近五年上海高考分类汇编立体几何.docx
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近五年上海高考分类汇编立体几何
近五年上海高考汇编立体几何
、填空题
1.(2009年高考5)如图,若正四棱柱ABCD-ABQD!
的底面边长为2,高为4,则异面直线BDi与AD所成角
的大小是—.(结果用反三角函数值表示)
答案:
arctan5
2.(2009年高考理科8)已知三个球的半径Ri,R2,R3满足Ri2R23R3,则它们的表面积S,S2,S3满
足的等量关系是.
答案:
Si2S;3S3
3.(2009年高考文科6)若球Oi,O2的面积之比§4,则它们的半径之比旦.
S2R2
答案:
2
4.(2009年高考文科8)若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何
体体积是.
5.
(2010年高考理科12)如图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD中,AC与BD相交于点0,剪去VAOB,将剩余部分沿OC,OD折叠,使OA,OB重合,则以A(B),C,D,O为顶点的四面体的体积是.
答案:
畔
6.(2010年高考文科6)已知四棱锥PABCD的底面是边长为6的正方体,侧棱PA底面ABCD,且PA8,
则该四棱锥的体积是.
答案:
96
7.(2011年高考理科7)若圆锥的侧面积为2,底面面积为,则该圆锥的体积为.
答案:
3
8.(2011年高考文科7)若一个圆锥的主视图是边长为3,3,2的三角形,则该圆锥的侧面积为
答案:
3
1
9.(2012年高考理科6)有一列正方体,棱长组成以1为首项、—为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,...,Vn,...,
2
则lim(V1V2...Vn)
n
答案:
8
7
10.(2012年高考理科8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面,则该圆锥的体积为
11.(2012年高考理科14)如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC2,若AD2c,且
ABBDACCD2a,其中a,c为常数,则四面体
答案:
2ca2c21
3
答案:
6
两条直线y1和y1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分•记D绕y轴旋转一周而成的几何体为
答案:
2216
1.(2009年高考文科
为4,且垂直于底面,
三、解答题
两个不同的点,BC是母线,如图•若直线OA与BC所成角的大小为一,则-
r
答案:
.3
、选择题
过直角顶点的侧棱长
16)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为该三棱锥的主视图是
uuurr
即BM=1,1,0是平面ACiC的一个法向量。
设平面AiBiC的一个法向量是n=x,y,z,
解得x0,y1on=0,1,1,
面角B1AC1G的大小为§.
2.(2010年高考理科21)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米
铁丝•骨架将圆柱底面8等分•再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)
(1)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?
并求出该最大值(精确到0.01平方米);
(2)在灯笼内,以矩形骨架的顶点为端点,安装一些霓虹灯•当灯笼底面半径为0.3米时,求图中两根直线型
霓虹灯A^B3,A3B5所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
答案:
(1)设圆柱形灯笼的母线长为I,则I1.22r(0所以当r0.4时,S取得最大值约为1.51平方米;
ujuun
(0.3,0.3,0.6),A3B5(0.3,0.3,0.6),
uiuiruuuu
设向量AB3与A3B5的夹角为,则cos
所以A1B3、A3b5所在异面直线所成角的大小为眦迹|•
3.(2010年高考文科20)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米
铁丝•再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)
(1)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?
并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼,请作出用于制作灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素)•
答案:
(1)设圆柱形灯笼的母线长为I,则I1.22r(0所以当r0.4时,S取得最大值约为1.51平方米;
。
1为A1C1与B1D1的交点.
(2)当r0.3时,I0.6,作三视图略.
4.(2011年高考理科21)已知ABCDABGD1是底面边长为1的正四棱柱,
(1)设AB1与底面AB1C1D1所成角的大小为,二面角AB1D1A1的大小为
求证:
tan,2tan;
4
(2)若点C到平面AB1D1的距离为―,求正四棱柱ABCDA,B1C1D1的高
3
答案:
解:
设正四棱柱的高为h
⑴连AO1,AA1底面A1B1GD1于A,.•.AB1与底面A1B1GD1所成的角为AB1A,即AB1A1
AB1AD1,。
1为BiD1中点,二AO1B1D1,又AO1B1D1,
AO-iA)是二面角AB1D1A的平面角,即AO1A1
tan-AAlh,tan-AAL-2h2tan
ABAO1
uuur
(0,1,h),AC(1,1,0),设平面ABiDi的一个法向量为n(x,y,z),
r
uuir
ruur
n
AB1
n
AB1
0
r
r
ujuu
r
uuuu
,取z
1得n(h,h,1)
n
AD1
n
AD1
0
5.(2011年高考文科20)已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,高A^2
(1)求异面直线BD与AB1所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求四面体AB1D1C的体积
答案:
⑴连BD,AB1,B,D1,AD1,•••BD〃BD1,AB1AD1,
异面直线BD与AB1所成角为AB1D1,记AB1D1
COS
222
ABBD1AD1
2AB]B,D1
10
10
异面直线BD与AB1所成角为arccos
-10
10
⑵连AC,CB1,CD1,则所求四面体的体积
VVabCDA1B1C1D14VcB1C1D1
(1)三角形pcd的面积
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小•
答案:
(1)因为PA丄底面ABCD,所以PA丄CD,又AD丄CD,所以CD丄平面PAD,
2、3,CD=2,
从而cd丄pd.因为pd=22(22)2
所以三角形PCD的面积为2223
(2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系,
由此可知,异面直线BC与AE所成的角的大小是7
[解法二]取PB中点F,连接EF、AF,
则EF//BC,从而/AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角
在AEF中,由EF=.2、AF=2、AE=2,知AEF是等腰直角三角形,
所以/AEF=4•因此异面直线BC与AE所成的角的大小是4
7.(2012年高考文科19)如图,在三棱锥PABC中,PA丄底面ABC,D是PC的中点,已知/BAC=
2
AB2,AC2、.3,PA2,求:
(1)三棱锥PABC的体积
(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)
(2)取PB的中点E,连接DE、AE,
则ED//BC,所以/ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.
因此,异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos弓.
8.(2013年高考理科19)如图,在长方体ABCDA'B'C'D'中,AB2,AD1,AA'1.证明直线BC'
平行于平面D'AC,并求直线BC'到平面D'AC的距离
rruuuirruuuir
设平面D'AC的法向量为n(u,v,w),则nD'A,nD'C.
uuuurUJULTrujuuruumr
因为D'A(1,0,1),D'C(0,2,1),nD'A0,nD'C0,
uw0
所以,解得u2v,w2v.取v1,
2vw0
uuuu
BC'
ruuuuruuuur
得平面DAC的一个法向量n(2,1,2).因为BC'(1,0,1),所以nBC'0,所以n
uuu
又BC'不在平面D'AC内,所以直线BC'与平面D'AC平行.由CB(1,0,0),
2110(20)2
.2212
(2)23
ruuunCB得点B到平面D'AC的距离dun
n
2
所以直线BC'到平面D'AC的距离为-
3
又因为OO'1,所以正三棱锥的斜高OD厶
故侧面积为16—I2、3•所以该三棱锥的表面积为
23
因此,所求三棱锥的体积为'3,表面积为3•
3