01质点运动学习题解答.docx
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01质点运动学习题解答
第一章质点运动学
一选择题
1.下列说法中，正确的是：
（）
A.一物体若具有恒定的速率，则没有变化的速度；
B.一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率；
C.一物体具有恒定的加速度，则其速度不可能为零；
D.一物体具有沿x轴正方向的加速度而有沿x轴负方向的速度。
解：
答案是D。
2.长度不变的杆AB，其端点A以vo匀速沿y轴移动，B点沿x轴移动，则
B点的速率为：
（）
A.vosinvB.vocostC.votanJD.vo/cos：
解：
答案是C。
简要提示：
设B点的坐标为x,A点的坐标为y,杆的长度为I，贝U
x2亠y2=|2
对上式两边关于时间求导：
2xdx2yd^o，因dx二v,dy=_vo，所以
dtdtdtdt
2xv-2yvo=o即v=2voy/x=2vota
所以答案是Co
3.如图示，路灯距地面高为H，行人身高为h,若人以匀速v背向路灯行走,
4.
解：
答案是B。
简要提示：
设人头影子到灯杆的距离为x,则
x-shH
，xs，
xHH-h
dxHdsH
uv
dtH-hdtH-h
所以答案是B。
5.质点作曲线运动时，下列说法正确的是：
A.质点作圆周运动时，速度方向一定指向切向，加速度方向一定指向圆心。
B.质点作曲线运动时，法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零。
C.质点作曲线运动时，法向加速度一定不为零。
D.质点作曲线运动时，必有加速度，但法向加速度可以为零。
解：
答案是D
6.一物体从某一确定高度以vo的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为
vt，那么它的运动时间是：
（）
（）
A.球匀减速地上升，达最大高度后匀加速下落；
B.球匀速地上升，与顶板碰撞后匀速下落；
C.球匀减速地上升，与顶板接触后停留在那里；
D.球匀减速地上升，达最大高度后停留在那里；
解：
答案是B。
提示：
升降机内的人与球之间没有加速度。
7.某人在由北向南行驶，速率为36km-h-的汽
选择题7图
车上，测得风从西边吹来，大小为10m，s-，则实际
风速大小和方向为：
（）
A.0
B.14.14m・s-,西南风
C.10ms-,西南风
D.14.14m'S-,西北风
解：
答案是D。
简要提示：
如图所示，由题意可知，已知牵连速率vo为36km，h-（即10ms-）,而相对速率v为10ms-，所以绝对速率v为14.14mS1，方向指向西南。
所以答案是B。
二填空题
1一质点在空间三坐标上的运动方程分别为x=Acos■t，y=Asi■t，
z=h「t/2二式中A、h、「均为大于零的常数，则质点在x和y轴上的分运动是
，在z轴上的分运动是，在xy平面内的运动轨迹为，在x、y、z空间内的运动轨道为
解：
答案为：
谐振动；匀速直线运动；以O为圆心半径为A的圆；以z
为轴线的螺旋线。
2.一质点运动的加速度为a二2ti3t2j，初始速度与初始位移均为零，则该
质点的运动方程为，2秒时该质点的速
度为。
11
解：
答案为：
r=-13i—t4j；v=（4i8j）ms-1
34
简要提示：
已知质点运动的加速度，可得
质点的速度为v=v0亠iadt=t2i■t3j
运动方程为r二r0亠ivdtJt3i1t4j
34
所以，2秒时质点的速度为：
v=（4i8j）ms-1
3.站台上一观察者，在火车开动时站在第一节车厢的最前端，第一节车厢
在t1=4.0s内从他身旁驶过，设火车作匀加速直线运动，则第n节车厢从他身旁
驶过所需的时间间隔为。
解：
答案为：
Ltn=（：
n-n-1）1
简要提示：
由运动的相对性，本题也可以看作火车静止，而人在作匀加速直线运动。
设火车每节车厢的长度为L,加速度为a，则走过第一节车厢所用的时间为：
用f2L/a
走过第二节车厢所用的时间选为：
.屯—22L/a
依次推导，走过第n节车厢所用的时间：
tn为：
.tn：
"n」'-=ti-2nL/a
可得：
Ltn=（、-n-n—1）-J2L/a=（-n—“'n—1）4
4.一质点以初速vo,抛射角为“作斜抛运动，则到达最高处的速度大小为
，切向加速度大小为，法向加速度大小为，合加速度大小为
O
解：
答案为：
V0COS日0；0；g；g。
—
5.一质点从静止出发沿半径为3m的圆周运动，切向加速度大小为3ms,
则经过S后它的总加速度恰好与半径成45°角。
在此时间内质点
经过的路程为m,角位移为rad,在is末总加速度大小
为ms-2
解：
答案为：
is；1.5m；0.5rad;4.2ms「2。
（2）s=1aTt2=1.5m
2
■SS
（3）20.5rad
2职R
⑷3s末，an=-（aTt）=3ms"2,
RR
a=.a2a：
=3.2ms'=4.2ms2
6.
g，则一天的时间应
若地球的自转速率快到使得在赤道上的法向加速度为
为小时。
（地球半径R=6.4106m）
解：
答案为：
1.41小时。
简要提示：
由：
•.2R二g,••二严，
:
R
三计算题
1.半径为R的轮子在水平面上以角速度•■作无滑动滚动时，轮边缘上任一质点运动的轨迹的矢量方程为r=（「Rt-Rsint）i（^Rcost）j，其中i、j分
别为x,y直角坐标轴上的单位矢量，试求该质点的速率和加速度的大小。
当-■
为常数时，找出速度为零的点。
x=Rt—Rsint
解：
质点运动的参数方程为
=R—RcosBt
"2丄22^
.a二axayR
由以上速度公式，可得：
当得
■t=2n二,n为整数时，v=0,代入参数方程可y=0
即：
轮子与水平面的接触点（y=0）的速度始终为0。
2.一艘正以vo匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向
大小与船速平方成正比的加速度，即dv/dt=-kv2,k为一常数，求证船在行驶距
离x时的速率为v=v°e*。
-kx
v=voe
3.一质点初始时从原点开始以速度v0沿x轴正向运动，设运动过程中质点
受到的加速度a=-kx2，求质点运动的最大距离。
解：
已知：
x0=0，v0和a=-kx2,运用分离变量，得：
dv22
vkxvdv=-kxdxdx
得:
v2-v^_-kx3/3
当v=0时，质点运动的距离最大，即：
xmax=（3v2/k）1/3
4.如图所示为一曲柄连杆机构，曲柄OA长为r，连杆AB长为I。
AB的一端用销子在A处与曲柄OA相连，另一端以销子在B处与活塞相连。
当曲柄以匀角速度••绕轴O旋转时，通过
连杆将带动B处活塞在气缸内往复运动，试求计算题4图
活塞的运动方程。
解：
建立坐标如图，以O为原点，水平向左为x的正方向，并取曲柄A端处在x
轴的P点时为初始时刻。
由图可得活塞B的
运动方程为:
」222
x=0R亠RB=rcost亠I—rsint
考虑到一般r/I<1/3.5，将第二式展开，去掉高阶项，经整理得：
x=I[^-（-）2]rcost-I（-）2cos2-t
4I4I
2v02cos260°oo
x0（tan60°-tan30°）：
1326m
g
y=xtan30°765.6m
7.一质点在半径为0.10m的圆周上运动，设t=0时质点位于极轴上，其角速度为■=12t2。
（1）求在t=2.0s时质点的法向加速度、切向加速度和角位置。
⑵当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，二值为多少？
（3）t为多
少时，法向加速度和切向加速度的值相等？
解：
（1）已知■=12t2,所以2秒时法向加速度和切向加速度分别为：
24.2
an二r=144rt=230.4ms
a^rd■/dt=24rt=4.8ms"2
其角位置为：
v-“亠1心dt=423rad=32rad
（2）由a二.anara^-a/2，可得：
3a-an,即:
3（24rt）^（144rt4）2,解得：
t3=0.29s3
所以：
日=80+（时4上=4t3=1.16rad
（3）由aT=an,可得24rt=144rt4,所以t=0.55s
8.一张CD光盘音轨区域的内半径Ri=2.2cm，外半径R2=5.6cm，径向音轨密度N=650条/mm。
在CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对于光盘是以v=1.3m，s-的恒定线速率运动的。
（1）这张光盘的全部放音时间是多少？
（2）激光束到达离盘心r=5.0cm处时，光盘转动的角速度和角加速
度各是多少?
解：
（1）以r表示激光束打到音轨上的点对光盘中心的距离，则在dr宽度
v=■r，因此当激光
内的音轨长度为2二rNdr。
激光束划过这样长的音轨所用的时间为dt=2二rNdr/v。
由此得到光盘的全部放音时间
f尸22?
rrNdr;iN22
T二dt（R；-R；）
R1vv
322
JIX650疋103疋（0・562—0.0222）—1.3
（2）光盘上各点的线速度与光盘转动的角速度具有关系
=4.16103s=69.4min
束到达离盘心r=5.0cm处时光盘转动的角速度
v1.3-4
26（rads）r0.05
此时的角加速度为
d灼vdrvv小一i_2
223.31rads
dtr2dtr22-rN
计算结果表明，激光头沿径向向外移动时驱动光盘机的伺服马达的转速是减小
的。
9.一升降机以加速度a0=1.22ms「2上升，当上升速度为2.44ms-时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的底面相距2.74m，试求
（1）螺帽从天花板落到底面所需时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。
（3）
以地面为参照系，螺帽作初速为2.44m加速度为g的竖直上抛运
y=7ov°t-丄gt2
2
螺帽相对于升降机外固定柱子的移动距离
y—y0二V0t—丄gt2=2.440.71—丄9.80.712=-0.74（m），
22
负号表示为下降。
10.飞机A以VA=1000kmh-的速率相对于地面向南飞行，同时另一架飞机
B以VB=800kmh-的速率相对于地面向东偏南30彷向飞行。
求A机相对于B
机的速度和B机相对于A机的速度。
解：
如图所示，已知飞机A的绝对速度Va和飞机B的牵连速度Vb，所以飞机A相对于飞机B的相对速度Vab为：
vAB=Va-Vb
所以vabx=-vBx=-vBcos30°=693ms'
0-4
vABy=a-VBy=-va'vbsin30600ms
因此，相对速度Vab的大小为:
vab=•vAbx'vABy-917ms4
方向为向西偏南二角，二的大小为：
v-ta门'「ABy-41
VABX
同样的方法，可以求得飞机A相对于飞机B的相对速度Vba的大小也为917ms-1,
而方向为向东偏北41。
11.某人以4km的速度向东行进时，感觉风从正北吹来。
如果将速度增
加一倍，则感觉风从东北吹来。
求相对于地面的风速和风向。
解：
如图所示，设相对于地面的
风速大小为v,方向为向东偏南
「角。
则：
vi=vsin=v2cosv
v0=vcos:
v2sinr=2vo-vo=vo
由已知r-45，可得：
也v2cosQtan21，
v2sin日
即：
「=45。
相对地面的风速为:
v=v0/cos2v0=5.7kmh，
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