高考数学一轮复习第6章不等式63基本不等式学案文.docx
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高考数学一轮复习第6章不等式63基本不等式学案文
2019-2020年高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式学案文
[知识梳理]
1．基本不等式
注：
设a>0，b>0，则a、b的算术平均数为
，几何平均数为
，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则：
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2
（简记：
积定和最小）．
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
（简记：
和定积最大）．
注：
应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．
3．几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）．
（2）
＋
≥2（a，b同号）．
（3）ab≤
2（a，b∈R）．
（4）
2≤
（a，b∈R）．
2（a2＋b2）≥（a＋b）2（a，b∈R）．
（5）
≥
≥ab（a，b∈R）．
（6）
≥
≥
≥
（a>0，b>0）．
[诊断自测]
1．概念思辨
（1）两个不等式a2＋b2≥2ab与
≥
成立的条件是相同的．（ ）
（2）函数y＝x＋
的最小值是2.（ ）
（3）函数f（x）＝sinx＋
的最小值为2.（ ）
（4）x＞0且y＞0是
＋
≥2的充要条件．（ ）
答案
（1）×
（2）× （3）× （4）×
2．教材衍化
（1）（必修A5P99例1
（2））设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（ ）
A．80B．77C．81D．82
答案 C
解析 由基本不等式18＝x＋y≥2
⇔9≥
⇔xy≤81，当且仅当x＝y时，xy有最大值81，故选C.
（2）（必修A5P100A组T2）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
答案 15
解析 设矩形的长为xm，宽为ym．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝
x·（2y）≤
2＝
，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝
时取等号．
3．小题热身
（1）下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg
>lgx（x>0）
B．sinx＋
≥2（x≠kπ，k∈Z）
C．x2＋1≥2|x|（x∈R）
D.
>1（x∈R）
答案 C
解析 取x＝
，则lg
＝lgx，故排除A；取x＝
π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则
＝1，故排除D.应选C.
（2）已知x＞0，y＞0,2x＋y＝1，则xy的最大值为________．
答案
解析 ∵2xy≤
2＝
，
∴xy≤
.∴xy的最大值为
.
题型1 利用基本不等式求最值
角度1 直接应用
（xx·沈阳模拟）已知a＞b＞0，求a2＋
的最小值．
本例两次采用均值不等式．注意两次中等号成立的条件需一致．
解 ∵a＞b＞0，∴a－b＞0.
∴a2＋
≥a2＋
＝a2＋
≥2
＝4，
当且仅当b＝a－b，a2＝2，a＞b＞0，即a＝
，b＝
时取等号．
∴a2＋
的最小值是4.
角度2 变号应用（一正问题）
求f（x）＝lgx＋
的值域．
分情况讨论．
解 f（x）的定义域为（0,1）∪（1，＋∞）．
当0＜x＜1时，lgx＜0，
∴－f（x）＝－lgx＋
≥2
，
即f（x）≤－2.
当x＞1时，lgx＞0，
f（x）＝lgx＋
≥2（当且仅当x＝10时等号成立）．
∴f（x）的值域为（－∞，－2]∪[2，＋∞）．
角度3 寻求定值应用（二定问题）
求f（x）＝4x－2＋
的最大值．
本题采用凑配法，先化为4x－5，然后调整符号变为5－4x（因为4x－5<0）．
解 因为x＜
，所以5－4x＞0，则f（x）＝4x－2＋
＝－
＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝
，即x＝1时，等号成立．故f（x）＝4x－2＋
的最大值为1.
角度4 常量代换法求最值（多维探究）
（xx·福建高考）若直线
＋
＝1（a＞0，b＞0）过点（1,1），则a＋b的最小值等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
采用“常数1”的替换；变量替换减少元的个数．
答案 C
解析 因为直线
＋
＝1（a＞0，b＞0）过点（1,1），
所以
＋
＝1.
所以a＋b＝（a＋b）·
＝2＋
＋
≥2＋2
＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
[条件探究1] 将典例条件变为“x＞0，y＞0且x＋2y＝1”，求
＋
的最小值．
解 ∵x＋2y＝1，
∴
＋
＝
·（x＋2y）＝3＋
＋
≥3＋2
＝3＋2
.
当且仅当
即
时取等号．
故
＋
的最小值为3＋2
.
[条件探究2] 将典例条件变为“x＞0，y＞0且
＋
＝1”，求x＋y的最小值．
解 由
＋
＝1，得x＝
.
∵x＞0，y＞0，∴y＞9.
∴x＋y＝
＋y＝y＋
＝y＋
＋1＝（y－9）＋
＋10.
∵y＞9，∴y－9＞0.
∴y－9＋
＋10≥2
＋10＝16.
当且仅当y－9＝
，即y＝12时取等号．
又
＋
＝1，则x＝4.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法技巧
利用基本不等式求最值的方法
1．知和求积的最值：
“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：
①具备条件——正数；②验证等号成立．见角度2,3,4典例．
2．知积求和的最值：
“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
3．构造不等式求最值：
在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．见角度4典例．
冲关针对训练
1．已知a＞0＞b＞－1，且a＋b＝1，则
＋
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析
＋
＝a＋
＋
＝a＋
＋b＋1－2＋
，又a＋b＝1，a＞0，b＋1＞0，所以a＋
＋b＋1－2＋
＝
＋
＝
·
＝
＋
＋
≥
＋2
＝
，当且仅当
＝
，即a＝4－2
，b＝2
－3时取等号，所以
＋
的最小值为
，故选D.
2．（xx·广西三市调研）已知m，n为正实数，向量a＝（m,1），b＝（1－n,1），若a∥b，则
＋
的最小值为________．
答案 3＋2
解析 ∵a∥b，∴m－（1－n）＝0，即m＋n＝1，又m，n为正实数，∴
＋
＝
（m＋n）＝
＋
＋3≥2
＋3＝3＋2
，当且仅当
即
时，取等号.
题型2 基本不等式的综合应用
角度1 利用基本不等式比较大小
已知函数f（x）＝ln（x＋1）－x，若0＜a＜b，P＝f
，Q＝f（
），R＝f
，则（ ）
A．P＜Q＜RB．P＜R＜Q
C．R＜Q＜PD．R＜P＜Q
首先利用导数判断f（x）的单调性，然后用基本不等式判断各变量的大小．
答案 D
解析 f′（x）＝
－1＝
（x＞－1），由f′（x）>0解得－10，所以f（x）在（－1,0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减．
当0＜a＜b时，0＜
＜
＜
，∴Q＝f（
）＞P＝f
＞R＝f
.故选D.
角度2 利用基本不等式证明不等式
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
（1）ab＋bc＋ca≤
；
（2）
＋
＋
≥1.
采用综合法证明．
证明
（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得（a＋b＋c）2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤
.
（2）因为
＋b≥2a，
＋c≥2b，
＋a≥2c，
故
＋
＋
＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），
即
＋
＋
≥a＋b＋c，所以
＋
＋
≥1.
角度3 基本不等式中的恒成立问题
（xx·太原模拟）正数a，b满足
＋
＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[3，＋∞）B．（－∞，3]
C．（－∞，6]D．[6，＋∞）
用常量代换法求a＋b的最小值，然后解不等式．
答案 D
解析 a＋b＝（a＋b）
＝10＋
＋
≥16
，故只需－x2＋4x＋18－m≤16，得x2－4x＋m－2≥0恒成立，即Δ＝16－4（m－2）≤0，解得m≥6.故选D.
角度4 基本不等式与其他知识的综合问题
已知直线l：
x＝my＋2（m∈R）与x轴的交点是椭圆C：
＋y2＝1（a>0）的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C的左焦点为F1，是否存在m使得△ABF1的面积最大？
若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
求出S△ABF1的表达式，然后用基本不等式求面积的最大值．
解
（1）易知直线l：
x＝my＋2与x轴的交点坐标为（2,0），∴椭圆C：
＋y2＝1（a>0）的一个焦点坐标为（2,0），
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5.
故椭圆C的方程为
＋y2＝1.
（2）存在．
将x＝my＋2代入
＋y2＝1并整理得（m2＋5）y2＋4my－1＝0，
Δ＝（4m）2－4（m2＋5）×（－1）＝20m2＋20>0，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝
，
y1y2＝
，
∴|AB|＝
·
＝
·
，
∵椭圆C的左焦点为F1（－2,0），
∴F1到直线l的距离d＝
＝
，
∴S△ABF1＝
·
·
·
＝4
·
＝4
·
＝4
·
≤4
·
＝
.
当且仅当m2＋1＝
，即m＝±
时，S△ABF1取得最大值．
∴存在m＝±
使得△ABF1的面积最大．
方法技巧
基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，如角度1，结合函数的单调性进行大小的比较．
2．证明不等式的成立性．如角度2典例．
3．利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主．如角度3典例．
4．与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如角度4中利用基本不等式求三角形面积的最大值时参数的取值．
冲关针对训练
（xx·广西模拟）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
（1）
＋
＋
≥8；
（2）
≥9.
证明
（1）
＋
＋
＝
＋
＋
＝2
.
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴
＋
＝
＋
＝2＋
＋
≥2＋2＝4，
∴
＋
＋
≥8
.
（2）∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋
＝1＋
＝2＋
，
同理，1＋
＝2＋
，
∴
＝
＝5＋2
≥5＋4＝9.
∴
≥9
.
题型3 基本不等式在实际问题中的应用
某厂家拟在xx年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x＝3－
（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售
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