CAH中，

，

∴△ADD1≌△CAH（AAS），

∴DD1=AH；

同理：

EE1=BH，

∴AB=AH+BH=DD1+EE1；

（3）解：

AB=DD1﹣EE1．

证明：

过点C作CH⊥AB于H，

∵DD1⊥AB，

∴∠DD1A=∠CHA=90°，

∴∠DAD1+∠ADD1=90°，

∵四边形CADF是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD1+∠CAH=90°，

∴∠ADD1=∠CAH，

在△ADD1和△CAH中，

，

∴△ADD1≌△CAH（AAS），

∴DD1=AH；

同理：

EE1=BH，

∴AB=AH﹣BH=DD1﹣EE1．

12．

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：

CE=CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用

（1）的结论证明：

GE=BE+GD．

（3）运用

（1）

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．1311335

专题：

几何综合题．

分析：

（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；

（2）首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由

（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD；

（3）首先过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由

（1）

（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积．

解答：

（1）证明：

∵四边形是ABCD正方形，

∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，

∵BE=DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS）．

∴CE=CF．…（2分）

（2）证明：

如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．

由

（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF．

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵CE=CF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG．…（5分）

∴GE=GF，

∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．…（6分）

（3）解：

如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠A=∠B=90°，

又∵∠CGA=90°，AB=BC，

∴四边形ABCG为正方形．

∴AG=BC．…（7分）

∵∠DCE=45°，

根据

（1）

（2）可知，ED=BE+DG．…（8分）

∴10=4+DG，

即DG=6．

设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，

在Rt△AED中，

∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．

解这个方程，得：

x=12或x=﹣2（舍去）．…（9分）

∴AB=12．

∴S梯形ABCD=

（AD+BC）•AB=

×（6+12）×12=108．

即梯形ABCD的面积为108．…（10分）

点评：

此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．