华罗庚数学思维训练导引三年级.docx

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华罗庚数学思维训练导引三年级

《华罗庚学校思维训练导引》三年级

《华罗庚学校思维训练导引》三年级第一节

三年级上学期第01讲计算问题第01讲

加法与减法

【内容概述】

各种加法和减法的速算与巧算方法，如凑整，运算顺序的改变，数的组合与分解，利用基准数等。

【例题分析】

1．计算：

1966＋1976＋1986＋1996＋2006

分析1：

通过仔细观察发现前面一个数都比后面一个数大10，因此可以设一个基准数。

详解：

我们不妨设1986为基准数。

1966＋1976＋1986＋1996＋2006

=（1986-20）+（1986-10）+1986+（1986+10）+（1986+20）

=1986*5

=9930

评注：

通过仔细观察题目后，通常会发现一些规律。

找到规律，就能轻而一举的解决问题。

分析2：

等差数列的个数是奇数个时，中间数是它们的平均数

详解：

1966＋1976＋1986＋1996＋2006

＝1986×5

＝9930

2．计算：

123＋234＋345－456＋567－678＋789－890

答案：

34

分析：

这些数粗略一看好象是杂乱无章，其实不然。

通过对各位数的观察，

详解：

先看个位：

3+4+5-6+7-8+9-0=14

再看十位：

2+3+4-5+6-7+8-9=2但是注意个位的进位：

2+1=3（1是个位进位来的）

最后看百位：

1+2+3-4+5-6+7-8=0

这样：

我们就得到了34这个数

评注：

做这种有技巧的计算时，要先通过观察，找到规律后再逐一化简。

把它变成一道很容易且学过的题。

就像这道题一样，本来是3位数加减法，而我们把它变成了一位数加减法。

但需要注意的是：

千万不能忘了前一位的进位。

3．计算：

6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）

答案：

20000

分析：

这个题目一眼看去没有办法简单运算，但如果把括号内得数算出，便发现了一些规律。

详解：

6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）

=6472-1996+5319-1996+9354-1996+6839-1996

=6472+5319+9354+6839-1996*4

=6472+5319+9354+6839-7984

=（6472+5319+6839）+（9200+154）-（7900+84）

=（6472+5319+6839）+（9200-7900）+（154-84）

=（6472+5319+6839）+1300+70

=18630+1370

=20000

评注：

在一道简算的大题中，有可能有好几个地方可以简便运算，一些技巧性的题目，简算会在过程中体现出来，而不让你一眼看出，大家要在解题过程中找出简算步骤，这就需加强练习，方可得心应手。

4．

（1）在加法算式中，如果一个加数增加50，另一个加数减少20，计算和的增加或减少量？

答案：

增加30

分析：

此题并非很难，只是初学者会认为缺少条件。

其实这与两个加数与和的本身值是无关的。

因为计算的只是“和的增加或减少量”。

详解：

如果我们用“A”来代替一个加数，B代表另一个加数，（A+B）代表和

（A+50）+（B-20）

=（A+B）+30

评注：

某些题目的某些条件并不是我们所需知的，用字母或符号代表这些不需知的未知数是我们必须学会的技巧。

（2）在加法算式中，如果被减数增加50，差减少20，那么减数如何变化？

答案：

增加70

分析：

与上题一样。

其实减数变化与被减数、减数和差的本身值是无关的。

详解：

我们用“A”来代表被减数，B代表减数，（A-B）代表差

减数=被减数-差

=（A+50）-[（A-B）-20]

=B+70

评注：

用字母表示数的方法用在这里很合适。

一些无需知的未知数在运算过程中就会抵消，这样会给计算带来方便。

5．计算：

1＋2＋1

1＋2＋3＋2＋1

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1

1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1

…………………

根据上面四式计算结果的规律，求：

1＋2＋3＋……＋192＋193＋192＋……＋3＋2＋1的值。

分析：

通过观察，我们发现：

所有数的和＝中间数×中间数

详解：

1＋2＋3＋……＋192＋193＋192＋……＋3＋2＋1

＝193×193

＝37249

评注：

这个数列我们特别讲一个很复杂的方法，但很锻炼大家的思维的。

设1式.............1+2+1

2式.............1+2+3+2+1

3式.............1+2+3+4+3+2+1

4式.............1+2+3+4+5+4+3+2+1

5式.............1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1

……

观察发现1式与2式差5，2式与3式差7，3式与4式差9，4式与5式差11……

又通过观察发现每两式相差的数都相差2（例如：

1式与2式差5，2式与3式差7，7-5=2；再例如：

2式与3式差7，3式与4式差9，9-7=2）

再观察1式与2式差55与2式中的3差2

2式与3式差77与3式中的4差3

3式与4式差99与4式中的5差4

4式与5式差1111与5式中的6差5

观察上面这一步最后相差的都是式子中间的数减1

所以最后一个式子（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）与它上面一个式子（1+2+3+......+190+191+192+191+190+.....+2+1）的差为：

193+（193-1）=385

所以（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）

=（1+2+1）+（5+7+9+11+13+15+17+...........+385）

=4+390*[（385-5）/2+1]/2

=4+390*191/2

=4+37245

=37249

当然，这样的方法考试不可取，平常炼一下，多见识几种方法还是有好处的。

6．请从3、7、9、11、21、33、63、77、99、231、693、985这12个数中选出5个数，使它们的和等于1995。

答案：

9、77、231、693、985。

分析：

首先，我们观察数的特征，要使得5个数的和恰好是1995，那么我们需要通过求出3到4个数的和，使它们接近1955，剩下的比较小的差异通过一两个数进行“微小调节”。

详解：

通过我们观察数的特征，我们将几个较大的数相加，得到：

985+693+231=1909

1995-1909=86

这样比1995还相差86

所以我们只要在剩下的数里面寻找两个数的和是86即可

77+9=86

所以这五个数是：

9、77、231、693、985。

评注：

一些题目往往不一定要按顺序思考，利用从相反方向出发的原则也是可以解一些灵活性较强的题的。

比如这个题目我们还可以用这12个数的和减去1995，用差来作为寻找的目标。

7．题目：

从1999这个数里减去253以后，再加上244，然后再减去253，再加上244......，这样一直减下去，减到第多少次，得数恰好等于0？

答案：

195次

分析：

这道题目看似简单，因为一个循环减少9，有的同学认为只要求1999能被9整除多少次即可。

其实还隐藏着一个问题：

如果1999这个数在某一点也就是在减253加244过程中有可能运算完只剩253，而减去253后就等于0。

我们来实验一下所述情况有没有可能发生

1999-253=1746

1746/（253-244）=194

194+1=195

恰好如我们所猜测的。

详解：

1999-253=1746

1746/（253-244）=194次

但是最后一次减去也是一次运算：

194+1=195次

评注：

结果正如分析所述，194+1的这个1就代表前面所减的253的那次。

为了需要，我们先减去了253，这样算起来会比后减253更方便。

《华罗庚学校思维训练导引》三年级第二节

1、有20人修筑一条公路，计划15天完成，动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。

如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？

答案：

19天

分析：

此题因中途抽出5人植树，修路的总人数发生变化。

但前3天并未变化。

我们并不需知道每人每天的工作量，不妨把它设为“1”，那么这条路的工作总量就是20×15=300，3天后已经完成的工作量是20×3=60，还剩下300-60=240的工作量由剩下的15人完成

详解：

根据分析可以得到：

我们假设每人每天的工作量为1，那么这条路的工作总量就是15×20=300；

3天后已经完成的工作量是20×3=60，3天后还剩下的工作量为300-60=240；

接下来时间里每天的工作人数为15人，所以还需要240÷15=16天

16+3=19天

评注：

解此种类型的题目时，要抓住工作的总量的变化关系，找准需要设的单位1。

需要提醒的是：

此题不要忘了加上前3天。

2、2个篮球的价钱可以买6个排球，6个足球的价钱可以买3个篮球。

买排球、足球、网球各1个的价钱可以买1个篮球。

那么，买一个篮球的价钱可以买多少个网球？

答案：

6个

分析：

此种题目只是一个思维的过程。

可以拿字母或符号来代表各种不同类型的球的价钱。

但在这里我们只介绍“口算法”，题目条件给得比较?

嗦，口算要求对其中的关系必须非常清楚，那么，我们就要从表示方式上简化。

∵2篮=6排   3篮=6足

∴1排+1足+1网=1篮==〉  6排+6足+6网=6篮

带入6排=2篮   6足=3篮

∴2篮+3篮+6网=6篮

==〉1篮=6网

∴买1个篮球的价钱可以买6个网球

详解：

根据分析可以得到（略）。

评注：

这种类型的题目我们通常采用简单的式子来表示复杂的关系。

这样容易清楚地看到它们之间的联系。

从而达到简化、节约时间的目的。

3、三年级一斑选举班长，每人投票从甲、乙、丙三个候选人中选一人。

已知全班共有52人，并且在计票过程中的某一时刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11票。

如果得票比其他两人都多的候选人将成为班长，甲最少再得多少张票就能够保证当选？

答案：

4张

分析：

此题隐含的一个条件是：

“每人只能投一张票”知道这个条件后，这道题就能轻易破解了。

先求出目前已投的票数（17+16+11=44张），再求出还剩的票数（52-44=8张），甲想当班长，考虑最坏的情况：

剩下的8张票全落在甲、乙手中，甲必须得到多少才比乙多呢？

甲只要比乙多一票即可，目前17>16，所以剩下的8票，甲至少要得到4票才能保证比乙多。

17+4>16+4

如果甲得到3票，就有可能和乙竞选成平手（17+3=16+5）。

所以当甲再获得4张选票时，将能够保证当选班长。

详解：

剩下票数=52-17-16-11=8票，所以甲乙最多共得票=17+16+8=41

所以甲至少要得到（41+1）/2=21张票，而甲已经有17张票，

那么甲最少再得21-17=4张票就能够保证当选。

4.甲乙两队共同挖一条长8250米得水渠，乙队每天比甲队多挖150米。

已知先由甲队挖4天后，余下的由两队共同挖了7天，便完成了任务。

那么甲队每天挖多少米？

答案：

400

详解1：

设甲队每天挖X米，乙队每天挖（X+150）米；根据水渠全长8250米得

4X+7X+7（X+150）=8250

18X=7200

X=400

∴甲队每天挖400米

详解2：

分析：

“已知先有甲对挖4天后，余下的由两对共挖7天”的意思就是：

甲做11天+乙独做7天。

而这句话又可以换一种理解：

总的工作量的=甲做11天+（甲做7天+150*7）

（8250-150*7）/（11+7）

=7200/18

=400